ds10 holomorphe

MPSI 1 DS no10 2007-2008
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Exercice 1
Déterminer la développée Dde la courbe Γd’équation x y =1, puis étudier la courbe
D, en particulier l’allure locale aux points stationnaires et les asymptotes, puis la tracer.
Exercice 2
Soient a,b>0 et D={(x,y)∈R2|x2
a2+y2 b2É1}. Calculer
ÏD
(x2+y2)d xd y.
Problème – Fonctions holomorphes, conformes et harmo-
niques
On munit l’espace vectoriel E=R2de son produit scalaire usuel, noté 〈| 〉 et de son
orientation usuelle. Par définition, s∈L(E) est une similitude vectorielle directe si s
s’écrit s=λIdR2◦roù λ∈R∗et r∈SO(2).
On identifie le R-espace vectoriel R2àCpar l’application (x,y)7→ x+i y. On rappelle
que les similitudes directes de centre Ode Csont les applications z7→ cz où c∈C∗.
Soit Uun ouvert non vide de Cet f:U→C. On dit que fest holomorphe (ou déri-
vable au sens complexe) si pour tout z∈U, il existe un c∈Ctel que pour tout h∈Ctel
que z+h∈U, on ait
f(z+h)=f(z)+ch +hε(h)
avec limh→0ε(h)=0. Le nombre cest alors unique et on le note f0(z). Une application
holomorphe est évidemment continue.
On désigne par A(U) l’espace vectoriel des fonctions holomorphe de Udans Ctelle
que z7→ f0(z) soit continue1. Soit C1(U) (resp. C2(U)) l’ensemble des fonctions F:
U→R2de classe C1(resp. C2) sur U, considéré comme ouvert de R2. Soit F∈C1(U).
On dit que Fest conforme si pour tout (x,y)∈U, on a que d F (x,y) est une similitude
directe de R2. Autrement dit, la matrice jacobienne de Fen (x,y) est la matrice d’une
similitude directe. On désigne par Conf(U) le sous-ensemble de C1(U) constitué des
applications conformes sur U.
1C’est un théorème assez délicat que celui qui affirme que toute fonction holomorphe a une dérivée
continue, et même est de classe C∞. Nous ne l’utiliserons pas dans la suite.
Enfin, on désigne par H(U) l’ensembles des applications harmoniques sur U, c’est-
à-dire l’ensemble des applications F∈C2(U) telles que
∆F=∂2F
∂x2+∂2F ∂y2=0.
Dans la suite du problème, si f:U→C, on note F:U→R2l’application associée et
P=Re(f), Q=Im(f). Donc F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) et f(x+i y)=P(x,y)+iQ(x,y).
1 – Similitudes du plan
Soit f:C→Cune application quelconque et F:R2→R2l’application associée.
1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) l’application fest R-linéaire ;
(b) l’application fest de la forme f(x+i y)=λx+µyoù λ,µ∈C;
(c) l’application fest de la forme f(z)=cz +d z où c,d∈C.
2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) l’application fest C-linéaire ;
(b) l’application fest de la forme f(z)=cz où c∈C;
(c) l’application Fest R-linéaire et sa matrice dans la base canonique est de la
forme ¡a−b
b a ¢où aet bsont des nombres réels.
Montrer que dans ces conditions, c=a+ib.
3. Caractérisation des similitudes de R2.Soit sun automorphisme de R2. Montrer
que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(a) sest une similitude, i.e. de la forme s=λIdR2◦roù r∈O(2) et λ∈R∗;
(b) il existe un réel ρ>0 tel que pour tout couple (u,v)∈E2, on a 〈s(u)|s(v)〉 =
ρ2〈u|v〉;
(c) il existe un réel ρ>0 tel que pour tout u∈E, on a ks(u)k = ρkuk;
(d) pour tous u,v∈E, la relation kuk=kvkimplique ks(u)k=ks(v)k;
(e) pour tous a,b∈E, la relation 〈a|b〉 = 0 implique 〈s(a)|s(b)〉 = 0.
(On pourra utiliser le moment venu l’identité 〈u+v|u−v〉=kuk2− kvk2.)
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2 – Fonctions holomorphes et conformes
Soit Uun ouvert non vide de C.
