1 Symétries C, P, et T 2 Violation de la parité 3 Parité des

Universit´e Pierre et Marie Curie MP059 – Sym´etries en physique 2009-2010
TD n◦6 : Sym´etries en m´ecanique quantique
1 Sym´etries C, P, et T
On note C,Pet Tles op´erateurs de conjugaison de charge, de parit´e et de renversement du temps.
Dire comment les quantit´es suivantes se transforment sous l’action de ces trois op´erateurs :
•La position ~r(t)
•L’impulsion ~p(t)
•Le moment cin´etique ~ J(t)
•la densit´e volumique de charge ρ(~r, t)
•la densit´e volumique de courant ~ j(~r, t)
•Le potentiel ´electrique V(~r, t)
•Le potentiel vecteur ~ A(~r, t)
•Le champ ´electrique ~ E(~r, t)
•Le champ magn´etique ~ B(~r, t)
2 Violation de la parit´e
Dans l’exp´erience de Mme Wu en 1957, un champ magn´etique oblige des atomes de cobalt (J= 5) `a
se polariser dans le sens du champ. Ces atomes se d´esint`egrent selon :
60
27Co −→60 28 Ni + e−+νe
L’exp´erience a montr´e que la distribution angulaire des ´electrons ´emis n’est pas sym´etrique par rapport
au plan perpendiculaire `a la direction de polarisation ; l’´emission β−se fait pr´ef´erentiellement selon
la direction oppos´ee au champ magn´etique.
En quoi est-ce une preuve de la non conservation de la parit´e ?
3 Parit´e des harmoniques sph´eriques
1. Comment l’op´erateur de parit´e agit-il sur les angles polaire θet azimutal φdes coordon´ees sph´eriques ?
On rappelle les expressions des premiers harmoniques sph´eriques Ym
l:
Y0
0(θ, φ) = 1
√4π
Y1
1(θ, ϕ) = −q3
8πsin θ eiϕ
Y0
1(θ, ϕ) = q3
4πcos θ
Y−1
1(θ, ϕ) = q3
8πsin θ e−iϕ
2. Quel est la parit´e des fonctions ci-dessus ?
3. Extrapoler une r`egle sur la parit´e harmoniques sph´eriques en fonction de l.
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4 Parit´e du pion π−
Le pion π−est une particule sans spin de charge −e. Le but de l’exercice est de d´eterminer la parit´e
du pion en examinant la d´esint´egration du deut´erium pionique en deux neutrons.
le noyau du deut´erium, le deut´eron not´e d, est constitu´e d’un proton et d’un neutron. Le spin du
deut´eron est 1.
1. Quelle est la parit´e du deut´eron ?
On note ηπ−la parit´e du pion π−.
2. Quelle est la parit´e du deut´erium pionique π−d, lorsque celui-ci est dans l’´etat s?
Le deut´erium pionique, dans l’´etat s, peut se d´esint´egrer en deux neutrons :
π−d−→ n n.
3. En invoquant le principe de Pauli, montrer que l’´etat final des deux neutrons est du type 1S0,3P0,
3P1,3P2,1D2,...
4. Grˆace `a la conservation du moment cin´etique, donner l’´etat final parmi toutes les possibilit´es cit´ees
ci-dessus.
5. En d´eduire la parit´e ηπ−.
5 Diffusion de la lumi`ere par un atome
On consid`ere un atome isol´e dans un ´etat excit´e de moment cin´etique j= 1, m= 1. Son ´etat est not´e
|1,1i. L’´evolution du syst`eme entre les instants initial tiet final tfest r´egi par l’op´erateur d’´evolution
U=U(ti, tf). On cherche `a calculer la probabilit´e d’´emission d’un photon par l’atome. Le photon est
une particule de spin 1, o`u seuls existent les ´etats dont la projection du moment cin´etique selon l’axe
de propagtion vaut +~ou −~(`a la diff´erence des particules massives de spin 1, o`u la valeur 0 existe
´egalement). Ces deux ´etats de polarisation du photon sont not´es respectivement |Diet |Gi(pour
droite et gauche).
On note al’amplitude de probabilit´e de transition de l’atome de l’´etat |1,1ivers l’´etat |D; 0,0io`u un
photon circulaire droit a ´et´e ´emis et o`u l’atome est dans un ´etat j= 0. Cet ´etat sera not´e simplement
|Di. On a donc :
a=hD|U|1,1i.
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1. Le Hamiltonien du syst`eme est invariant par rotation. Quelle cons´equence cela a t-il sur l’op´erateur
de moment cin´etique total ?
2. Que vaut l’amplitude hG|U|1,1i? que dire ´egalement de hD|U|1,0i,hD|U|1,−1i,... ?
3. On note |D(θ)il’´etat o`u le photon est ´emis avec un angle θpar rapport `a l’axe Oz. En utilisant
l’op´erateur de rotation autour de Oy, exprimer en fonction de aet θl’amplitude de probabilit´e
a(θ) = hD(θ)|U|1,1id’´emettre un photon circulaire droit selon un angle θ.
On appelle bl’amplitude hG|U|1,−1i.
4. Quelle op´eration de sym´etrie permet de passer du processus d’amplitude a`a celui d’amplitude b? En
d´eduire que |b|=|a|.
La description du champ magn´etique par le potentiel vecteur, qui se transforme comme un vecteur
par l’op´erateur parit´e implique que le photon a une parit´e −1.
5. Montrer alors que b=a.
6. D´eterminer les amplitudes b(θ) = hG(θ)|U|1,−1i.
7. Montrer ´egalement que
c(θ) = hG(θ)| U |1,1i=a1−cos θ
2,
d(θ) = hD(θ)| U |1,−1i=a1−cos θ
2.
L’´etat d’un photon polaris´e selon xest not´e |xi=1
√2(|Gi − |Di), celui d’un photon polaris´e selon y
est not´e |yi=i
√2(|Gi+|Di).
Un photon polaris´e selon xest absorb´e par l’atome qui se retrouve dans l’´etat 1
√2(|1,−1i − |1,1i).
D
3

8. Montrer que la d´ependance angulaire de l’intensit´e lumineuse rayonn´ee par l’atome est cos2θ.
On donne l’op´erateur de rotation d’un angle θautour de ~ey:
R~ey(θ) =
1+cos θ
2−sin θ
√2
1−cos θ
2
sin θ
√2cos θ−sin θ √2
1−cos θ
2
sin θ
√2
1+cos θ
2
4