Notions d`électromagnétisme

Notions d’électromagnétisme
Première année de Licence SPC
Ledig Jordan

Sommaire
I Rappels de cours 1
1 Intégrales en coordonnées cylindriques 1
2 Intégrales en coordonnées sphériques 2
3 Calcul de flux et de circulation 4
3.1 Calculdeflux............................................. 4
Définition............................................ 4
ThéorèmedeGauss. ..................................... 4
3.2 Calculdecirculation......................................... 5
Définition............................................ 5
ThéorèmedeStockes. .................................... 5
Casdeschampsconservatifs. ................................ 6
4 Lois fondamentales de l’électromagnétisme classique 6
4.1 LoisdeCoulombetdeLorenz.................................... 6
LoileLorenzgénéralisée. .................................. 7
4.2 Relation entre potentiel et champs électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 Équations de Maxwell et calculs de champs 7
Maxwell–Gauss. ...................................... 7
Maxwell–Faraday. .................................... 7
Maxwell–Thomson. .................................... 7
Maxwell–Ampère. .................................... 7
5.1 Lois de Biot et Savart et de Coulomb dans le cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 La lumière et les ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.3 Conservationdelacharge ...................................... 9
5.4 Symétriesdechamps......................................... 10
5.5 Théorème de Gauss et théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.5.1 ThéorèmedeGauss ..................................... 11
5.5.2 Théorèmed’Ampère..................................... 12
6 Compléments 13
6.1 Éléments de volumes, de surface, et de longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.1.1 Casscalaire.......................................... 13
6.1.2 Casvectoriel ......................................... 13
6.2 Divergence, rotationnel et Laplacien en coordonnées locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.2.1 Positionduproblème..................................... 14
6.2.2 Démonstration pour la divergence en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . 15
6.2.3 Tables............................................. 16
6.3 ÉquationsdePoisson......................................... 17
6.3.1 Casstationnaire ....................................... 17
6.3.2 Caspermanent........................................ 17
6.3.3 Danslevide.......................................... 17
6.4 Conservation de l’énergie électromagnétique – Théorème de Poynting . . . . . . . . . . . . . . 18
II Exercices 19
1 Calculs d’intégrales 19
Exercice 1 : Intégrations par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercice 2 : Intégrale Gaussienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercice 3 : Changement de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercice 4 : Densités linéiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercice 5 : Densités surfaciques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercice 6 : Densités volumiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Electro–dynamique 20
Exercice 1 : Deux charges accélérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercice 2 : Électron dans un champ magnétique uniforme et stationnaire. . . . . . . . 20
Exercice 3 : Électron dans un champ électrique uniforme et stationnaire. . . . . . . . . 20
Exercice 4 : Modèle quantique de l’atome de Bohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Électrostatique 21
Exercice 0 : Étude d’un cas standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exercice 1 : L’atome d’hydrogène de Bohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Exercice 2 : Modèle sommaire de l’atome d’hydrogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Exercice 3 : Atome d’hydrogène presque réel. ....................... 25
Exercice4:Ledisquechargé................................. 26
Exercice 5 : Le plan infini chargé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercice 6 : Le cerceau chargé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercice 7 : Le cylindre chargé en volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercice 8 : Le cylindre chargé en surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercice9:Lefilinfini.................................... 26
Exercice 10 : La sphère chargée en surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercice 11 : Équations de Maxwell en gravitation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Magnétostatique 26
Exercice 0 : Champ magnétique créé par une bobine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercice0(bis):Lefilinfini. ................................ 28
Exercice1:Laspire...................................... 29
Exercice2:Lefilinfini.................................... 29
Table des figures
1 Représentation spatiale des coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Représentation spatiale des coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Symétries du champ électrique pour le plan infini chargé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Symétries du champ magnétique pour le fil infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Champs générés par un cerceau électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Sphèrechargéeenvolume....................................... 23
7 Champs générés par une sphère chargée en volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Liste des tableaux
1 Éléments de volumes, de surfaces et de longueurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Divergence dans les différents systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Rotationnel dans les différents systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Laplacien dans les différents systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Formulaire d’électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Première année universitaire de Physique
Première partie
Rappels de cours
1 Intégrales en coordonnées cylindriques
En électromagnétisme, on a souvent besoin de faire appel aux coordonnées polaires et sphériques pour
les calculs d’intégrales. En effet,il ne serait pas aisé d’utiliser les coordonnées cartésiennes. Si l’on désire, par
exemple, calculer l’aire d’un disque Dde rayon R, en coordonnées cartésiennes on obtiendrait la formule
suivante :
A=ZZD dxdy =ZR
0Z√R2−x2 −√R2−x2
dxdy = 2 ZR
−RpR2−x2dx
Cette intégrale n’est pas facilement calculable... Il faut donc utiliser autre chose : il est préférable ici de
passer en coordonnées polaires (ou coordonnées cylindriques). On ne pose alors simplement qu’un changement
de variable (x, y, z)→(r, θ, z)où (x, y, z)∈R,r > 0et θ∈[0,2π].
x=rcos θ
y=rsin θ
z=z
Ce qui revient à dire que
(r=px2+y2
θ= arctan(y
x)
Ainsi, un point M de l’espace de coordonnées (x, y, z)(en notation cartésienne) aura pour coordonnées
(r, 0, z)(en coordonnées cylindriques). Cela veut également dire que le vecteur position de M a pour compo-
sante : −−→ OM =r ~er+z ~ez. Voici un petit schéma qui récapitule ce système de coordonnées :
Figure 1 – Représentation spatiale des coordonnées cylindriques
page 1 1 INTÉGRALES EN COORDONNÉES CYLINDRIQUES

