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Série Génératrice d’une Partition d’Entiers
On considère le problème suivant : quel est le nombre de manières de décomposer un entier
positif sous la forme 2 5 , où , , sont eux-mêmes entiers positifs :
#, , 2 5 A la suite des coefficients , eux-mêmes entiers, on associe ce que l’on appelle sa série
génératrice : ∑∞
; il se trouve que cette série est aisée à calculer en tant que
produit de Cauchy des séries entières suivantes :
1
1 1
∞
" !
!
!
1
1 # … % 1 ∞
" %
%
1
1 & ' … &( 1 &
∞
" &(
(
qui sont trois séries géométriques de même rayon de convergence, égal à 1 ; ces trois séries sont
normalement convergentes sur tout segment )*, *+ 0 - * - 1 et leur produit de Cauchy
s’écrit en effet :
'
'./
'
'
0 './ 1 0 './ 2 ∑!,%,(4 !3%3&( ∑5
∑
!,%,(4 !3%3&(
∑5
Calcul du Développement en Série Entière de la Fraction Rationnelle
B '
'./'./ 1 './2 '
'./4 '3/'3/3/ 1
3/ 4 3/U '
'./4 '3/V/
Cette fraction rationnelle admet un pôle triple égal à 1 , un pôle simple égal à 1, et quatre pôles simples
complexes qui sont les racines cinquièmes de l’unité autres que 1 : 6 7 89
1:;<
2
racines du polynôme cyclotomique Φ 1 #
, = 1,2,3,4 @ ,
Pour calculer son développement en série entière, on la décompose en éléments simples :
B C
'./4
D
'./1 E
'./
F
'3/
∑HI
GH
H./
La partie relative au pôle triple 1 de cette décomposition, s’obtient par une technique bien
connue en exprimant B par rapport à la nouvelle variable 1 :
B 1 '
J 4 .JK'.J
,
avec Φ1 5 10 10 L
puis en écrivant la division aux puissances croissantes jusqu’au degré 2 du numérateur M 1 par
le polynôme
N 2 Φ1 10 25 302 3 O
ayant pour racines
l’ensemble des pôles de B1 privé du pôle considéré 0 ; ce qui donne :
1 N P
'
'
'
#
'
#
Q 3 R d’où B1 1
'
'J 4
'
#J 1
'
#J
+
SJ
TJ
Comme la fraction rationnelle
SJ
ne possède plus le pôle 0 , cela montre (par unicité de la
TJ
décomposition en éléments simples) que la partie relative au pôle 0
B 1 est
'
'J 4
'
#J 1
'
#J
de la décomposition de
, et en revenant à la variable , que la partie relative au pôle
1 de la décomposition de B est
'
''./4
'
#'./1
la technique employée de division aux puissances croissantes.
'
#'./
; ce raisonnement justifie
On trouve sans difficulté le coefficient relatif au pôle 1 :
il suffit de multiplier la décomposition attendue de B par 1 et de remplacer par 1, ce qui
donne W '
K.'
'
avec Y 1 Φ
X
(Y quotient par 1 du dénominateur Z de )
Pour obtenir le coefficient [6 relatif au pôle 6 , il est conseillé d’utiliser l’astuce suivante, pour
se ramener plus aisément dans le domaine réel :
1
1
[ 6 Y 1 Z\6 ; en effet, le quotient YH de Z par 6 vérifie
6
Z 6 YH ] , Z^ YH 6 Y\H d’où Z^ 6 YH 6
(Cette astuce technique là aussi est bien connue, cependant il faut faire attention ici au
changement de signe inhabituel, dû au fait que l’on a préféré exprimer la décomposition en
éléments simples en fonction des monômes 6 plutôt qu’en fonction des monômes 6 ;
ceci afin de rendre plus naturel les développements en séries entières de chacun des éléments
simples qui vont suivre)
Ce calcul donne Z^ 5 # 1 1 1 & _
d’où Z^ 6 56# 1 61 6 5
'.H'.H1 et [ 6 H
'
H
& '.H'.H1 La décomposition en éléments simples étant entièrement précisée :
B '
'
' './4
'
'
# './1
' '
# './
' '
X '3/
∑HI
GH
H./
On va procéder maintenant au calcul de la série génératrice des , qui n’est autre que le
développement en série entière de B. Pour cela on écrit le DSE pour chaque élément simple :
1
1 1
∞
1
W
1
`
a 1 2 3 1 W 1 " ∞
1 " 1 1 2 1
1 W
1
`
a"
1 2 W 1 2
∞
2
On utilise ici le fait qu’une série entière est dérivable terme à terme à n’importe quel ordre sur tout compact
inclus dans son disque ouvert de convergence, ici tout segment )*, *+ 0 - * - 1.
