Série 12 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire pour GM Mardi 9 décembre 2014
Prof. A. Abdulle EPFL
Série 12 (Corrigé)
Exercice 1
Déterminer la solution au sens des moindres carrés de Ax =b,
(a) en utilisant l’équation normale lorsque
(i) A=
2 1
−2 0
2 3 
,b=
4
1
2
,
Sol.: L’équation normale ATAx =ATbest 12 8
8 10 !x= 10 10 !,
elle a pour solution x= 5/14
5/7!.
(ii) A=
1 3
1−1
1 1 
,b=
5
1
0
,
Sol.: ATA= 3 3
3 11 !,ATb= 6 14 !,x= 1 1!.
(iii) A=
110
1 0 −1
011
−1 1 −1
,b=
2
5
6
6
;
Sol.: ATA=
3 0 0
0 3 0
0 0 3 
,ATb=
1
14
−5
,x=
1/3
14/3
−5/3
.
(b) en utilisant la méthode QR,
(i) A=
0 0
1 2
0−1
−1 1
,b=
1
0
1
0
Sol.: On remarque que la décomposition QR a déjà été obtenue à l’exercice
6. L’approximation xau sens des moindres carrés est la solution du système
Rx =QTb, où
QTb= 0
−2/√22 !, et ainsi x= 1/11
−2/11 !.
1

(ii) A=
2 3
2 4
1 1 
,b=
0
0
1
.
Sol.: QTb= 1/3
−2/3!,x= 11/9 −2/3!.
Exercice 2
a) Montrer que si Qest une matrice orthogonale, alors QTest aussi une matrice orthog-
onale.
Sol.: Par définition, une matrice orthogonale Qvérifie QTQ=Iet QQT=I.
Comme Q= (QT)Ton a QT(QT)T=Iet (QT)TQT=I, ce qui montre que QTest
aussi orthogonale.
b) Montrer que si U, V sont des matrices n×northogonale, alors UV est aussi une
matrice orthogonale.
Sol.: En utilisant V V T=UUT=I, on a UV (UV )T=UV V TUT=UUT=I. De
même (UV )TUV =I, donc UV est une matrice orthogonale.
c) Soit uun vecteur unitaire de Rn(kuk= 1). Montrer que la matrice Q=I−2uuT
est orthogonale.
Sol.: On doit montrer QTQ=I.
Méthode 1. En travaillant avec des indices, on a
QTQij =
n
X
k=1
QkiQkj =
n
X
k=1
(δik −2uiuk) (δjk −2ujuk)
=δij +
n
X
k=1
(−δik2ujuk−2δjkuiuk+ 4uiuju2
k),
avec δij = 1 si i=j,δij = 0 sinon. En utilisant Pn
k=1 u2 k= 1 on obtient QTQ=I.
Méthode 2. On calcul matriciellement: QT= (I−2uuT)T=I−2(uT)TuT=Q,
ensuite,
QQT= (I−2uuT)(I−2uuT) = I−2uuT−2uuT+ 4uuTuuT=I−4uuT+ 4uuT=I
où l’on a utilisé uTu=kuk2= 1.
Remarque: De telles matrices orthogonales s’appellent les réflexions de Householder.
d) Montrer que toute valeur propre réelle λd’une matrice orthogonale Qvérifie λ=±1.
Sol.: La matrice orthogonale conserve la norme de tout vecteur x:kQxk2=Dx, QTQxE=
hx, xi=kxk2. Ensuite, si xest le vecteur propre associé à λ, on a kxk=kQxk=
kλxk=|λ|kxk. Comme x6= 0, on obtient |λ|= 1, ainsi λ=±1.
e) Soit Qune matrice orthogonale de taille n×n. Soit {u1, ..., un}une base orthogonale
de Rn. Montrer que {Qu1, ..., Qun}est aussi une base orthogonale de Rn.
Sol.: On calcule pour tout i, j,
hQui, Quji= (Qui)TQuj=uT
iQTQuj=uT iuj,
2

