Chapitre 8: Solutions à certains exercices D’autres solutions peuvent s’ajouter sur demande: [email protected] ou 647-5967 E1 y y y2 0 m2 m1 U=0 Ch.8 E1 Ei E f 0 m1 gy1 m2 gy2 12 m1 m2 v 2 0 m1 g h m2 gh 12 m1 m2 v 2 m1 m2 v 2 gh m1 m2 12 m1 m2 v 2 2 gh m1 m2 v m1 gh m2 gh 1 2 m1 m2 v 2 9.81 0.4 5 2 1.83 m s 5 2 m2 U=0 0 y1 NYA v m1 v On ne change rien au problème en mettant les deux blocs au même niveau pour utiliser le même système de référence. Selon ce choix, les deux énergies potentielles initiales sont nulles. Comme le système part du repos, les énergies cinétiques sont également nulles et l’énergie mécanique totale est nulle. Puisque le bloc m1 descend à partir de zéro, son énergie potentielle devient négative et il perd de l’énergie potentielle. Cette énergie se transforme en énergie cinétique des deux blocs ainsi qu’en énergie potentielle du bloc m2 qui augmente. y y m2 m2 E2 y0 m1 v0 0 0 U=0 y0 0 m1 U=0 v NYA Ch.8 E2 Ei E f m1 gy0 1 2 m1 m2 v 2 v 2m1 gy0 m1 m2 v 2 0.5 9.81 0.6 1.72 m s 0.5 1.5 L’énergie initiale Ei, qui est l’énergie potentielle du bloc m1 se trouvant à une hauteur y0, est transformée en énergie cinétique des deux blocs. L’énergie potentielle de bloc m2 ne change pas. NYA Ch.8 Ei E f E3 E3 0 m2 gh2 m1 gh1 12 m1 m2 v 2 m1 m2 v 2 2 g m2 h2 m1h1 m2 gh2 m1 gh1 v v v 1 2 m1 m2 2 gd m2 sin 53o m1 sin 37 o m1 m2 2 9.81 0.40 5 sin 53o 4 sin 37 o h1 d sin 37o h2 d sin 53o 45 v 1.176 m s Puisque m2 > m1 et que l’angle de m2 est le plus grand, il est clair que m2 va descendre et que m1 va monter. Pour chacune des masses, il faut décider de l’endroit ou U = 0. Le plus simple est de choisir les positions initiales des deux masse. Ainsi les énergies potentielles des masses sont initialement nulles. L’énergie potentielle finale de m2 sera négative et celle de m1 positive. y i L L cos i NYA Ch.8 E5 f L cos f L vf 0 yf yi E5 yf yi vi vf y 0, U 0 yi L L cos i L 1 cos i 0.75 1 cos 30o 0.1m Il convient d’abord de trouver l’énergie mécanique totale Ei dans la Ei mgyi 12 mvi2 0.6 9.81 0.1 12 0.6 22 1.79 J Ei E f Ei mgy f mv 1 2 2 f a ) Ei mg 0 12 mv 2f v f 2 Ei m 2 1.79 0.6 2.44 m s b) Ei mgy f 12 m02 E 1.79 yf i 0.304m mg 0.6 9.81 f cos 1 1 y f L cos 1 1 0.304 0.75 53.5o situation initiale car elle sera conservée par la suite. a) La vitesse sera maximale au plus bas de la trajectoire, là où yf = 0 et U = 0 puisqu’à cet endroit toute l’énergie s’est transformée en énergie cinétique. b) L’angle θf sera maximal lorsque la hauteur et donc l’énergie potentielle seront au maximum. Ce sera le cas lorsque Kf = 0 et vf = 0. NYA Ch.8 Ei E f y0 = 0,6 E9 E9 mgy0 mgy 12 ky 2 60 y 2 4.9 y 2.94 0 y = 0, U = 0 y 4.9 4.92 4 60 2.94 y 2 60 4.9 27.0 y 0.184 m, 0.266 m 120 y? Selon le système de référence choisi, y est négatif et donc aussi l’énergie potentielle mgy. La bonne racine est donc -0.266 m y y m2 m2 m1 NYA Ch.8 Ei E f 0 0 y1 m1 y1 E11 0 m1 gy1 12 ky12 12 m1 m2 v 2 0 m1 gh 12 kh 2 12 m1 m2 v 2 y1 h a) v 0 0 m1 gh 12 kh 2 h 2 gm1 k h 2 9.81 4 40 1.96m b) v v E11 h 2m1 g kh m1 m2 0.5 2 9.81 4 40 0.5 2.21 m s 42 y y y2 m1 