1 Symétries C, P, et T 2 Violation de la parité 3 Parité des

MP059 – Symétries en physique 2009-2010
Université Pierre et Marie Curie
TD n◦ 6 : Symétries en mécanique quantique
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Symétries C, P, et T
On note C, P et T les opérateurs de conjugaison de charge, de parité et de renversement du temps.
Dire comment les quantités suivantes se transforment sous l’action de ces trois opérateurs :
• La position ~r(t)
• Le potentiel électrique V (~r, t)
• L’impulsion p~(t)
~ r, t)
• Le potentiel vecteur A(~
~
• Le moment cinétique J(t)
~ r, t)
• Le champ électrique E(~
• la densité volumique de charge ρ(~r, t)
~ r, t)
• Le champ magnétique B(~
• la densité volumique de courant ~j(~r, t)
2
Violation de la parité
Dans l’expérience de Mme Wu en 1957, un champ magnétique oblige des atomes de cobalt (J = 5) à
se polariser dans le sens du champ. Ces atomes se désintègrent selon :
60
27 Co
−
−→60
28 Ni + e + ν e
L’expérience a montré que la distribution angulaire des électrons émis n’est pas symétrique par rapport
au plan perpendiculaire à la direction de polarisation ; l’émission β − se fait préférentiellement selon
la direction opposée au champ magnétique.
En quoi est-ce une preuve de la non conservation de la parité ?
3
1.
Parité des harmoniques sphériques
Comment l’opérateur de parité agit-il sur les angles polaire θ et azimutal φ des coordonées sphériques ?
On rappelle les expressions des premiers harmoniques sphériques Ylm :
Y00 (θ, φ) = √14π
q
3
Y11 (θ, ϕ) = − 8π
sin θ eiϕ
q
3
cos θ
Y10 (θ, ϕ) = 4π
q
3
sin θ e−iϕ
Y1−1 (θ, ϕ) = 8π
2.
Quel est la parité des fonctions ci-dessus ?
3.
Extrapoler une règle sur la parité harmoniques sphériques en fonction de l.
1
4
Parité du pion π −
Le pion π − est une particule sans spin de charge −e. Le but de l’exercice est de déterminer la parité
du pion en examinant la désintégration du deutérium pionique en deux neutrons.
le noyau du deutérium, le deutéron noté d, est constitué d’un proton et d’un neutron. Le spin du
deutéron est 1.
1.
Quelle est la parité du deutéron ?
On note ηπ− la parité du pion π − .
2.
Quelle est la parité du deutérium pionique π − d, lorsque celui-ci est dans l’état s ?
Le deutérium pionique, dans l’état s, peut se désintégrer en deux neutrons :
π − d −→ n n.
3.
En invoquant le principe de Pauli, montrer que l’état final des deux neutrons est du type 1 S0 , 3 P0 ,
3
P1 , 3 P2 , 1 D2 ,...
4.
Grâce à la conservation du moment cinétique, donner l’état final parmi toutes les possibilités citées
ci-dessus.
5.
En déduire la parité ηπ− .
5
Diffusion de la lumière par un atome
On considère un atome isolé dans un état excité de moment cinétique j = 1, m = 1. Son état est noté
|1, 1i. L’évolution du système entre les instants initial ti et final tf est régi par l’opérateur d’évolution
U = U(ti , tf ). On cherche à calculer la probabilité d’émission d’un photon par l’atome. Le photon est
une particule de spin 1, où seuls existent les états dont la projection du moment cinétique selon l’axe
de propagtion vaut +~ ou −~ (à la différence des particules massives de spin 1, où la valeur 0 existe
également). Ces deux états de polarisation du photon sont notés respectivement |Di et |Gi (pour
droite et gauche).
On note a l’amplitude de probabilité de transition de l’atome de l’état |1, 1i vers l’état |D; 0, 0i où un
photon circulaire droit a été émis et où l’atome est dans un état j = 0. Cet état sera noté simplement
|Di. On a donc :
a = hD|U|1, 1i.
2
1.
Le Hamiltonien du système est invariant par rotation. Quelle conséquence cela a t-il sur l’opérateur
de moment cinétique total ?
2.
Que vaut l’amplitude hG|U|1, 1i ? que dire également de hD|U|1, 0i, hD|U|1, −1i,... ?
3.
On note |D(θ)i l’état où le photon est émis avec un angle θ par rapport à l’axe Oz. En utilisant
l’opérateur de rotation autour de Oy, exprimer en fonction de a et θ l’amplitude de probabilité
a(θ) = hD(θ)|U|1, 1i d’émettre un photon circulaire droit selon un angle θ.
On appelle b l’amplitude hG|U|1, −1i.
4.
Quelle opération de symétrie permet de passer du processus d’amplitude a à celui d’amplitude b ? En
déduire que |b| = |a|.
La description du champ magnétique par le potentiel vecteur, qui se transforme comme un vecteur
par l’opérateur parité implique que le photon a une parité −1.
5.
Montrer alors que b = a.
6.
Déterminer les amplitudes b(θ) = hG(θ)|U|1, −1i.
7.
Montrer également que
1 − cos θ
,
2
1 − cos θ
d(θ) = hD(θ)| U |1, −1i = a
.
2
c(θ) = hG(θ)| U |1, 1i = a
L’état d’un photon polarisé selon x est noté |xi =
est noté |yi = √i2 (|Gi + |Di).
√1 (|Gi
2
− |Di), celui d’un photon polarisé selon y
Un photon polarisé selon x est absorbé par l’atome qui se retrouve dans l’état
√1 (|1, −1i
2
D
3
− |1, 1i).
8.
Montrer que la dépendance angulaire de l’intensité lumineuse rayonnée par l’atome est cos2 θ.
On donne l’opérateur de rotation d’un angle θ autour de ~ey :

1+cos θ
1−cos θ
√θ
− sin
2
2
2


 sin θ
√θ
cos θ − sin
R~ey (θ) = 
 √2
2


1−cos θ
2
sin
√θ
2
4
1+cos θ
2







