Isométries euclidiennes du plan et de l`espace

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Feuille d’exercices sur les isométries euclidiennes
Généralités sur les isométries
Exercice 1 (Une symétrie est une isométrie ssi elle est orthogonale) Soit sune symétrie vectorielle
de Eespace euclidien. On dit que sest une symétrie orthogonale si Ker(s−id)⊥Ker(s+ id).
1. Montrer qu’une symétrie orthogonale est un endomorphisme orthogonal (isométrie vectorielle).
2. Démontrer réciproquement qu’une symétrie vectorielle qui est une isométrie est une symétrie orthogonale
(on pourra utiliser une identité de polarisation).
Exercice 2 (Toute isométrie métrique est affine) Soit Eun espace euclidien. Soit fune application (en-
sembliste) de Edans Evérifiant f(0) = 0 et qui conserve les distances, i.e.
∀(x, y)∈E2,d(f(x), f(y)) = d(x, y)i.e. kf(x)−f(y)k=kx−yk.
1. Justifier que fconserve la norme puis démontrer que fconserve le produit scalaire (on pourra développer
kf(x)−f(y)k2=kx−yk2).
2. Soit B= (e1,···, en) une base orthonormée de E. Justifier que la famille f(β) est encore base orthonormée
de E, en déduire que pour tout xde E,
f(x) =
n
X
k=1
< x, ek> f(ek).
3. Conclure que fest linéaire. Que dire de fsi f(0) 6= 0 ?
Exercice 3 Caractériser géométriquement l’endomorphisme de R2euclidien canoniquement associé à 1
25 −7 24
24 7 .
Exercice 4
1. Écrire la matrice dans la base canonique (e1, e2) de R2de la réflexion d’axe Ddirigé par 2e1−e2.
2. Cette réflexion conserve-t-elle la norme N1des vecteurs de R2(on rappelle que N1(x, y) = |x|+|y|) ?
Exercice 5 (Décrire des isométries) Déterminer la nature et préciser les éléments caractéristiques (seule-
ment pour la matrice A) de l’endomorphisme ude R3euclidien canoniquement associé à :
A=1
9
8−1−4
−1 8 −4
−4−4−7
et B= diag(1, R(θ)).
Exercice 6
1. Écrire la matrice dans la base canonique de R3de la symétrie orthogonale par rapport à la droite engendrée
par (1,2,1).
2. Trouver l’image du plan d’équation x−y+z= 0 par cette symétrie (on pourra montrer que c’est un plan
puis le déterminer).
Exercice 7 (Transformation de R3)Soit A∈ M3(R) une matrice orthogonale, symétrique de déterminant
−1.
On note fl’endomorphisme de R3dont Aest la matrice dans la base canonique de R3.
1. Démontrer que fest une symétrie de R3.
2. En déduire qu’il existe une base de R3dans laquelle la matrice de fest diagonale. Préciser la valeur
possible des coefficients diagonaux.

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3. En déduire la nature géométrique de f, selon la dimension de Ker(f−id).
Exercice 8 (Points invariants d’une rotation) Soit rune rotation d’un espace euclidien orienté E.
1. On suppose que Eest un plan et que rfixe un vecteur unon nul. Démontrer que r= id.
2. Le résultat subsiste-t-il si dim E= 3 ?
Autour des matrices orthogonales
Exercice 9 (Vision collective) On rappelle que le produit scalaire canonique de Mn(R) est défini par
< A, B >= Tr tAB.
1. Quelle est la norme euclidienne d’une matrice orthogonale ?
2. Déterminer une matrice de M2(R) de norme √2 qui n’est pas orthogonale.
3. Déterminer l’ensemble des matrices orthogonales de M1(R).
4. L’ensemble des matrices orthogonales de Mn(R) avec n>2 est-il infini ?
5. Est-ce un espace vectoriel ?
Exercice 10 Le groupe SO3(R) est-il commutatif ?
Exercice 11 (Somme des coefficients d’une matrice orthogonale) Soit A= (aij ) une matrice orthogo-
nale de On(R).
Le but de l’exercice est d’établir une majoration de la valeur absolue de la somme Sdes coefficients de la
matrice orthogonale A, c’est à dire du nombre
|S|=
n
X
i=1
n
X
j=1
aij 
.
1. Une première majoration : justifier que tout coefficient de Aest bornée par 1, en déduire une première
majoration du nombre |S|.
2. Une deuxième majoration : déterminer une matrice J∈ Mn(R) telle S= Tr(tAJ). En déduire à l’aide de
l’inégalité de Cauchy-Schwarz que
|S|6n3
2.
Cette inégalité peut-elle être une inégalité ?
3. Une troisième majoration : on note <·,·>le produit scalaire canonique de Rn,fl’endomorphisme de
Rntel que A=MB(u) où B= (e1,...,en) est la base canonique de Rn. Enfin on considère le vecteur
u= (1,1,...,1) de Rn.
(a) Exprimer < f(u), u > en fonction de S.
(b) En déduire que
|S|6n.
4. Parmi les trois majorations, laquelle est la meilleure ? Peut-on en trouver une meilleure ?
Exercice 12 (Décomposition QR et Inégalité de Hadamard) On note B0= (e1,...,en) la base cano-
nique donc orthonormée de (Rn,h·,·i) euclidien.
1. Une interprétation matricielle de Schmidt : soit B= (x1,...,xn) une base de Rn. Notons Bs= (y1,...,yn)
la base orthonormée obtenue en «Schmidtant» la base B. Justifier que la matrice de passage de BsàB
est triangulaire et que ses coefficients diagonaux sont hxi, yiiet sont strictement positifs.

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2. Décomposition QR : en déduire que toute matrice A∈GLn(R) peut s’écrire sous la forme A=QR avec
Qorthogonale et Rtriangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux strictement positifs.
3. Soit Bet B′deux bases orthonormales. Quelle valeur peut prendre detB(B′) ? Interpréter en terme de
«volume».
4. En déduire l’inégalité de Hadamard : soit (x1,...,xn) une famille de vecteurs de E, on a :
|det B0(x1,...,xn)|6kx1k...kxnk.
Préciser le cas d’égalité et interpréter en terme de «volume».