Equations de Maxwell

MP 2016-2017
Parc des loges
Exercices : équations de Maxwell
1 Champ créé par un plan
Le plan inni z = 0 porte la charge surfacique uniforme σ .
−
→
→
1. Montrer par des considérations de symétrie que le champ électrique est de la forme E = E(z)−
uz avec
E(z) impaire.
→
−
2. A l'aide d'une équation locale, montrer que E est uniforme sur chaque demi-espace.
−
→
3. Déterminer à l'aide d'une relation de passage E .
4. Retrouver ce résultat par le théorème de Gauss.
2 Boule chargée
−
→
→
Une boule de rayon R porte une charge volumique telle qu'à l'intérieur de la boule, E = E0 −
ur où E0 est
une constante.
−
1. Calculer la densité volumique de charge ρ(r). On indique qu'en coordonnées sphériques, div (f →
ur ) =
1 ∂(r2 f )
.
r2 ∂r
2. Le champ électrique est-il continu ou discontinu en r = R ?
3. Déterminer l'équation diérentielle vériée par le champ électrique en dehors de la boule. En déduire
−
→
E dans tout l'espace.
4. Déterminer la charge Q portée par la boule et retrouver ce résultat à l'aide du théorème de Gauss.
3 Condensateur cylindrique
On reprend par une autre méthode l'exercice sur le condensateur cylindrique vu en électrostatique. Les armatures du condensateur cylindrique
sont deux cylindres coaxiaux de rayons R1 et R2 et de hauteur h. On
néglige les eets de bord ce qui revient à supposer h très grand devant
les autres longueurs (cylindre inni). Le vide (espace interarmatures) est
présent entre les deux cylindres. La charge Q est présente sur le cylindre
intérieur (et donc -Q sur le cylindre extérieur). On appelle V1 et V2 les
potentiels sur les armatures.
1. Déterminer le potentiel dans l'espace interarmatures V(r)( en ap)
1 ∂
pliquant l'équation de Laplace (sachant que ∆V =
r ∂r
∂V
r
∂r
z
R2
h
R1
vide
en cylindriques).
2. En déduire E(r). A l'aide d'une relation de passage déterminer la
charge σ sur les armatures.
3. Retrouver la capacité du condensateur.
4 Ecrantage de Debye
On considère un milieu électriquement neutre constitué de charges +q et -q de densités volumiques n0 .
Une charge q est au point O. La présence de la charge modie localement la répartition des charges. A
une distance r de O, la densité des charges + et des charges - est (loi de Boltzmann) respectivement :
n+ (r) = n0 e
− kqVT
B
qV
et n− (r) = n0 e kB T
où V est le potentiel électrostatique.
1
Exercices : équations de Maxwell
1. Déterminer la densité volumique de charge ρ(r).
2. Etablir l'équation diérentielle vériée par V(r).
On rappelle qu'en coordonnées sphériques pour le potentiel V(r), ∆V =
1 d2 (rV(r))
.
r
dr2
3. Linéariser cette équation pour qV ≪ kB T, puis la résoudre en introduisant une longueur caractérisq
tique. On remarquera que pour r → 0 , V =
.
4πε0 r
5 Diode à vide
On envisage le dispositif représenté ci-dessous : une cathode C, plaque métallique de surface S est chauée
et émet des électrons, de masse m et de charge q = − |e| dans une enceinte où règne un vide poussé. Ces
électrons sont récupérés par une anode A identique à C et portée à un potentiel U positif. On étudie un
régime stationnaire pour lequel on dénit dans l'espace x ∈ [0; L] la vitesse des électrons v(x), leur densité
volumique n(x) et le potentiel V(x) tel que V(x = 0) = 0. On note I l'intensité du courant orienté.
x=L
x=0
(A)
(C)
x
I
U
1. Etablir par conservation de l'énergie mécanique, l'expression de v(x) en fonction de V(x), e et m en
supposant que v(0) = 0.
2. Etablir l'expression de l'intensité du courant I(x) à travers une section S d'abscisse x en fonction de
n(x), v(x), e et S. On justiera que I(x) = I. On prendra I > 0.
3. En déduire que V(x) est solution de :
d2 V
I
=
dx2
ε0 S
et chercher une solution de la forme V(x) = α
√
( x )β
L
1
m
√
2e V(x)
où α et β sont des constantes à déterminer.
En déduire que I est proportionnelle à U3/2 pour U>0.
4. Justier sans calcul que pour U<0, I=0 et en déduire une application concrète du composant.
6 Champ créé par une couche
d
2
d
2
On considère le champ créé par une couche innie contenue entre les plans z = − et z = , de courant
→
−
→
volumique uniforme j = j −
ex .
−
→
−
→
• Montrer par symétrie que B (x, y, z) = B(z) ey .
−
→
• Déterminer B par application du théorème d'Ampère. On distinguera |z| > d/2 et |z| < d/2. Tracer
B(z).
→
−
→
−
→−
• Retrouver ce résultat en appliquant la relation rot B = µ0 j .
2