1
1 1
∞
"1 1 1
1
1
1
P
Q `1
6 6 P1 Q 6
6
6
6
P Q 6
∞
a"
6 3'
Cette dernière formule de développement vaut aussi sur )*, *+ puisque les 6 sont de module 1.
On en conclut, en formant la combinaison linéaire adéquate des développements obtenus :
13 1 2
[6
1 " 3'
40 4
20
6
HI
Pour préciser ce résultat, il reste à calculer les quantités ∑HI
résidu de l’entier modulo 5.
∑HI
Calcul des Quantités
GH
Hbcd
, qui ne dépendent que du
GH
Hbcd
Nous allons donner plusieurs méthodes, l’une abstraite mais très efficace basée sur les symétries de
cette expression par permutation des racines du polynôme cyclotomique, l’autre plus calculatoire par
déduction à partir de la décomposition en éléments simples déterminée précédemment ; et un
complément pour montrer comment on peut effectivement calculer ce genre d’expression grâce à des
techniques de transformation de polynômes.
1) Par les Relations de Symétrie
Posons ∑HI [6 , 1 ∑67
[6
6
,
2 ∑67
ou encore les expressions équivalentes (puisque 6& 1 ) :
[6
62
,
3 ∑67
[6
63
,
4 ∑67
[6
64
" [ 6 , ' " 6# [6 , " 6 [6 , " 6 [6 , # " 6[ 6 ,
HI
HI
HI
HI
HI
On va montrer les identités (*) ' 3 0 4 et W^ eù 0 ; il en résultera :
1
1
4
41 ' 3 0 4 " [ 6 ` 6 1 6a " [61 6 ` 1a 6
6
5
HI
(compte tenu de la formule [ 6 D’où on concluera :
' '
&
'
H
& '.H'.H1 HI
démontrée plus haut)
; # 3
'
&
; 0
,
Pour montrer les identités (*), on utilise le fait suivant : les transformations 6 h 6i = j 0 sont des
permutations de l’ensemble 7 décrit par les 6 ; on utilisera en particulier les deux changements de
variables 6 h 6 et 6 h
'
H
dans les formules sommatoires qui définissent les k , ce qui donne :
[6 1
1
1
1
1
6
' "
"
"
"
1
1
1 61 6 5
1 61 6 6
5
5
HI
HI
HI P1 Q P1 Q
HI
6
6
'
H
'
H
∑HI 6 [ 6 ∑HI [ 6 ∑HI '.H'.H1 ∑HI '.HH2
&
&
.H1 '
∑HI
&
'
H'.H'.H4 ∑ lI
&
.'
Hl1
.'
l1 '.l1 '.l
∑lI
H1
'
H1
'
# ∑HI 6[6 ∑HI '.H'.H1 ∑HI '.HH2
&
&
.H1 Gl
l4
'
.'
∑HI '.H'.H4 &
'
.'
