TD n°16 - Physique

TD n°16
Exercice 1 :
En coordonnée cylindriques :
 1 rAr  1  A  Az
divA 


r r
r 
z
1 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝐴𝜃
𝜕𝐴𝑟 𝜕𝐴𝑧
1 𝜕(𝑟𝐴𝜃 ) 𝜕𝐴𝑟
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 = (
𝑟𝑜𝑡
−
)𝑢
⃗𝑟 +(
−
)𝑢
⃗𝜃+ (
−
)𝑢
⃗𝑧
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝜃

Soit le champ E à symétrie cylindrique, défini en coordonnées cylindriques par :


r 
r 
E  E0 0 u r si r ≥ r0
et
avec 𝐸0 > 0
E  E0 u r si r ≤ r0
r
r0

1- Déterminer les lignes de champ. Comment varie || E || le long d’une ligne ?

2- Calculer div E en tout point. Pour un champ radial en coordonnées cylindriques, quelle
loi de dépendance avec r permet d’assurer une divergence nulle ?
 
3- Exprimer par deux méthodes différentes, le flux    E.dS , où Σ est la surface

latérale d'un cylindre d’axe Oz, de hauteur h et de rayon r.

4- Si E est un champ électrostatique, à quelle distribution de charges le problème
correspond-il ?
5- Que vaut le rotationnel de ce champ ? Ce résultat était-il attendu ?
Exercice 2 :
En coordonnées sphériques :
 1  r 2 Ar
1  A sin  
1 A
divA  2


r
r sin 

r sin  
r
Deux sphères concentriques de rayons R1 et R2 portées aux potentiels respectifs V1 et V2, sont
séparées par un milieu conducteur de conductivité γ. On désire exprimer la résistance
électrique équivalente.


1- Montrer que le champ électrique dans le conducteur est radial et ne dépend que de r.
2- En déduire la direction du vecteur densité de courants et les variables dont il dépend.
3- En notant I l’intensité du courant circulant entre les sphères de façon radiale, exprimer

la densité de courant j (r ) .
4- En déduire l’expression du champ électrique en tout point du conducteur.
5- En déduire la densité volumique de charges en tout point du conducteur. Ce résultat
était-il attendu ?
6- Calculer l’expression de la résistance R = (V1-V2)/I.
7- Si l’épaisseur e = R2-R1 est très faible devant les rayons, proposer une forme
simplifiée pour cette expression.
Exercice 3 :
Soit une membrane cellulaire, assimilée au plan yOz, représentée sur la figure ci-dessous.
Membrane
Cellule
Toutes les grandeurs physiques sont
supposées ne dépendre que de x.
Electrolyte
Une micro-électrode relevant l’évolution du
potentiel à la traversée de la membrane ( de
x
O
l’extérieur vers l’intérieur de la cellule),
indique une variation de potentiel électrique
en général négative.
On schématise le potentiel par la fonction V(x) suivante :
Pour x ≤ 0, V(x) = - V0.
 x
Pour x > 0, V(x) = - V0 exp    .
 a
Où V0 est une constante positive homogène à un potentiel et a une distance.
1- Calculer le champ électrique en tout point.
2- Appliquer le théorème de Gauss à une surface cylindrique d’axe Ox et de base S,
limitée par des plans d’abscisses x et x+dx. En déduire la densité volumique de
charges ρ en tout point. Retrouver cette expression par application de l’équation de
Maxwell-Gauss puis par l’équation de Poisson.
3- Quel est le signe de ρ ? Comment une densité volumique de charge peut-elle exister
dans un liquide (quels sont les porteurs de charge présents) ?
4- Sachant que la discontinuité du champ électrique vérifie :
𝜎
𝐸⃗ (𝑥 = 0+ ) − 𝐸⃗ (𝑥 = 0− ) = 𝑢
⃗
𝜀0 𝑥
déterminer la densité surfacique de charge σ présente sur la surface d’équation x = 0.
5- Calculer la charge totale contenue dans un cylindre d’axe Ox et de base S, s’étendant
indéfiniment le long de l’axe Ox (de -∞ à +∞). Commenter ce résultat.
Exercice 4 :
Un solénoïde infini, d’axe (Oz) et de rayon a, comporte n spires jointives par unité de
longueur.
1- Rappeler l’expression du champ magnétique en tout point de l’espace si le solénoïde est
parcouru par un courant variable d’intensité i(t) (on se placera dans l’ARQS).
2- En déduire le champ électrique induit.
3- En déduire l'expression du vecteur de Poynting.
4- Etablir l'expression de l'énergie électromagnétique stockée dans une portion de solénoïde
de longueur h.
5- Le courant i(t) est maintenant sinusoïdal de pulsation ω. Dans quel intervalle doit être la
pulsation pour que l'énergie électrique soit négligeable devant l'énergie magnétique.
6- Faire un bilan d'énergie sur une portion h de solénoïde, en supposant le critère de la
question précédente vérifié.
Exercice 5 :
On raisonne sur le circuit schématisé sur la figure
q(t)
ci-contre, comportant un condensateur pour lequel
on retiendra un modèle plan. On note S la section
i
z
des armatures : disque d’axe commun (Oz). En
régime variable, la charge varie selon la loi : i =
dq
.
dt
1- En supposant les variations suffisamment lentes pour que les expressions stationnaires
q(t)
soient réutilisables, justifier la relation 𝐸⃗ =
𝑢
⃗ z.
 0S
2- En déduire la densité de courant de déplacement.
3- Exprimer l’intensité du courant de déplacement à travers un quelconque disque de
rayon R de section S et d’axe (Oz) situé sur les armatures. Que remarque-t-on ?
Exercice 6 :
Une sphère conductrice de centre O et de rayon R, initialement non chargée, est bombardée
de toute part par des particules  (noyau d’hélium de charge +2e) avec un débit N (en s-1), on
suppose qu’elle les absorbe.
On propose une description simplifiée en considérant un
modèle continu de densité de courant 𝑗 radiale en fonction
de la seule distance à O notée r. La vitesse des particules