Comme les uisont orthogonaux entre eux, ceci montre que la famille {Qu1, ..., Qun}
est orthogonale et constituée de vecteurs non nuls (de normes kQuik=kuik).
Il reste à montrer que {Qu1, ..., Qun}est une base.
Méthode 1: Comme Qest inversible (d’inverse QT), Qtransforme les bases en
bases, donc {Qu1, ..., Qun}est une base.
Méthode 2: Comme la famille {Qu1, ..., Qun}est orthogonale et constituée de vecteurs
non nuls, elle est automatiquement indépendante. Comme elle comporte nvecteurs,
c’est une base de Rn.
(Remarque: Si {u1, ..., un}est une base orthonormée, alors kQuik= 1, et {Qu1, ..., Qun}
est aussi une base orthonormée. )
Exercice 3
i) Soit {u1, ..., un}une base orthonormée de Rnet vun vecteur dans Rn. Montrer
kvk2=|v·u1|2+... +|v·un|2.
Sol.: Soit Ula matrice orthogonale formée des colonnes ui. En utilisant UUT=I,
on obtient
kvk2=hv, vi=Dv, UUTvE=DUTv, UTvE= UTv
2=
u1·v
.
.
.
un·v
2
=
n
X
i=1 |ui·v|2.
ii) (Inégalité de Bessel) Soit {u1, ..., up}une famille orthonormée dans Rnet soit vun
vecteur de Rn. Montrer
kvk2≥ |v·u1|2+... +|v·up|2.
Sol.: On considère la projection w=Pp
i=1 hui, viuide vsur W= span{u1, ..., up}.
On a la décomposition v=w+z, avec z∈W⊥. Par le théorème de Pythagore, wet
zétant orthogonaux, on obtient
kvk2=kwk2+kzk2.
(En effet, on a kvk2=hw+z, w +zi=kwk2+kzk2+ 2 hw, ziet hw, zi= 0).
Ensuite,
kvk2≥ kwk2=
p
X
i=1 khui, viuik2=
p
X
i=1 |hui, vi|2kuik2=
p
X
i=1 |hui, vi|2.
Exercice 4
Les données suivantes décrivent le potentiel dans un câble électrique en fonction de la
température du câble.
3

i Ti[◦C]Ui[V]
1 0 -2
2 5 -1
3 10 0
4 15 1
5 20 2
6 25 4
On suppose que le potentiel suit la loi Ui=a+bTi+cT 2
i. Calculer a, b, c au sens des
moindres carrés.
Sol.: Le système linéaire s’écrit
U=A
a
b
c
avec U=
U1
.
.
.
U6
et Aest donnée par
A=
1T1T2
1
1.
.
..
.
.
1
1
1.
.
..
.
.
1T6T2
6
=
1 0 0
1 5 25
1 10 100
1 15 225
1 20 400
1 25 625
.
Pour résoudre ce système et trouver a, b, c au sens des moindres carrés, on considère
l’équation normale
ATU=ATA
a
b
c
.
On trouve 
a
b
c
=
−53
28
39
280
1
280
≈
−1.89
0.139
0.00357 
.
Le graphique suivant montre les données (en rouge) et la courbe d’interpolation (bleue)
obtenue au sens des moindres carrés.
4

Exercice 5
On considère les points
xi2568
yi1233
On suppose que la relation entre les xiet les yisuit une loi y=ax +b. Calculer aet bau
sens des moindre carrés.
Sol.: Le système linéaire correspondant est y=A a
b!où Aest donnée par A=
x11
x21
x31
x41
=
2 1
5 1
6 1
8 1
,et y=
y1
y2
y3
y4
=
1
2
3
3
. L’équation normale correspondante est
ATA a
b!=ATy. On obtient la solution a b!= 9
25
9
25 != 0.36
0.36 !.
Exercice 6
Soit Aune matrice symétrique de taille n×n.
i) Montrer que Av ·u=v·Au pour tout u, v ∈Rn(·désigne le produit scalaire usuel
de Rn).
Sol.: En effet, Av ·u= (Av)Tu=vTATu=vTAu =v·Au.
ii) Donner un contre-exemple à i) pour une matrice carrée quelconque, en trouvant une
matrice Bde taille 2×2telle que Bv ·u6=v·Bu en général.
5