Interaction d`un atome avec un rayonnement électromagnétique

Interaction d’un atome
avec un rayonnement ´electromagn´etique

1. Parit´e des orbitales atomiques
Op´erateur d’inversion par rapport `a l’origine :
I≡r→ −r
I2= 1 ≡op´erateur identit´e ⇒valeurs propres de I≡+1 et -1
Valeur propre +1 pour l’op´erateur d’inversion ⇒fonction paire
Valeur propre −1pour l’op´erateur d’inversion ⇒fonction impaire

L’hamiltonien Hd’un syst`eme hydrog´eno
¨
ıde est invariant sous I:
H=−~2
2m∇2−Ze2 4πε0
1
r
IH =HI ⇒[I, H] = 0
⇒il est possible de d´efinir des fonctions propres communs `a Het `a I

S´eparabilit´e des fonctions d’onde hydrog´eno
¨
ıdes :
ψE`m(r, θ, φ)∝Y`m(θ, φ)⇒ψE`m(r, θ, φ) = RE`(r)Y`m(θ, φ)(1)
Application de I
⇒I[RE`(r)Y`m(θ, φ)] = RE`(r)Y`m(π−θ, φ +π) (2)
Parit´e de ψE`m(r, θ, φ)≡parit´e de l’harmonique sph´erique Y`m(θ, φ)
Ym
`(θ, φ)=(−1)ms2`+ 1
4π
(`−m)!
(`+m)!Pm
`(cos θ) eimφ m≥0
Ym
`(θ, φ) = s2`+ 1
4π
(`− |m|)!
(`+|m|)!P|m|
`(cos θ) eimφ m≤0
En coordonn´ees sph´eriques : {r, θ, φ}y{r, π −θ, φ +π}

Rappels sur les polynˆomes de Legendre : x= cos θ
D´efinition par la fonction g´en´eratrice
g(t, x) = (1 −2xt +t2)−1/2=
∞
X
n=0
Pn(x)tn|t|<1(3)
Il est ´evident que g(t, x) = g(−t, −x). Ceci implique
∞
X
n=0
Pn(x)tn=
∞
X
n=0
Pn(−x)(−t)n
et donc
Pn(−x) = (−1)nPn(x)
La parit´e du polynˆome Pn(x)est donc ´egale `a la parit´e de n