Electromagnétisme : autour des équations de Maxwell
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Electromagnétisme : autour des équations de Maxwell Les équations de Maxwell → − Maxwell - Gauss div E = − −→→ → − Maxwell - Flux div B = 0 ρ 0 − −→→ → − Maxwell - Faraday rot E = − ∂∂tB → − → − Maxwell - Ampère rot B = µ0 j + 0 µ0 ∂∂tE 1. Les équations de Maxwell sont linéaires, ce qui les rend particulièrement fortes. Cela implique que les champs crées par une superposition de charges sont égaux à la superposition des champs crées par chacune des charges prise isolément. On peut donc chercher la forme d'un champ quelconque comme une superposition de champs sinusoïdaux, par transformation de Fourier. → − → − 2. En régime non statique, les champs B et E sont pas y avoir un champ sans l'autre. couplés par les équations de M F et M A. Il ne peut donc 3. Chacune des équations de Maxwell correspond à une condition de raccordement : −→ −→ 2 1 M G ⇔ EN − EN = − → −→ M F ⇔ ET2 = ET1 −→ −→ 2 1 M φ ⇔ BN = BN −→ −→ → − M A ⇔ BT2 − BT1 = µ0 js σ −→ 0 n12 4. Chacune des équations de Maxwell correspond à un théroème intégral : ‚→ → − − E .dS = ρint Théorème de Gauss 0 ¸→ − − → M F ⇔ E . dl = − ∂φ ∂t Théorème de Faraday ‚→ → − − → − B .dS = 0 Conservation du ux de B ¸→ − − → M A ⇔ B . dl = µ0 (I + ID ) Théorème d'Ampère MG ⇔ Mφ ⇔ 5. En découplant les équations de Maxwell, on obtient l'équation de propagation des ondes. Pour cela, on forme → − −→−→ −−→ rotrot = grad (div) − ∆ . On obtient alors : → −→ − ∆E − − 1 ∂2 → c2 ∂t2 E → −→ − ∆B − → − = 0 − 1 ∂2 → c2 ∂t2 B → − = 0 −−→ → − − → −→ − → −→ − −→−→→ • rotrot E = grad div E − ∆ E = − ∆ E d'après M G dans le vide. −→→ − − − − −→−→→ −→ → ∂ ∂2 → rot B = − c12 ∂t et rotrot E = rot − ∂∂tB = − ∂t 2 E en utilisant le théorème de Schwarz et M A dans le vide. → − → − → − → − • Les solutions des équations de propagation sont de la forme f t − u c. r + g t + u c. r : un terme se − propageant dans le sens de → u , un terme se propageant dans l'autre direction. 6. Les équations de Maxwell donnent également le théorème de Poynting, c'est-à-dire la conservation de l'énergie. Pour cela, on multiplie les dérivées temporelles par le champ pour obtenir la dérivée d'un carré et on utilise → − → − → − −→→ − − −→→ div A ∧ B = B .rot A − A.rot B → − → − − → − − B ∂B B →→ ∂ 1 2 . = − . rot E = B µ0 ∂t µ0 ∂t 2µ0 − − → − → − → − → −→ → 0 E . ∂∂tE = rot µB0 − j . E = → − − ∂ 1 → − → 1 2 2 = − j .E soit div Π + ∂t 2 0 E + 2µ0 B 7. Les équations de Maxwell montrent l'existence de potentiels : 1 ∂ ∂t 1 2 2 0 E → − → − − −→→ • A , potentiel vecteur tel que B = rot A . −−→ → − • V , potentiel électrique, tel que E = −gradV − → − ∂A ∂t . (→ − → − −−→ A → A + gradχ Ces potentiels sont dénis à un choix de jauge près, c'est-à-dire que tout changement V → V − ∂χ ∂t laisse les champs physiques invariants. 8. Les équations de Maxwell assurent la conservation de la charge électrique ∂ρ ∂t → −→ → − − → − = div 0 ∂∂tE = div rot µB0 − div j −→ et comme div rot = 0, on obtient ∂ρ ∂t → − + div j = 0 Expressions des termes de source Dans un métal • il existe des charges libres et on exprime la densité de courant par → − v→ j = Σtype n∗α qα − α où n∗α est la densité volumique des porteurs de charge de type α (= électron, proton, ...), qα leur charge et − v→ α leur vitesse. De manière plus générale, on utilise la loi d'Ohm locale (obtenue par exemple en appliquant le principe fondamental de la dynamique aux porteurs de charge) → − → − j = γE • il n'y a pas de densité volumique de charge Dans un milieu diélectrique (isolant) → − • les électrons sont liés aux atomes et on introduit la densité de polarisation P = − d→ p dτ . Dans un milieu linéaire, on relie cette densité de polarisation aux champs appliqués par la susceptibilité du milieu → − → − P = 0 [χ] E • La densité de polarisation génère des charges et des courants → − ρ = −div P → − j = Ondes planes progressive sinusoïdales → − − → → − ∂P ∂t → − → − − On se place dans le cas où on cherche les solutions sous la forme E = E0 cos ωt − k .→ r + φ soit E = − → i E0 e → − − r +φ ωt− k .→ en notation complexe. → − → − On a alors ∇ = −j k et ∂ ∂t = jω . − → → − → − ATTENTION: les signes sont ici aaires de convention. On aurait pu prendre E0 ei −ωt+ k . r +φ , auquel cas → − → − ∂ ∇ = +j k et ∂t = −jω . IL FAUT CHOISIR LE SIGNE DU TERME TEMPOREL ET NE PAS EN CHANGER POUR TOUT LE PROBLEME. Les équations de Maxwell donnent alors la structure de l'onde : 2 Daniel Suchet → − → → − − → − MG ⇔ k .E = 0 ⇔ k ⊥ E → − MF ⇔ B = → − → − k ∧E ω = → − → − u ∧E c → − → → − − → − Mφ ⇔ k .B = 0 ⇔ k ⊥ B Elles donnent également la relation de dispersion : f (k) = g(w). Pour une onde dans le vide, k2 = dit qu'un milieu est non dispersif si k est proportionnel à ω . 3 ω2 c2 . On Daniel Suchet