est supposée sensiblement constante 𝑣 = - 𝑣0 𝑢
⃗ r. Les
expressions des différentes grandeurs sont recherchées
dans l’espace extérieur à la sphère r > R.
1- Proposer une expression pour 𝑗(M). En déduire la
densité volumique de charges (M).
2- Après avoir soigneusement examiné les symétries et les invariances du problème,
déterminer les champs électrique et magnétique en tout point.
3- Examiner l’équation de Maxwell-Ampère et discuter le terme de courant de
déplacement.
Exercice 7 :
 
 2V 2V
On donne en coordonnées cylindriques : V= 1  r V + 12 2 + 2
r r r
r 
z
𝜕𝑓
𝜕𝑟
|
1
𝜕𝑓
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 =
𝑟
| 𝜕𝜃
𝜕𝑓
𝜕𝑧
Soit un condensateur diédrique formé par deux armatures
rectangulaires planes de surface S = h (R2 – R1), qui font
entre elles un angle . Dans le cas où on néglige les effets
U

O
z
R1
R2
de bord, les lignes de champ sont des arcs de cercles d’axe
(Oz).
1- Quelle est la forme des équipotentielles dans le
condensateur ? En déduire les variables dont dépend
le potentiel V.
2- La répartition des charges sur les armatures sera-t-elle uniforme ? Calculer le
potentiel puis déterminer la répartition de ces charges.
𝜎
On admettra qu'au voisinage d'une armature 𝐸⃗ = 𝜀 𝑛⃗𝑒𝑥𝑡 où σ est la densité surfacique
0
de l'armature considérée et 𝑛⃗𝑒𝑥𝑡 le vecteur normal à l'armature et dirigée de l'armature
vers l'intérieur du condensateur.
3- Quelle est la capacité du condensateur ?
4- Calculer l’énergie stockée par le condensateur à l’aide de la densité volumique
d’énergie associée au champ et retrouver ainsi l’expression de la capacité du
condensateur.
Exercice 8 :
On considère un cylindre infini d’axe (Oz) et de rayon R maintenu au potentiel nul et plongé
dans un champ électrique extérieur uniforme 𝐸⃗ = 𝐸0 𝑢
⃗ 𝑥 avec 𝐸0 > 0. Sous l'influence de ce
champ, les charges dans le cylindre se déplacent, et il se une électrisation superficielle
(apparition d'une répartition surfacique de charge sur le cylindre). Le champ créé par les
charges du cylindre s’ajoute au champ extérieur. On cherche, en régime stationnaire,
l’expression du potentiel et du champ électrique total, ainsi que les distributions des charges
sur le cylindre.
On raisonne en coordonnées cylindriques (r,,z) et on pourra reprendre les expressions des
opérateurs dans l’exercice précédent.
1- Examiner les symétries et invariances.
2- Dans quelle sens vont se déplacer les charges positives portées par le cylindre ? Même
question pour les charges négatives.
3- Dessiner dans le plan (xOy) la coupe du cylindre et l'allure de la répartition de
charges. En déduire l'allure des lignes de champ.
4- Quelle est l’équation locale satisfaite par le potentiel V en tout point à l’extérieur du
cylindre ? On se propose de chercher si une solution de la forme V = f(r)g() convient.
f ' 2 f ''
g ''
Montrer qu’il existe alors une constante K telle que K = r
+r
=- .
f
f
g
5- Chercher g sous la forme g = cos  et en déduire K. Chercher alors une solution pour f
de la forme f = rn . En déduire les valeurs de n possibles. Montrer que l’expression
V(r,) = (Ar + B )cos convient.
r
6- On s’intéresse à la solution dans l’espace extérieur au cylindre. A l’aide des conditions
aux limites, déterminer A et B en fonction de E0 et R. Exprimer le champ électrique
total à l’extérieur du cylindre, pour en déduire la densité surfacique de charge de tout
point du cylindre. Quelle est la charge électrique totale portée par unité de longueur du
𝜎
cylindre ? On admettra qu'au voisinage du 𝐸⃗ = 𝜀 𝑢
⃗ 𝑟 où σ est la densité surfacique.
0
Exercice 9 (extrait Banque PT 2016) :
