Transformation des vitesses et accélérations dans un changement

Transformation des vitesses et accélérations dans un changement de référentiel
I58.
Soit un référentiel (a) constitué par trois axes perpendiculaires entre eux et formant un trièdre direct Oxyz et un
référentiel (r) constitué par les trois axes également perpendiculaires entre eux et formant un trièdre direct Ox'y'z (Oz
est commun aux deux référentiels). A l'instant t, Ox' fait l'angle avec Ox et un mobile M se trouve sur l'axe
Ox' à l'abscisse x’ = v't, où ω et v' sont deux constantes positives. Si (a) est le référentiel absolu et (r) le référentiel
relatif, donnez les trois coordonnées sur Ox'y'z du vecteur rotation de (r) par rapport à (a), des vitesses absolue, relative
et d'entraînement, et des accélérations absolue, relative, d'entraînement et de Coriolis du mobile M.
tθω=
II61. Escalier roulant.
Madame Matronome monte les escaliers, même s'ils roulent, toujours à la même allure: une marche par seconde. Elle
met habituellement 30 secondes pour monter un escalier roulant. Ce jour-là, distraite, elle prend pour le monter
l'escalier descendant (aussi lent dans sa descente que dans sa montée) et met deux minutes pour atteindre le sommet.
Quel est le nombre de marches de l'escalier roulant lorsqu’il est au repos ? Quelle est sa vitesse ?
Ce problème est tiré des jeux du journal Le monde.
z
III. Pluie. x
Lors d'une pluie, il y a une goutte d'eau par litre d'air qui tombe
verticalement à . Une automobile, qu'on assimile à un
parallélépipède de longueur a = 4 m , de largeur b = 2 m et de hauteur h =
1 m , se meut horizontalement à .
1
13m.sv−
=
20 m/sv=
1) Quel est la vitesse des gouttes d'eau par rapport à l'automobile ?
2) Combien de gouttes l'automobile reçoit-elle par seconde ?
Transformation des vitesses et accélérations dans un changement de référentiel, page 1
IV34.
Un îlot ponctuel O se trouve dans un fleuve où l’eau, considérée comme le référentiel relatif, est animée d’une vitesse
u
G
par rapport aux rives, considérées comme le référentiel absolu ; u
G
est uniforme et constant au cours du temps.
1) Pourquoi l’eau, bien que n’étant pas un solide, peut-elle être considérée ici comme un référentiel ?
2) Un bateau M, considéré comme ponctuel, se meut dans le fleuve. Sa vitesse w
G
par rapport à l’eau est
perpendiculaire à OM
J
JJJG, garde un module w constant et a un sens tel que le bateau tourne dans le sens positif autour de
O. Quelle est la vitesse v
G
du bateau par rapport aux rives ?
3) On repère le bateau par ses coordonnées polaires r et OM=
(
,uOMθ=
)
J
JJJG
G
. Exprimer les coordonnées polaires
de v
G
en fonction de , et θ. u w
4) Rappeler les expressions des coordonnées polaires de v
G
en fonction de dr
dt , d dt
θ et r.
5) En déduire le système différentiel reliant r, et le temps t. θ
6) En déduire l’équation différentielle de la trajectoire en coordonnées polaires.
7) Soit la valeur de r pour . Montrer que p0θ=
() 1/sin
p
ruw =−θ
.
8) On suppose w. Représenter l’allure de la trajectoire. u>
9) Où le bateau est-il le plus proche de O et où est-il est le plus loin de O ?
10) En utilisant l’expression trouvée en 2, calculer les coordonnées polaires de l’accélération a
G
en fonction de w et
de d
dt
θ.
11) Cette expression est-elle conforme à la loi de composition des accélérations ? Identifier les accélérations absolue,
relative, d’entraînement et complémentaire.
12) Exprimer en fonction de w, et r.
r
a p
13) A quel mouvement classique ce mouvement est-il semblable ?
Réponses
II. marches
12
248
1/ 1/
r
v
Ltt ==
+ ; marche par seconde
1
0, 6
er
L
vv
t
=−=.
III. 1) vv 1rxz
uvu=−−
G
G
G ; 2) 64 000 gouttes par seconde.
IV. 2) vwu=+
G
G
G
; 3) vu ; 4) cos sin
rvwu θ
θθ==−r
dr d
v ; 5) vr
dt dt
θ
θ
==
cos sin
dr d
urwu
dt dt
θ
θθ
==− ; 6) cos
sin
dr u
rd w u
θ
θθ
=−r
wu=−
; 9) minimum pour et maximum pour
; 10) a
3/2θ=π
/2θ=πr ; 12) 2
2
r
pw
a ; 13) mouvement d’une planète autour du Soleil.
r
=−
hb
a
x
vvu=
G
G
G
G
θ

