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On considère le problème suivant : quel est le nombre de manières de décomposer un entier
positif sous la forme , où sont eux-mêmes entiers positifs :
A la suite des coefficients , eux-mêmes entiers, on associe ce que l’on appelle sa série
génératrice :
∞
; il se trouve que cette série est aisée à calculer en tant que
produit de Cauchy des séries entières suivantes :
∞
∞
∞
qui sont trois séries géométriques de même rayon de convergence, égal à 1 ; ces trois séries sont
normalement convergentes sur tout segment et leur produit de Cauchy
s’écrit en effet :
Cette fraction rationnelle admet un pôle triple égal à , un pôle simple égal à , et quatre pôles simples
complexes qui sont les racines cinquièmes de l’unité autres que :
,
racines du polynôme cyclotomique
Pour calculer son développement en série entière, on la décompose en éléments simples :
La partie relative au pôle triple de cette décomposition, s’obtient par une technique bien
connue en exprimant par rapport à la nouvelle variable :
, avec
puis en écrivant la division aux puissances croissantes jusqu’au degré 2 du numérateur par
le polynôme ayant pour racines
l’ensemble des pôles de privé du pôle considéré ; ce qui donne :
d’où
+
Série Génératrice d’une Partition d’Entiers
Calcul du Développement en Série Entière de la
Fraction Rationnelle
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Comme la fraction rationnelle
ne possède plus le pôle , cela montre (par unicité de la
décomposition en éléments simples) que la partie relative au pôle de la décomposition de
est
, et en revenant à la variable , que la partie relative au pôle
de la décomposition de est
; ce raisonnement justifie
la technique employée de division aux puissances croissantes.
On trouve sans difficulté le coefficient relatif au pôle :
il suffit de multiplier la décomposition attendue de par et de remplacer par , ce qui
donne
avec
(quotient par du dénominateur de )
Pour obtenir le coefficient relatif au pôle , il est conseillé d’utiliser l’astuce suivante, pour
se ramener plus aisément dans le domaine réel :
; en effet, le quotient de par vérifie
d’où
(Cette astuce technique là aussi est bien connue, cependant il faut faire attention ici au
changement de signe inhabituel, dû au fait que l’on a préféré exprimer la décomposition en
éléments simples en fonction des monômes plutôt qu’en fonction des monômes ;
ceci afin de rendre plus naturel les développements en séries entières de chacun des éléments
simples qui vont suivre)
Ce calcul donne
d’où
et
La décomposition en éléments simples étant entièrement précisée :
On va procéder maintenant au calcul de la série génératrice des , qui n’est autre que le
développement en série entière de . Pour cela on écrit le DSE pour chaque élément simple :
∞
∞
∞
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On utilise ici le fait qu’une série entière est dérivable terme à terme à n’importe quel ordre sur tout compact
inclus dans son disque ouvert de convergence, ici tout segment .
∞
∞
Cette dernière formule de développement vaut aussi sur puisque les sont de module .
On en conclut, en formant la combinaison linéaire adéquate des développements obtenus :
Pour préciser ce résultat, il reste à calculer les quantités
, qui ne dépendent que du
résidu de l’entier modulo 5.
Nous allons donner plusieurs méthodes, l’une abstraite mais très efficace basée sur les symétries de
cette expression par permutation des racines du polynôme cyclotomique, l’autre plus calculatoire par
déduction à partir de la décomposition en éléments simples déterminée précédemment ; et un
complément pour montrer comment on peut effectivement calculer ce genre d’expression grâce à des
techniques de transformation de polynômes.
1) Par les Relations de Symétrie
Posons
ou encore les expressions équivalentes (puisque ) :
On va montrer les identités (*) et ; il en résultera :
(compte tenu de la formule
démontrée plus haut)
D’où on concluera :
Calcul des Quantités
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Pour montrer les identités (*), on utilise le fait suivant : les transformations sont des
permutations de l’ensemble décrit par les ; on utilisera en particulier les deux changements de
variables et
dans les formules sommatoires qui définissent les , ce qui donne :
2) Par Calcul à partir de la Décomposition en Eléments Simples
En substituant dans la décomposition en éléments simples, on obtient :
d’où on déduit :
En multipliant cette décomposition par et en prenant la limite des deux membres quand :
d’où
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En dérivant cette décomposition :
d’où
, que l’on calcule grâce à une dérivée
logarithmique :
+
, ce qui donne d’où
Pour les deux autres sommes, on procède de même en dérivant aux ordres deux et trois, par exemple en
utilisant la formule
3) Par une technique de Transformations de Polynômes
Comment calculer une expression du type
en utilisant
uniquement le fait que les sont racines du polynôme .
On peut commencer par décomposer
en éléments simples, ce qui donne :
+
On est ainsi ramené à calculer les sommes
La technique consiste à chercher le polynôme dont les racines sont les
(resp. les
, ou
encore les
; ce polynôme s’appelle le transformé de par la transformation
;
de manière plus générale, si est une transformation rationnelle bijective, un
polynôme entièrement scindé, et est la famille de ses racines, on constate que le transformé
de par (ie le polynôme dont les racines sont les n’est autre que le numérateur
de la fraction rationnelle .
Sur l’exemple qui nous intéresse, on peut effectuer la transformation par étapes :
Le transformé de par est le polynôme (ici la
transformation est involutive) ; le « polynôme aux inverses » (ie le transformé par
de
s’écrit en prenant les coefficients du polynôme dans l’ordre inverse ; ce polynôme
est celui que nous cherchions à exprimer, celui dont les racines sont les
; on en conclut :
De la même manière, le transformé de par est le polynôme
, dont le polynôme aux inverses est ; là aussi
on trouve
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