Première année universitaire de Physique
Maintenant que nous savons comment passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques,
nous pouvons aisément calculer la valeur de l’aire d’un disque Dde rayon R. On réutilise la formule définie
plus haut, c’est-à-dire :
A= 2 ZR
−RpR2−x2dx
On prend alors x=Rcos θ, ainsi dx =−Rsin θ dθ. Il ne faut pas oublier de convertir les bornes des
intégrales : θ(x=−R) = πet θ(x=R)=0. L’intégrale à calculer est donc :
A=−2Z0
πpR2−R2cos2θsin θ dθ = 2R2Zπ 0p1−cos2θsin θ dθ
Or nous savons que sin2α+ cos2α= 1 ∀α, donc A se réécrit simplement :
A= 2R2Zπ
0
sin2θ dθ
Pour calculer cette intégrale, il faut linéariser le sinus (i.e. il faut enlever le carré). Pour cela, il faut revenir
à la définition même du sinus : sin x=1
2i(eix −e−ix). En effet :
eix −e−ix
2i2
=−e2ix +e−2ix −2e0
4=−1 2
e2ix +e−2ix
2
| {z }
=cos(2x)
−1
=1
2(1 −cos 2x)
Il vient :
A=R2Zπ
0
(1 −cos 2θ)dθ =R2θ−sin 2θ
2π
0
=πR2
C’est un résultat bien connu de tous, et nous sommes donc certain de notre calcul. Cependant, il est
possible de procéder d’une manière encore plus rapide. On peut par exemple directement raisonner en co-
ordonnées cylindriques. En effet, le dxdy des cartésiens se réécrit en polaire de cette façon : dr rdθ. Ainsi,
dans un disque, le rayon balaye tout de 0àRet l’angle balaye tout de 0à2π. Ce qui se résume par :
D= [−R, R]x×[−R, R]y= [0, R]r×[0,2π]θ. Le calcul de A devient donc très simple :
A=ZZD dxdy =ZZD rdrdθ =ZR
0
r dr Z2π
0
dθ =πR2
Pour calculer la circonférence d’un cercle, c’est également très facile. On fixe r=R(ainsi dr = 0 et on
fait varier θde 0à2π:
C=Z2π
0
Rdθ = 2πR
Si nous avons un cylindre de hauteur h, les calculs sont les mêmes sauf que l’on fait courir zde 0àhen
plus. Un bon exercice serait de redémontrer que le volume d’un cylindre est πR2het que son aire (sans les
disques aux extrémités) est 2πRh.
NB : Ce résultat de volume élémentaire (i.e. dV =rdrdθdz) semble venir de nulle part. Cependant, il est
tout à fait intuitif. Dans la direction de ~er, le point M peut se déplacer de dr ; dans la direction ~eθ, le point M
peut se déplacer de rsin(dθ)∼rdθ (car dθ →0) ; et enfin, dans la direction ~ez, le point M peut se déplacer
de dz. C.f la section compléments (page 13) pour plus de détails.
2 Intégrales en coordonnées sphériques
Nous venons d’aborder le disque et le cylindre, nous allons maintenant nous s’attarder sur la sphère.
Considérons une sphère Sde centre O, et de rayon R. Nous savons que dans ce cas, le domaine Sde la
sphère est donnée par tout les points qui vérifient x2+y2+z2≤R2. Intégrer sur le domaine d’une sphère est
indigeste, et il est donc préférable de se rabattre sur les coordonnées sphériques. Tout d’abord, nous allons
introduire 3 nouvelles variables : (x, y, z)→(r, θ, ϕ)avec r > 0,θ∈[0, π]et ϕ∈[0,2π]. Voici les relations de
page 2 2 INTÉGRALES EN COORDONNÉES SPHÉRIQUES