m2 0 NYA Ch.8 Ei E f y2 m2 0 U=0 y1 E13 U=0 y1 m1 E13 0 m1 gy1 m2 gy2 12 ky22 12 m1 m2 v 2 0 m1 gh m2 gh kh 1 2 2 1 2 m1 m2 v a) v 0 2 y2 y1 h b) v 0 m1 gh m2 gh 12 kh 2 h 2 g m1 m2 k h 2 9.81 5 3 32 1.23m v h 2 g m1 m2 kh m1 m2 1 2 9.81 5 3 32 1 53 0.951 m s E15 E A U A K A mghA 12 mv A2 12 3.2 52 3.2 9.81 4 40 125 165 J a) U B mghB 3.2 9.81 5 157 J b) E A ED mghD 12 kx 2 E A EB U B passera 165 3.2 9.81 2 12 120 x 2 165 62.8 60 x 2 x 1.31 m Puisqu’il n’y a pas de frottement, l’énergie mécanique est constante (165 J). Il passera le point B si l’énergie est supérieure ou égale à l’énergie potentielle à ce point. De cette manière il reste de l’énergie cinétique (8 J) et donc de la vitesse. Au point D, le mobile s’arrête (K=0) après avoir compressé le ressort au maximum (x). E19 E A EB EC E A mghA 12 mv A2 E A 600 9.81 30 12 600 122 220kJ a) E A EB mghB 12 mvB2 2.20 105 600 9.81 12 12 600 vB2 vB 22.3 m s b) E A EC mghC 12 mvC2 2.20 105 600 9.81 25 12 600 vC2 vC 15.6 m s Comme il n’y a pas de frottement, l’énergie mécanique (potentielle + cinétique) totale est conservée. Il suffit de calculer cette énergie en A puis supposer qu’elle reste la même aux points B et C. E E f Ei W f A) 0 x 0 12 mv02 fx f N mg E31 12 mv02 mgx vo v02 42 x 1.36 m 2 g 2 0.6 9.81 E E f Ei W f B) mgh 12 mv02 fx f N mg cos mgx sin 12 mv02 mgx cos mg sin cos x 12 mv02 v02 42 x 0.800 m 2 g sin cos 2 9.81 sin 30 0.6 cos 30 E E f Ei W f C) 0 12 mv02 mgh fx f N mg cos 12 mv02 mgx sin mgx cos mg cos sin x 12 mv02 v02 42 x 41.6 m 2 g cos sin 2 9.81 0.6 cos 30 sin 30 E57 Ei E f 0 12 kx 2 12 mv 2 mgx sin b) v v a) h x sin Initialement, le bloc est au repos avec une énergie potentielle nulle au point x=0. Le ressort est initialement détendu à x=0. Lorsque le bloc descend d’une distance x, son énergie potentielle devient –mgh et le ressort est étiré d’une distance x. Notez que la masse s’arrête momentanément avant de remonter; c’est pourquoi on pose que v=0 pour trouve xmax. 2 mgx sin 12 kx 2 m 2 0.22 9.81 0.4 sin 30 12 3.6 0.4 2 0.22 2 0 12 kxmax mgxmax sin xmax 1.14 m s v0 2mg sin 2 0.22 9.81 sin 30 0.600 m k 3.6 E64 xi 0 xf x E f Ei W f 0 12 kxi2 fs 1 2 f N mg kxi2 mgs kxi2 8 0.242 0.15 2mgs 2 0.3 9.81 0.52 xi 0 s xf x P7 A B v mg d L mv 2 mg v gR R Ei E f mgL mg 2 R 12 mv 2 R U 0 mgL mg 2 R m 1 2 gR mgL 2mgR 12 mgR mgL 52 mgR L 52 R R 52 L Pour que la masse effectue un cercle complet, il lui faut une vitesse minimale au point B. À cette vitesse, le poids est égal à la force centripète nécessaire pour effectuer un cercle de rayon R. On trouve cette vitesse (v gR) et on la substitue dans l’équation de conservation de l’énergie mécanique totale. d L R L 52 L 53 L 2 A H P8 B r U 0 r mv 2 mg v gr r E A EB mgH mgr 12 mv 2 mgH mgr m 1 2 gr 2 mgH mgr 12 mgr mgH 32 mgr H 32 r Pour que le bloc puisse raser le sommet sans le toucher au point B, il faut que son poids soit égal à la force centripète nécessaire pour effectuer un cercle de rayon r. On trouve la vitesse ( v gr ) qui en découle et on la substitue dans l’équation de conservation de l’énergie mécanique totale.