1 '.l
'.l
1
∑ lI
&
Hl
∑lI
∑HI
GH
H1
'
∑HI
&
'
H'.H'.H1 '
∑ lI
&
'
Hl1
l1 '.l1 '.lU '
∑lI
&
'
'
'
.'
l'.l1 '.l
∑lI
2)
l
d
l1 '.l1 P'. mQ
∑lI
&
Gl
Gl
l1
Par Calcul à partir de la Décomposition en Eléments Simples
En substituant 0 dans la décomposition en éléments simples, on obtient :
13 1 1 1
[6
"
B 0 1
40 4 10 8
6
HI
d’où on déduit : ' ∑HI
GH
H
1
'3'3#3&
#
#
'
1 # 1 & &
En multipliant cette décomposition par 1 et en prenant la limite des deux membres quand h ∞ :
'
X
'
'
# ∑HI [ 6 0 d’où ∑HI [ 6 &
4
En dérivant cette décomposition :
13
1
1
1
3
1
1
1
[ 6 B ^ "
6 40 1 2 1 10 1 # 8 1 '
d’où
#
'
logarithmique :
'
∑HI
'
X
p^
'
p
'./
+
/
'./ 1
GH
H1
&/ U
'./ 2
B ^ 0
HI
, que l’on calcule grâce à une dérivée
, ce qui donne B ^ 0 1 d’où
∑HI
GH
H1
0
Pour les deux autres sommes, on procède de même en dérivant aux ordres deux et trois, par exemple en
utilisant la formule
3)
F
F/
B\
B
P Q
2
B\\
B\
P Q
B
B
Par une technique de Transformations de Polynômes
Comment calculer une expression du type ' ∑HI
GH
H
'
'
& ∑HI '.H'.H1 en utilisant
uniquement le fait que les 6 sont racines du polynôme Φ 1 # .
On peut commencer par décomposer
'
'.H'.H1 ' '
# '.H
' '
# '3H
+
'
'
'.H'.H1 '
'.H1
en éléments simples, ce qui donne :
1
1
1
On est ainsi ramené à calculer les sommes ∑HI 16 , ∑HI 16 , ∑HI 162
La technique consiste à chercher le polynôme dont les racines sont les
encore les
'
'.H1
'
1
(resp. les 16 , ou
'.H
; ce polynôme s’appelle le transformé de Φ par la transformation h
1
;
1
de manière plus générale, si h q est une transformation rationnelle bijective, P un
polynôme entièrement scindé, et stu est la famille de ses racines, on constate que le transformé
de P par h q (ie le polynôme dont les racines sont les qs n’est autre que le numérateur
de la fraction rationnelle Pq.' .
Sur l’exemple qui nous intéresse, on peut effectuer la transformation par étapes :
Le transformé de Φ par h 1 est le polynôme Φ1 5 10 L (ici la
'
transformation est involutive) ; le « polynôme aux inverses » (ie le transformé par h / de
Φ1 s’écrit en prenant les coefficients du polynôme dans l’ordre inverse ; ce polynôme
5 # 10 O est celui que nous cherchions à exprimer, celui dont les racines sont les
'
'.H
; on en conclut : ∑HI
1
16
10
2
5
De la même manière, le transformé de Φ par h 1 est le polynôme
Φ 1 1 2 N , dont le polynôme aux inverses est # 2 O ; là aussi
1
on trouve ∑HI
2
16
5
Pour la dernière expression, il faut trouver le polynôme dont les racines sont les carrés de celles de
M Φ1 5 10 102 53 4 5 10 102 2 R (ici on va constater
que connaître le polynôme jusqu’au degré 2 sera suffisant) ;
pour cette transformation qui n’est pas bijective, la technique est un peu particulière : le polynôme
cherché est le polynôme Y tel que Y M M (comme on le démontre aisément en
raisonnant sur la forme scindée de ces polynômes) ; le calcul donne :
Y 5 10 10 5 10 10 # _ 25 0. # w Y 25 0. w ; son polynôme aux inverses est 25 # 0. N ; on
1
trouve donc ∑HI
2 0 (c’est une somme de nombres complexes)
soit
16
La somme que nous nous proposions de calculer s’écrit donc :
' 1
1
1 1
1
1
1
"
`
0
2
0
2
0
0a
1 61 6 5 4
5
4
2
5
HI
ce qui est bien, et c’est heureux, le résultat obtenu par les autres méthodes.
Octobre 2008
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