Colle Maple 6 : polynômes

PCSI2 2010/2011
Colle Maple 6 : polynômes
1 Exercices
1. Factoriser, sur Ret sur C, le polynôme P=X4+ 2X3−4X2−5X−6.
Indication : si on connaît toutes les racines de P, on connaît sa factorisation...
2. Factoriser, sur Cpuis sur R, le polynôme P=X4−2X3+X2−2X+ 1.
Indication : il s’agit de repérer les racines conjuguées. On pourra utiliser allvalues.
3. Déterminer les réels aet btels que le polynôme P=X4+aX3+√3X2+X+badmette 2 + 2i pour
racine. Le factoriser alors sur Cet sur R.
4. Déterminer les scalaires a, b, c tels que le polynôme P=X6+√2X5+aX2+bX +cadmette une racine
non nulle de multiplicité supérieure ou égale à 4. Calculer cette racine et factoriser P.
5. Déterminer le polynôme Pde degré 3 vérifiant P(1) = 7, P(8) = −2 et tel que la fonction polynomiale e P
admette en 1 et en 8 un extremum local.
2 Schéma de Horner
On rappelle que, pour évaluer le polynôme P=a0+a1X+···anXnau point z, la méthode de Horner
consiste à écrire
P(z) = a0+za1+za2+···+an−2+z(an−1+zan).
1. Écrire une procédure polVersListe tel que polVersListe(P,X) renvoie la liste (coefficient constant en
tête) des coefficients du polynôme P(en l’indéterminée X). Écrire la fonction inverse listeVersPol.
2. Écrire une fonction evalue telle que evalue(P,X,a) renvoie le résultat de la substitution X←adans le
polynôme P, en utilisant le schéma de Horner.
3. Écrire une fonction divise telle que divise(P,X,a) renvoie le quotient de la division du polynôme P
(en l’indéterminée X) par X−a. On utilisera à nouveau le schéma de Horner.
3 Nombre de racines réelles d’un polynôme et localisation : mé-
thode de Sturm.
Soit Pun polynôme (réel) de degré n>1. On pose P0=P,P1=P′, et tant que Pk6= 0, on définit Pk+1
comme l’opposé du reste de la division euclidienne de Pk−1par Pk. Ainsi, on a :
P0=Q1P1−P2
P1=Q2P2−P3
.
.
.
Pq−1=QqPq−Pq+1
avec Pq+1 6= 0 et Pq+2 = 0.
– Justifier que, si Pn’a que des racines simples, alors le polynôme Pq+1 est une constante.
La suite de Sturm associée à Pest Sp= (P0, P1,...,Pq+1). Elle vérifie les conditions suivantes :
– si un scalaire xvérifie Pk(x) = 0, alors Pk+1(x)6= 0 : en effet, Pk−1=Qk+1Pk+1 −Pk, donc si Pket
Pk+1 s’annulaient au point x, alors Pk−1s’y annulerait aussi,. . .donc P0et P1aussi ; c’est impossible
car Pn’a pas de racine multiple.
– si Pk(x) = 0, alors Pk−1(x) et Pk+1 (x) (tous deux non nuls) sont de signes opposés.
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Si xest un réel en lequel aucun des polynômes Pkne s’annule, on note W(x) le nombre de changements
de signes entre deux termes consécutifs de la suite de Sturm S(x). La fonction Wpermet de déterminer
le nombre de racines réelles de Pde la façon suivante :
– Si aucun des Pkne s’annule sur le segment [u, v], alors W(u) = W(v).
– Si il existe un entier k∈[[0, q+1]] tel que Pk(x0) = 0, choisissons alors un segment [u, v] tel que x0∈]u, v[
et qu’aucun des Pine s’annule sur [u, v]\ {x0}(ça existe, pourquoi ?). Évaluons W(u)−W(v).
– si k= 0. Soit ε∈ {−1,1}le signe de P0sur [u, x0[. Alors sur [u, x0[, S(x) = (ε, −ε, . . . ) et sur
]x0, v], S(x) = (−ε, −ε, . . . ) (pourquoi ?). Ainsi, la contribution du polynôme P0=Pà la différence
W(u)−W(v) est de 1.
– si 1 6k6q(k6=q+ 1 car Pq+1 est constant). Alors Pk−1et Pk+1 ne s’annulent pas en x0(première
condition), donc pas sur [u, v], donc ont un signe constant (théorème des valeurs intermédiaires).
Comme Pks’annule en x0, ces signes sont opposés (deuxième condition). Ainsi, sur [u, x0[, S(x) =
(...,ε,ε1,−ε, . . . ) et sur ]x0, v], S(x) = (...,ε,−ε1,−ε, . . . ) : la contribution de Pkà la différence
W(u)−W(v) est nulle.
Finalement, si West définie en uet v, alors W(u)−W(v) est le nombre de racines de Pcomprises entre u
et v.
Application :
– Écrire une procédure Sturm penant en paramètre un polynôme P, calculant la liste [P0, . . ., Pq+1 ].
– Écrire une procédure Wà deux arguments : une liste de polynômes let un réel a, qui évalue la liste
en apuis compte le nombre de changements de signes dans cette liste évaluée.
– Écrire une procédure nombreRacines à trois arguments : un polynôme Pet deux réels a < b, indiquant
combien le polynôme Pa de racines dans l’intervalle [a, b] (on utilisera bien sûr les deux procédures
précédentes).
Tester sur le polynôme P=X4+ 4X3+X2−7X−1. Calculer le nombre de racines réelles de P,
puis localiser chacune d’elles dans un intervalle ne contenant aucune autre racine (par approximations
successives cette fois). Comment déterminer des valeurs approchées des racines ?
Cas d’un polynôme ayant des racines multiples (complexes) : comment le détecter grâce à la suite de
Sturm ? Comment s’affranchir de cet inconvénient en se ramenant à un polynôme n’ayant que des
racines simples ?
Exemple : P=X8+ 15X7+ 73X6+ 124X5+ 17X4−57X3−6X2+ 9X−1.
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