Corrigé
I.
2
2
00
00
00 00 2 2
00 0 00 0 0
re a re c a
vv
vvt
vvvtvvtaa avav
′′
−ω
′′
−ω
′′ ′
ωωω ω
ω
GG G GG G G
G
t
′
ω
Le point coïncidant à l’instant t décrit un cercle de centre O et de rayon vt avec la vitesse angulaire ω ;
′
2
cr
av=ω∧
G
G
G
.
II. Soit = 1 marche par seconde la vitesse de madame Matronome par rapport à l’escalier,
la vitesse de l ‘escalier,
= 30 s la durée normale de montée,
= 120 s la durée de montée d’un escalier descendant
et L la longueur de l’escalier.
r
v
e
v
1
t
2
t
12
;
re re
LL
vv vv
tt
+= −=
La somme membre à membre donne marches
12
12
11 2 2
24 8
11 1 1
30 120
r
r
v
vL L
tt
tt
⎛⎞
⎟
⎜
=+⇒== =
⎟
⎜⎟
⎟
⎜
⎝⎠ ++
marche par seconde
1
48 10,6
30
er
L
vv
t
=−=−=.
r
v
G
1
v
G
v−
G
III.
1) Soit (a) le référentiel terrestre et (r) le référentiel de l’automobile. La
vitesse d’une goutte d’eau obéit à vv
are
v=+
G
GG
où 1a vv=
G
G et vv
e=
G
G
z
v vuvu=−=−−
,
d’où vv
11rx
G
GG
G
G.
2) En une seconde, une goutte d’eau se déplace de vr
G
et l’automobile
reçoit les gouttes d’eau qui étaient dans deux parallélépipèdes (hachurés sur
la figure) s’appuyant sur vr
G
et sur les faces avant et supérieure de
l’automobile. Le volume de ces parallélépipèdes est ; l’automobile reçoit 64 000 gouttes par seconde.
3
1342 2012 64m 64000Lvab vhb+=××+××= =
automobile
v
1
v
D.
1) Un référentiel, c’est un solide, or l’eau est un liquide. Mais, comme u
G
est uniforme, l’eau est en translation par
rapport aux rives et se comporte comme un solide : on peut la choisir comme référentiel.
2) vwu=+
G
G
G
; v
G
est la vitesse absolue, w
G
la vitesse relative et u
G
la vitesse
d’entraînement.
Transformation des vitesses et accélérations dans un changement de référentiel, page 2
3) wwu
θ
=
G
G
; uucos sin
r
u u u
θ
θθ=−
G
GG vwu
θ
θθ==− ; d’où vu . cos sin
r
4) r
dr d
v. vr
dt dt
θ
θ
==
5) cos sin
dr . d
urwu
dt dt
θ
θθ
==−
6) Prenons le rapport membre à membre de ces deux relations : cos
sin
dr u
rd w u
θ
θθ
=−.
cosuθ
u
G
r
u
G
uθ
G
θ
sinuθ
7) Séparons les variables : 0
cos cos
sin sin
r
p
dr u dr u
dd
rwu r wu
θ
θθ
θθ
θθ
=⇒=
−−
∫
∫.
L’intégrale cos
sin
ud
wu
θθ
θ
−
∫ se calcule par le changement de variable . sin cosxwu dx u dθθ=−=−θ
cos ln ln sin
sin
udx
dxw
wu x
θθθ
θ=−=−=−−
−
∫∫ u
.

[] ( )[]
0
ln ln sin
sin
ln ln
sin
1sin
r
p
rwu
rwu
pw
rw
pwu
p
ru
w
θ
θ
θ
θ
θ
=−−
−
=−
=−
=−
Transformation des vitesses et accélérations dans un changement de référentiel, page 3
8 et 9) Voir ci contre. Le minimum de r correspond au
maximum du dénominateur ; de même, son maximum
correspond à . sin 1θ=−
sin 1θ=
10)
()
r
dwu
dv dw d
aa
dt dt d dt
θθθ
θ
== = =−wu
G
G
G
G
GG
.
11) Il y a accord avec aa
arec
aa=++
G
GGG
.
a
G
représente l’accélération absolue dv
dt
G
et l’accélération relative dw
dt
G
.
Position la plus proche de O
3
21
p
ruw
π
θ==
+/
O
Position la plus éloignée de O
21/
p
ruw
π
θ==
−
u
G
L’accélération d’entraînement e
du
adt =
G
G
est nulle parce que u
G
est uniforme et constant au cours du temps.
L’accélération complémentaire a2
ce
wω=∧
G
G
G
est nulle parce que le mouvement de l’eau est un mouvement de
translation : 0
e
ω=
G
G
.
12) 2
22
sin
r
vwu pw pw
a
rrrr
θθ
θ.
−
== = ⇒=−
13) Le mouvement du bateau autour de l’îlot est semblable à celui d’une planète autour du Soleil, car son
accélération est dirigée vers O et inversement proportionnelle au carré de la distance.
Comme l’accélération est centrale, le théorème du moment cinétique montre que le moment cinétique mrv est
conservé au cours du mouvement ; en particulier, la vitesse est maximum au plus près de O, où elle vaut w ; elle
est minimum au plus loin, où elle vaut wu.
θ
u+
−