TD n°16 - Physique

TD n°16
Exercice 1 :
En coordonnée cylindriques :
z
A
A
rr
rA
r
Adiv zr
11
Soit le champ
E
à symétrie cylindrique, défini en coordonnées cylindriques par :
r
u
r
r
EE 
0
0
si r ≤ r0 et
r
u
r
r
EE 
0
0
si r ≥ r0 avec 
1- Déterminer les lignes de champ. Comment varie ||
E
|| le long d’une ligne ?
2- Calculer div
E
en tout point. Pour un champ radial en coordonnées cylindriques, quelle
loi de dépendance avec r permet d’assurer une divergence nulle ?
3- Exprimer par deux méthodes différentes, le flux
SdE 
.
, où Σ est la surface
latérale d'un cylindre d’axe Oz, de hauteur h et de rayon r.
4- Si
E
est un champ électrostatique, à quelle distribution de charges le problème
correspond-il ?
5- Que vaut le rotationnel de ce champ ? Ce résultat était-il attendu ?
Exercice 2 :
En coordonnées sphériques :
A
r
A
rrAr
r
Adiv rsin
1
sin
sin
11 2
2
Deux sphères concentriques de rayons R1 et R2 portées aux potentiels respectifs V1 et V2, sont
séparées par un milieu conducteur de conductivité γ. On désire exprimer la résistance
électrique équivalente.
1- Montrer que le champ électrique dans le conducteur est radial et ne dépend que de r.
2- En déduire la direction du vecteur densité de courants et les variables dont il dépend.
3- En notant I l’intensité du courant circulant entre les sphères de façon radiale, exprimer
la densité de courant
)(rj
.
4- En déduire l’expression du champ électrique en tout point du conducteur.
5- En déduire la densité volumique de charges en tout point du conducteur. Ce résultat
était-il attendu ?
6- Calculer l’expression de la résistance R = (V1-V2)/I.
7- Si l’épaisseur e = R2-R1 est très faible devant les rayons, proposer une forme
simplifiée pour cette expression.

Exercice 3 :
Soit une membrane cellulaire, assimilée au plan yOz, représentée sur la figure ci-dessous.
Toutes les grandeurs physiques sont
supposées ne dépendre que de x.
Une micro-électrode relevant l’évolution du
potentiel à la traversée de la membrane ( de
l’extérieur vers l’intérieur de la cellule),
indique une variation de potentiel électrique
en général négative.
On schématise le potentiel par la fonction V(x) suivante :
Pour x ≤ 0, V(x) = - V0.
Pour x > 0, V(x) = - V0 exp
a
x
.
Où V0 est une constante positive homogène à un potentiel et a une distance.
1- Calculer le champ électrique en tout point.
2- Appliquer le théorème de Gauss à une surface cylindrique d’axe Ox et de base S,
limitée par des plans d’abscisses x et x+dx. En déduire la densité volumique de
charges ρ en tout point. Retrouver cette expression par application de l’équation de
Maxwell-Gauss puis par l’équation de Poisson.
3- Quel est le signe de ρ ? Comment une densité volumique de charge peut-elle exister
dans un liquide (quels sont les porteurs de charge présents) ?
4- Sachant que la discontinuité du champ électrique vérifie :
déterminer la densité surfacique de charge σ présente sur la surface d’équation x = 0.
5- Calculer la charge totale contenue dans un cylindre d’axe Ox et de base S, s’étendant
indéfiniment le long de l’axe Ox (de -∞ à +∞). Commenter ce résultat.
Exercice 4 :
Un solénoïde infini, d’axe (Oz) et de rayon a, comporte n spires jointives par unité de
longueur.
1- Rappeler l’expression du champ magnétique en tout point de l’espace si le solénoïde est
parcouru par un courant variable d’intensité i(t) (on se placera dans l’ARQS).
2- En déduire le champ électrique induit.
3- En déduire l'expression du vecteur de Poynting.
4- Etablir l'expression de l'énergie électromagnétique stockée dans une portion de solénoïde
de longueur h.
5- Le courant i(t) est maintenant sinusoïdal de pulsation ω. Dans quel intervalle doit être la
pulsation pour que l'énergie électrique soit négligeable devant l'énergie magnétique.
6- Faire un bilan d'énergie sur une portion h de solénoïde, en supposant le critère de la
question précédente vérifié.
O
x
Electrolyte
Cellule
Membrane

