ds10 holomorphe

DS no 10
MPSI 1
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
2007-2008
Enfin, on désigne par H (U ) l’ensembles des applications harmoniques sur U , c’està-dire l’ensemble des applications F ∈ C 2 (U ) telles que
Exercice 1
∆F =
Déterminer la développée D de la courbe Γ d’équation x y = 1, puis étudier la courbe
D, en particulier l’allure locale aux points stationnaires et les asymptotes, puis la tracer.
∂2 F ∂2 F
+
= 0.
∂x 2 ∂y 2
Dans la suite du problème, si f : U → C, on note F : U → R2 l’application associée et
P = Re( f ), Q = Im( f ). Donc F (x, y) = (P (x, y),Q(x, y)) et f (x + i y) = P (x, y) + iQ(x, y).
Exercice 2
2
1 – Similitudes du plan
y2
Soient a, b > 0 et D = {(x, y) ∈ R2 | ax 2 + b 2 É 1}. Calculer
Ï
D
2
Soit f : C → C une application quelconque et F : R2 → R2 l’application associée.
2
(x + y )d xd y.
1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) l’application f est R-linéaire ;
Problème – Fonctions holomorphes, conformes et harmoniques
(b) l’application f est de la forme f (x + i y) = λx + µy où λ, µ ∈ C ;
(c) l’application f est de la forme f (z) = c z + d z où c, d ∈ C.
On munit l’espace vectoriel E = R2 de son produit scalaire usuel, noté ⟨| ⟩ et de son
orientation usuelle. Par définition, s ∈ L (E ) est une similitude vectorielle directe si s
s’écrit s = λIdR2 ◦ r où λ ∈ R∗ et r ∈ SO(2).
On identifie le R-espace vectoriel R2 à C par l’application (x, y) 7→ x +i y. On rappelle
que les similitudes directes de centre O de C sont les applications z 7→ c z où c ∈ C∗ .
Soit U un ouvert non vide de C et f : U → C. On dit que f est holomorphe (ou dérivable au sens complexe) si pour tout z ∈ U , il existe un c ∈ C tel que pour tout h ∈ C tel
que z + h ∈ U , on ait
f (z + h) = f (z) + ch + hε(h)
2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) l’application f est C-linéaire ;
(b) l’application f est de la forme f (z) = c z où c ∈ C ;
(c) l’application
¢ F est R-linéaire et sa matrice dans la base canonique est de la
¡
forme ba −b
a où a et b sont des nombres réels.
Montrer que dans ces conditions, c = a + i b.
3. Caractérisation des similitudes de R2 . Soit s un automorphisme de R2 . Montrer
que les propriétés suivantes sont équivalentes :
avec limh→0 ε(h) = 0. Le nombre c est alors unique et on le note f 0 (z). Une application
holomorphe est évidemment continue.
On désigne par A(U ) l’espace vectoriel des fonctions holomorphe de U dans C telle
que z 7→ f 0 (z) soit continue1 . Soit C 1 (U ) (resp. C 2 (U )) l’ensemble des fonctions F :
U → R2 de classe C 1 (resp. C 2 ) sur U , considéré comme ouvert de R2 . Soit F ∈ C 1 (U ).
On dit que F est conforme si pour tout (x, y) ∈ U , on a que d F (x, y) est une similitude
directe de R2 . Autrement dit, la matrice jacobienne de F en (x, y) est la matrice d’une
similitude directe. On désigne par Conf(U ) le sous-ensemble de C 1 (U ) constitué des
applications conformes sur U .
(a) s est une similitude, i.e. de la forme s = λIdR2 ◦ r où r ∈ O(2) et λ ∈ R∗ ;
(b) il existe un réel ρ > 0 tel que pour tout couple (u, v) ∈ E 2 , on a ⟨s(u)|s(v)⟩ =
ρ 2 ⟨u|v⟩ ;
(c) il existe un réel ρ > 0 tel que pour tout u ∈ E , on a ks(u)k = ρkuk ;
(d) pour tous u, v ∈ E , la relation kuk = kvk implique ks(u)k = ks(v)k ;
(e) pour tous a, b ∈ E , la relation ⟨a|b⟩ = 0 implique ⟨s(a)|s(b)⟩ = 0.
1 C’est un théorème assez délicat que celui qui affirme que toute fonction holomorphe a une dérivée
continue, et même est de classe C ∞ . Nous ne l’utiliserons pas dans la suite.
(On pourra utiliser le moment venu l’identité ⟨u + v|u − v⟩ = kuk2 − kvk2 .)