4. (a) Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui appartiennent à A(U).
f0:z7→ 1; f1:z7→ z;f2:z7→ Re z;f3:z7→ z f4z7→ ez.
(b) Soient f,g∈A(U). Montrer que f g ∈A(U) et calculer (f g )0.
(c) Soit f∈A(U) ne s’annulant pas sur U. Montrer que 1
f∈A(U) et calculer sa
dérivée.
(d) Soient U,Vdeux ouverts non vides de C. Soient f∈A(U) et g∈A(V) tels que
f(U)⊂V. Montrer que g◦f∈A(U) et calculer sa dérivée.
5. (a) Soit f:U→C. Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
i. la fonction fappartient à A(U) ;
ii. Pet Qsont de classe C1et vérifient
∂P
∂x=∂Q ∂y;∂P ∂y= − ∂Q ∂x.
(b) Montrer que si les conditions précédentes sont vérifiées, alors
f0=∂P
∂x+i∂Q ∂x=∂P ∂x−i∂P ∂y.
(c) Montrer que si f∈A(U), alors detJacF= kgradPk2= kgradQk2= | f0|2.
(d) Soit f∈A(U) et de classe C2. Montrer que Re(f) et Im(f) sont harmoniques.
6. Soit f∈A(U). Soient γ1,γ2: [−1,1] →Udeux arcs paramétrés simples de classe
C1et réguliers. On suppose γ1(0) =γ2(0) ∈Uet que f0ne s’annulle pas.
(a) Montrer que les arcs ψ1=f◦γ1et ψ2=f◦γ2sont de classe C1et réguliers.
(b) Montrer l’égalité des angles orientés (γ0
1(0),γ0 2(0)) et (ψ0 1(0),ψ0 2(0)).
3 – Fonctions dont la différentielle est orthogonale
On se propose de montrer dans cette partie que les seules fonctions de classe C2
dont la matrice jacobienne est orthogonale en tout point sont les isométries affines de
E.
Soit F∈C1(R2). On dit que Fest une isométries infinitésimale si pour tout (x,y)∈E,
on a dF (x,y) est une isométrie, ce qui équivaut à ce que la matrice jacobienne de F
soit orthogonale. Soit désormais F:E→Ede classe C2. On note ∂1=∂
∂x,∂2=∂ ∂yet
∂2
i j =∂i◦∂joù i,j∈{1, 2}.
7. On suppose que Fest une isométrie affine. Montrer que Fest une isométrie infi-
nitésimale.
On suppose désormais dans cette partie que Fest une isométrie infinitésimale.
8. Déterminer en fonction de i,k∈{1,2}
(∂iP)(∂kP)+(∂iQ)(∂kQ).
9. Pour i,j,k∈{1, 2}, on pose
αi j k =(∂iP)(∂2
j k P)+(∂iQ)(∂2 j k Q).
Montrer que pour tous i,j,k∈{1,2}, on a αi j k =αik j et αi j k = −αk j i .
10. Montrer que pour tous i,j,k∈{1,2}, on a αi j k =0.
11. Résoudre
∂2
11h=∂2 12h=∂2 22h=0
avec h:E→Rde classe C2.
12. En conclure que Fest une isométrie du plan.
13. (Plus difficile) Montrer que les applications g:R2→R2de classe C2qui com-
mutent au laplacien sont exactement les isométries, i.e. on a ∆(φ◦g)=∆(φ)◦g
pour toute φ∈C2(R2,R) si et seulement si g∈O(2).
Pour se détendre
Une fonction constante et la fonction x7→ exse promènent tranquillement dans la
rue. Soudain la fonction constante aperçoit un opérateur différentiel qui approche et
elle se sauve. exla rattrape et lui demande ce qui lui prend.
«Tu ne te rends pas compte ! Si l’opérateur différentiel me rencontre, il me dérivera
et il ne restera rien de moi... !»
«Ah ! Ah !», dit ex, «il ne m’inquiète pas, moi, la dérivation ne me fait pas peur !» Et il
poursuit sa route. Au bout de quelques mètres, il rencontre l’opérateur différentiel.
ex: «Salut, je suis x7→ ex!»
L’opérateur différentiel : «Salut, je suis ∂
∂y...»
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