Exercice 5 :
On raisonne sur le circuit schématisé sur la figure
ci-contre, comportant un condensateur pour lequel
on retiendra un modèle plan. On note S la section
des armatures : disque d’axe commun (Oz). En
régime variable, la charge varie selon la loi : i =
dt
dq
.
1- En supposant les variations suffisamment lentes pour que les expressions stationnaires
soient réutilisables, justifier la relation 
=
S
tq
0
)(
z.
2- En déduire la densité de courant de déplacement.
3- Exprimer l’intensité du courant de déplacement à travers un quelconque disque de
rayon R de section S et d’axe (Oz) situé sur les armatures. Que remarque-t-on ?
Exercice 6 :
Une sphère conductrice de centre O et de rayon R, initialement non chargée, est bombardée
de toute part par des particules  (noyau d’hélium de charge +2e) avec un débit N (en s-1), on
suppose qu’elle les absorbe.
On propose une description simplifiée en considérant un
modèle continu de densité de courant  radiale en fonction
de la seule distance à O notée r. La vitesse des particules
est supposée sensiblement constante  = - 0 
r. Les
expressions des différentes grandeurs sont recherchées
dans l’espace extérieur à la sphère r > R.
1- Proposer une expression pour (M). En déduire la
densité volumique de charges (M).
2- Après avoir soigneusement examiné les symétries et les invariances du problème,
déterminer les champs électrique et magnétique en tout point.
3- Examiner l’équation de Maxwell-Ampère et discuter le terme de courant de
déplacement.
Exercice 7 :
On donne en coordonnées cylindriques : V=
r
V
r
rr 
1
+
2
2
2
1
V
r
+
2
2
z
V
Soit un condensateur diédrique formé par deux armatures
rectangulaires planes de surface S = h (R2 – R1), qui font
entre elles un angle . Dans le cas où on néglige les effets
i
q(t)
z
U
R1
R2
O
z

de bord, les lignes de champ sont des arcs de cercles d’axe
(Oz).
1- Quelle est la forme des équipotentielles dans le
condensateur ? En déduire les variables dont dépend
le potentiel V.
2- La répartition des charges sur les armatures sera-t-elle uniforme ? Calculer le
potentiel puis déterminer la répartition de ces charges.
On admettra qu'au voisinage d'une armature 
 où σ est la densité surfacique
de l'armature considérée et 
 le vecteur normal à l'armature et dirigée de l'armature
vers l'intérieur du condensateur.
3- Quelle est la capacité du condensateur ?
4- Calculer l’énergie stockée par le condensateur à l’aide de la densité volumique
d’énergie associée au champ et retrouver ainsi l’expression de la capacité du
condensateur.
Exercice 8 :
On considère un cylindre infini d’axe (Oz) et de rayon R maintenu au potentiel nul et plongé
dans un champ électrique extérieur uniforme 
 avec . Sous l'influence de ce
champ, les charges dans le cylindre se déplacent, et il se une électrisation superficielle
(apparition d'une répartition surfacique de charge sur le cylindre). Le champ créé par les
charges du cylindre s’ajoute au champ extérieur. On cherche, en régime stationnaire,
l’expression du potentiel et du champ électrique total, ainsi que les distributions des charges
sur le cylindre.
On raisonne en coordonnées cylindriques (r,,z) et on pourra reprendre les expressions des
opérateurs dans l’exercice précédent.
1- Examiner les symétries et invariances.
2- Dans quelle sens vont se déplacer les charges positives portées par le cylindre ? Même
question pour les charges négatives.
3- Dessiner dans le plan (xOy) la coupe du cylindre et l'allure de la répartition de
charges. En déduire l'allure des lignes de champ.
4- Quelle est l’équation locale satisfaite par le potentiel V en tout point à l’extérieur du
cylindre ? On se propose de chercher si une solution de la forme V = f(r)g() convient.
Montrer qu’il existe alors une constante K telle que K = r
f
f'
+ r2
f
f''
= -
g
g''
.
5- Chercher g sous la forme g = cos  et en déduire K. Chercher alors une solution pour f
de la forme f = rn . En déduire les valeurs de n possibles. Montrer que l’expression
V(r,) = (Ar +
r
B
)cos convient.
6- On s’intéresse à la solution dans l’espace extérieur au cylindre. A l’aide des conditions
aux limites, déterminer A et B en fonction de E0 et R. Exprimer le champ électrique
total à l’extérieur du cylindre, pour en déduire la densité surfacique de charge de tout
point du cylindre. Quelle est la charge électrique totale portée par unité de longueur du
cylindre ? On admettra qu'au voisinage du 
 où σ est la densité surfacique.

Exercice 9 (extrait Banque PT 2016) :
On se propose d'étudier ici un appareil de mesure des faibles pressions : la
jauge de Bayard-Alpert.