Algèbre Bilinéaire 1 Matrices Orthogonales 2 Projections et

M∈Mn(R)M∈On(R)
⇐⇒ (C1,...,Cn)Rn
⇐⇒ M M−1=tM
⇐⇒ MtM=tM M =In
⇐⇒ (L1,...,Ln)Rn
⇐⇒ M
M M = ±1±
démo: On écrit det (tM M)=( det M)2=det In=1 et kXk2=tX X =tXtM M X =t(M X )M X =kM X k2=λ2kXk2.
³O(n),×´ ³Gl(n), ×´E
On(R)O(n)SO(n)
∀E,FE∀f∈L(E), (f,F)=tP(f,E)P P =PF
E
O(2) 
cosθ−εsinθ
sinθ ε cosθ
ε= ±1SO(2) 
cosθ−sinθ
sinθcosθ
³E,(|)´
F E F pF
F F ⊥F⊕F⊥=E,p=F,p=F⊥
∀x∈E,x−p(x)∈F⊥Id −pF=pF⊥
pF(x)=y⇐⇒ y∈F x −y∈F⊥
p E p ◦p=p
⇐⇒ "\\" p⊥p¡=(Id −p)¢⇐⇒ p=(p)⊥
⇐⇒ ∀ x∈E,p(x)⊥x−p(x)
⇐⇒ p p∗=p
∀x,y∈E, (p(x)|y)=(x|p(y))

(e1,...,ep)F p(x)=
p
X
i=1³ei|x´ei
démo: y=
p
X
i=1³ei|x´ei∈Fest évident et (ej|x−y)=(ej|x)−Ãp
X
i=1
(ei|x)(ej|ei)!=(ej|x)−(ej|x)=0 soit x−y∈F⊥
D a pD(x)=(a|x)a
kak2
HωH⊥=< ω>pH(x)=x−(ω|x)ω
kωk2
F E F
sFF F ⊥
sF=2pF−IdE
sF(x)=y⇐⇒ x+y∈F x −y∈F⊥
s∈O(E)
sF=(−1)n−F=(−1) Fs
sF∈SO(E)⇐⇒ s⇐⇒ n−F=F
ER
f E f
f∈O(E)
⇐⇒ f∀x∈E°
°f(x)° °=kxk
⇐⇒ f∀x,y∈E(f(x)|f(y)) =(x|y)
⇐⇒ f∀x,y∈E d(f(x), f(y)) =d(x,y)
⇐⇒ E(f,E)
⇐⇒ E(f,E)
⇐⇒ f
⇐⇒ f∗f f ∗=f−1
³O(E),◦´ ³GL(E),◦´ ³Bi j ecti on(E), ◦´
f= ±1f±1
O(E)O(E)
SO(E)