On se propose d'étudier ici un appareil de mesure des faibles pressions : la
jauge de Bayard-Alpert.
1. On s'intéresse au champ électrique 𝐸⃗ (𝑀) et au potentiel 𝑉(𝑀) en un point M repéré par
ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).
a. Faire apparaître sur un schéma les vecteurs unitaire (𝑒𝑟 , 𝑒𝜃 , 𝑒𝑧 ) de la base cylindrique.
b. Expliquer, par des arguments qualitatifs précis, pourquoi on a V(M) = V(r) et 𝐸⃗ (𝑀) =
𝐸(𝑟)⃗𝑒𝑟 .
2. On cherche à déterminer les grandeurs électrostatiques entre C et A.
2.a. Donner l'équation de Maxwell-Gauss.
2.b. En déduire l'équation différentielle que vérifie le potentiel V(r) dans cette zone. (On
pourra faire intervenir l'expression du laplacien fourni en fin d'énoncé).
2.c. Exprimer V(r) en fonction de r , Rg , Rc et Vg .
3. Déduire de la question précédente l'expression du champ 𝐸⃗ (𝑀) entre A et C.
4. L'allure du champ électrique en tout point intérieur de la jauge est donné sur la Figure B.6.
représentant Vsim(M ) = Vsim(r) en fonction de r.
4.a. A partir de ce graphique, donner une estimation de Rc et Rg.
4.b. Donner l'équation littérale du potentiel V(r) entre G et E.
4.c. En déduire l'expression littérale du champ électrique 𝐸⃗ entre G et E.
4.d. Reproduire la Figure B.5 et représenter les lignes de champ électrique en précisant leur
orientation.
On s'intéresse à présent, au comportement des électrons émis par K. Ils sont libérés avec
une vitesse très faible, K étant au potentiel VK = 80V.
5. Estimer numériquement la position RK du filament (situé entre G et E).
6. On fait l'hypothèse d'une émission d'électrons à vitesse initiale nulle (vK = 0). On suppose
de plus que l'électron n'est soumis qu'à l'action du champ électrique étudié précédemment.
6.a. Montrer que la trajectoire de l'électron est rectiligne.
6.b. Donner l'expression de l'énergie potentielle Ep(r) d'un électron dans le champ électrique
𝐸⃗ .
6.c. Montrer que l'énergie mécanique de l'électron émis se conserve.
6.d. Représenter graphiquement Ep(r) puis reporter sur un même graphique Em.
6.e. En déduire que l'électron est piégé dans une portion d'espace comprise entre deux
cylindres de rayons rmin et rmax. Estimer les valeurs de rmin et rmax.
7. En réalité, l'électron est émis avec une vitesse faible mais non nulle. On s'intéresse aux
électrons émis avec une vitesse perpendiculaire à Oz.
7.a. Tant qu'ils ne subissent pas de choc (sur un atome ou sur la grille), les électrons ne sont
soumis qu'à l'action du champ électrique. Montrer que le moment cinétique de l'électron sur
l'axe Oz, noté Lz, est conservé. On pourra utiliser la grandeur Lz pour la suite.
7.b. Montrer que l'énergie mécanique peut s'écrire sous la forme :
1
𝐸𝑚 = 𝑚𝑒 𝑟̇ 2 + 𝐸𝑝𝑒𝑓𝑓 (𝑟)
2
𝐸𝑝𝑒𝑓𝑓 (𝑟) est une fonction ne dépendant que de la position radiale r de l'électron qu'on
exprimera en fonction de r, Lz , me et Vsim (r).
7.c. Au moyen d'un traitement énergétique approprié, montrer soigneusement que l'électron
va rester confiné autour de l'anode tant qu'il ne subit pas de choc. On ne demande pas de
déterminer l'équation de la trajectoire de l'électron.
8. Projeter le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron sur l'axe Oz. Quel
est le mouvement de l'électron suivant Oz ?
Expression du Laplacien en coordonnées cylindriques :
∆𝑓 =
1 𝜕
𝜕𝑓
1 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓
(𝑟 ) + 2 2 + 2
𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑧
Expression du gradient en coordonnées cylindriques :
Masse d'un électron : me = 9.10-31 kg
𝜕𝑓
𝜕𝑟
|
1
𝜕𝑓
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 =
|𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑓
𝜕𝑧