Isométries euclidiennes du plan et de l`espace

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Feuille d’exercices sur les isométries euclidiennes
Généralités sur les isométries
Exercice 1 (Une symétrie est une isométrie ssi elle est orthogonale) Soit s une symétrie vectorielle
de E espace euclidien. On dit que s est une symétrie orthogonale si Ker(s − id)⊥ Ker(s + id).
1. Montrer qu’une symétrie orthogonale est un endomorphisme orthogonal (isométrie vectorielle).
2. Démontrer réciproquement qu’une symétrie vectorielle qui est une isométrie est une symétrie orthogonale
(on pourra utiliser une identité de polarisation).
Exercice 2 (Toute isométrie métrique est affine) Soit E un espace euclidien. Soit f une application (ensembliste) de E dans E vérifiant f (0) = 0 et qui conserve les distances, i.e.
∀(x, y) ∈ E 2 ,
d(f (x), f (y)) = d(x, y)
i.e. kf (x) − f (y)k = kx − yk.
1. Justifier que f conserve la norme puis démontrer que f conserve le produit scalaire (on pourra développer
kf (x) − f (y)k2 = kx − yk2 ).
2. Soit B = (e1 , · · · , en ) une base orthonormée de E. Justifier que la famille f (β) est encore base orthonormée
de E, en déduire que pour tout x de E,
f (x) =
n
X
< x, ek > f (ek ).
k=1
3. Conclure que f est linéaire. Que dire de f si f (0) 6= 0 ?
Exercice 3 Caractériser géométriquement l’endomorphisme de R2 euclidien canoniquement associé à
1
25
−7 24
.
24 7
Exercice 4
1. Écrire la matrice dans la base canonique (e1 , e2 ) de R2 de la réflexion d’axe D dirigé par 2e1 − e2 .
2. Cette réflexion conserve-t-elle la norme N1 des vecteurs de R2 (on rappelle que N1 (x, y) = |x| + |y|) ?
Exercice 5 (Décrire des isométries) Déterminer la nature et préciser les éléments caractéristiques (seulement pour la matrice A) de l’endomorphisme u de R3 euclidien canoniquement associé à :


8 −1 −4
1
A = −1 8 −4 et B = diag(1, R(θ)).
9
−4 −4 −7
Exercice 6
1. Écrire la matrice dans la base canonique de R3 de la symétrie orthogonale par rapport à la droite engendrée
par (1, 2, 1).
2. Trouver l’image du plan d’équation x − y + z = 0 par cette symétrie (on pourra montrer que c’est un plan
puis le déterminer).
Exercice 7 (Transformation de R3 ) Soit A ∈ M3 (R) une matrice orthogonale, symétrique de déterminant
−1.
On note f l’endomorphisme de R3 dont A est la matrice dans la base canonique de R3 .
1. Démontrer que f est une symétrie de R3 .
2. En déduire qu’il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de f est diagonale. Préciser la valeur
possible des coefficients diagonaux.
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3. En déduire la nature géométrique de f , selon la dimension de Ker(f − id).
Exercice 8 (Points invariants d’une rotation) Soit r une rotation d’un espace euclidien orienté E.
1. On suppose que E est un plan et que r fixe un vecteur u non nul. Démontrer que r = id.
2. Le résultat subsiste-t-il si dim E = 3 ?
Autour des matrices orthogonales
Exercice 9 (Vision collective) On rappelle que le produit scalaire canonique de Mn (R) est défini par
< A, B >= Tr t AB .
1. Quelle est la norme euclidienne d’une matrice orthogonale ?
√
2. Déterminer une matrice de M2 (R) de norme 2 qui n’est pas orthogonale.
3. Déterminer l’ensemble des matrices orthogonales de M1 (R).
4. L’ensemble des matrices orthogonales de Mn (R) avec n > 2 est-il infini ?
5. Est-ce un espace vectoriel ?
Exercice 10 Le groupe SO3 (R) est-il commutatif ?
Exercice 11 (Somme des coefficients d’une matrice orthogonale) Soit A = (aij ) une matrice orthogonale de On (R).
Le but de l’exercice est d’établir une majoration de la valeur absolue de la somme S des coefficients de la
matrice orthogonale A, c’est à dire du nombre
X
n
n X
|S| = aij .
i=1 j=1 1. Une première majoration : justifier que tout coefficient de A est bornée par 1, en déduire une première
majoration du nombre |S|.
2. Une deuxième majoration : déterminer une matrice J ∈ Mn (R) telle S = Tr(t AJ). En déduire à l’aide de
l’inégalité de Cauchy-Schwarz que
3
|S| 6 n 2 .
Cette inégalité peut-elle être une inégalité ?
3. Une troisième majoration : on note < ·, · > le produit scalaire canonique de Rn , f l’endomorphisme de
Rn tel que A = MB (u) où B = (e1 , . . . , en ) est la base canonique de Rn . Enfin on considère le vecteur
u = (1, 1, . . . , 1) de Rn .
(a) Exprimer < f (u), u > en fonction de S.
(b) En déduire que
|S| 6 n.
4. Parmi les trois majorations, laquelle est la meilleure ? Peut-on en trouver une meilleure ?
Exercice 12 (Décomposition QR et Inégalité de Hadamard) On note B0 = (e1 , . . . , en ) la base canonique donc orthonormée de (Rn , h·, ·i) euclidien.
1. Une interprétation matricielle de Schmidt : soit B = (x1 , . . . , xn ) une base de Rn . Notons Bs = (y1 , . . . , yn )
la base orthonormée obtenue en «Schmidtant» la base B. Justifier que la matrice de passage de Bs à B
est triangulaire et que ses coefficients diagonaux sont hxi , yi i et sont strictement positifs.
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2. Décomposition QR : en déduire que toute matrice A ∈ GLn (R) peut s’écrire sous la forme A = QR avec
Q orthogonale et R triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux strictement positifs.
3. Soit B et B ′ deux bases orthonormales. Quelle valeur peut prendre detB (B ′ ) ? Interpréter en terme de
«volume».
4. En déduire l’inégalité de Hadamard : soit (x1 , . . . , xn ) une famille de vecteurs de E, on a :
| det B0 (x1 , . . . , xn )| 6 kx1 k . . . kxn k.
Préciser le cas d’égalité et interpréter en terme de «volume».