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2 – Fonctions holomorphes et conformes
7. On suppose que F est une isométrie affine. Montrer que F est une isométrie infinitésimale.
Soit U un ouvert non vide de C.
4.
On suppose désormais dans cette partie que F est une isométrie infinitésimale.
(a) Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui appartiennent à A(U ).
f 0 : z 7→ 1;
f 1 : z 7→ z;
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f 2 : z 7→ Re z;
f 3 : z 7→ z
8. Déterminer en fonction de i , k ∈ {1, 2}
f 4 z 7→ e z .
(∂i P )(∂k P ) + (∂i Q)(∂k Q).
(b) Soient f , g ∈ A(U ). Montrer que f g ∈ A(U ) et calculer ( f g )0 .
(c) Soit f ∈ A(U ) ne s’annulant pas sur U . Montrer que
dérivée.
1
f
∈ A(U ) et calculer sa
9. Pour i , j , k ∈ {1, 2}, on pose
αi j k = (∂i P )(∂2j k P ) + (∂i Q)(∂2j k Q).
(d) Soient U ,V deux ouverts non vides de C. Soient f ∈ A(U ) et g ∈ A(V ) tels que
f (U ) ⊂ V . Montrer que g ◦ f ∈ A(U ) et calculer sa dérivée.
5.
Montrer que pour tous i , j , k ∈ {1, 2}, on a αi j k = αi k j et αi j k = −αk j i .
(a) Soit f : U → C. Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
10. Montrer que pour tous i , j , k ∈ {1, 2}, on a αi j k = 0.
i. la fonction f appartient à A(U ) ;
11. Résoudre
ii. P et Q sont de classe C 1 et vérifient
∂P ∂Q
=
;
∂x
∂y
∂211 h = ∂212 h = ∂222 h = 0
∂P
∂Q
=−
.
∂y
∂x
avec h : E → R de classe C 2 .
12. En conclure que F est une isométrie du plan.
(b) Montrer que si les conditions précédentes sont vérifiées, alors
f0=
13. (Plus difficile) Montrer que les applications g : R2 → R2 de classe C 2 qui commutent au laplacien sont exactement les isométries, i.e. on a ∆(φ ◦ g ) = ∆(φ) ◦ g
pour toute φ ∈ C 2 (R2 , R) si et seulement si g ∈ O(2).
∂P
∂Q ∂P
∂P
+i
=
−i
.
∂x
∂x
∂x
∂y
(c) Montrer que si f ∈ A(U ), alors det JacF = kgradP k2 = kgradQk2 = | f 0 |2 .
Pour se détendre
(d) Soit f ∈ A(U ) et de classe C 2 . Montrer que Re( f ) et Im( f ) sont harmoniques.
6. Soit f ∈ A(U ). Soient γ1 , γ2 : [−1, 1] → U deux arcs paramétrés simples de classe
C 1 et réguliers. On suppose γ1 (0) = γ2 (0) ∈ U et que f 0 ne s’annulle pas.
Une fonction constante et la fonction x 7→ e x se promènent tranquillement dans la
rue. Soudain la fonction constante aperçoit un opérateur différentiel qui approche et
elle se sauve. e x la rattrape et lui demande ce qui lui prend.
«Tu ne te rends pas compte ! Si l’opérateur différentiel me rencontre, il me dérivera
et il ne restera rien de moi... !»
«Ah ! Ah !», dit e x , «il ne m’inquiète pas, moi, la dérivation ne me fait pas peur !» Et il
poursuit sa route. Au bout de quelques mètres, il rencontre l’opérateur différentiel.
e x : «Salut, je suis x 7→ e x !»
∂
...»
L’opérateur différentiel : «Salut, je suis ∂y
(a) Montrer que les arcs ψ1 = f ◦ γ1 et ψ2 = f ◦ γ2 sont de classe C 1 et réguliers.
(b) Montrer l’égalité des angles orientés (γ01 (0), γ02 (0)) et (ψ01 (0), ψ02 (0)).
3 – Fonctions dont la différentielle est orthogonale
On se propose de montrer dans cette partie que les seules fonctions de classe C 2
dont la matrice jacobienne est orthogonale en tout point sont les isométries affines de
E.
Soit F ∈ C 1 (R2 ). On dit que F est une isométries infinitésimale si pour tout (x, y) ∈ E ,
on a d F (x, y) est une isométrie, ce qui équivaut à ce que la matrice jacobienne de F
∂
∂
soit orthogonale. Soit désormais F : E → E de classe C 2 . On note ∂1 = ∂x
, ∂2 = ∂y
et
∂2i j = ∂i ◦ ∂ j où i , j ∈ {1, 2}.
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