mecanique i - Université Virtuelle de Tunis

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la
Technologie
Université Virtuelle de Tunis
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M Hichem Trabelsi
MECANIQUE I
LES MOUVEMENTS RELATIFS
Habib Bouchriha, Zeineb Benahmed, Dhouha Gamra, Ridene Saïd
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Les mouvements relatifs
Nous avons vu que le mouvement est une notion relative qui dépend du
système de référence attribué à lobservateur. Des observateurs liés à des réfé-
rentiels di¤érents analyseront le mouvement dun mobile de façon di¤érentes.
Ainsi, un observateur lié à un référentiel terrestre voit la lune décrire une or-
bite presque circulaire alors que dans un référentiel lié au Soleil la trajectoire
est une cycloïde enroulée sur une ellipse (gure 3.1.).
Fig.3.1. : Trajectoires de la Terre et de la Lune autour du Soleil
De même, un objet lâché dans un wagon dun train en mouvement rec-
tiligne uniforme décrit une droite pour un voyageur assis dans le train alors
que, vue par un observateur lié au quai de la gare, la trajectoire est parabo-
lique.
Fig.3.2. : Trajectoires dun mouvement de chute libre par rapport à la Terre et
par rapport au wagon

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Il est donc important de savoir comment sont reliés les mouvements ana-
lysés dans des référentiels di¤érents et quelles sont les relations qui existent
entre les grandeurs cinématiques qui décrivent ces mouvements dans ces ré-
férentiels.
1. 1. Position du problème
Soit le mouvement dun mobile M étudié dans un référentiel R0(O0x0y0z0);
il y est décrit par la donnée de son vecteur position ! r0=! O0M, son vecteur
vitesse ! V0et son accélération ! 0. On suppose que ce référentiel est lui-même
en mouvement par rapport à un autre référentiel R(Oxyz)considéré xe Le
problème est de déterminer les vecteurs position ! r, vitesse ! Vet accélération
!
du mobile dans (R)connaissant ! r0;! V0et ! 0.
On appellera le référentiel xe R(Oxyz)"référentiel absolu" et le réfé-
rentiel mobile R0(O0x0y0z0)"référentiel relatif ". Il faut remarquer que cette
dénomination est arbitraire et est introduite pour la commodité du langage
pour désigner ces référentiels. On pourrait tout aussi bien intervertir les rôles
de (R)et (R0). Le seul fait important est que les deux référentiels sont en
mouvement relatif et du point de vue de la cinématique, ils jouent des rôles
strictement symétriques.
On appellera alors :
mouvement absolu le mouvement du mobile Mdans le référentiel absolu
R(Oxyz)
mouvement relatif le mouvement du mobile Mdans le référentiel relatif
R0(O0x0y0z0)
mouvement dentraînement le mouvement du référentiel relatif (R0)par
rapport au référentiel absolu (R).
Le problème se posera alors ainsi :
Connaissant le mouvement relatif dun mobile Met le mouvement den-
traînement, on se propose de déterminer le mouvement absolu de ce mobile.
Il sagit donc de trouver comment se transforment les vecteurs position,
vitesse et accélération lorsquon passe dun référentiel à lautre.

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2. 2. Relation entre les vecteurs positions -
point coïncidant
2.1. 2.1 Vecteurs positions
Le mouvement dentraînement de (R0)est complètement déni si on
connaît à tout instant la position de lorigine O0par rapport à lorigine O
et les orientations des vecteurs de base ! i0;! j0;! k0du référentiel relatif (R0)
par rapport aux vecteurs de base ! i ; ! j ; ! kdu référentiel absolu (R)(Figure
3.3). En dautres termes, si on connaît à tout instant les coordonnées de O0
et les composantes ! i0;! j0;! k0dans le référentiel absolu (R).
z
O
O’
y’
y
x’
x
M
z’
i
•
'k
'j
'i
j
k
Fig.3.3. : Mouvement dentraînement de R par rapport à R
Le vecteur position du point Mdans le référentiel relatif (R0)est :
!
O0M=! r0=x0!
i0+y0!
j0+z0!
k0
Le vecteur position dans (R)est :
!
OM =! OO0+! O0M
soit :
!
OM =! OO0+x0! i0+y0! j0+z0! k0(1)
Connaissant les coordonnées x0
0; y0 0et z0 0de O0dans (R), on obtient les
coordonnées de Mdans (R)en projetant cette égalité vectorielle sur les
vecteurs de base.

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2.2. 2.2 Point coïncidant
Cest un point Plié au référentiel mobile (R0)et qui, à linstant t, coïncide
avec le point mobile M.
Il en résulte que le point Pqui est mobile avec (R0)na aucune raison de
coïncider avec Mà tout instant di¤érent de t. Les trajectoires de Met P
seront donc en général di¤érentes après linstant t.
On peut illustrer ce fait en analysant le mouvement de la valve dune
roue de bicyclette qui se déplace dun mouvement de translation rectiligne
et uniforme de vitesse V(Figure 3.4). Soient (R)le référentiel absolu lié à
la route et (R0)le référentiel mobile lié à la fourche du vélo. Si à linstant t
un point Plié à la fourche du vélo coïncide avec la valve M, à un instant
ultérieur t0,Mvient en M0avec la vitesse ! Vet lorsque le mobile décrit larc
de cycloïde MM0, le point coïncidant Pdécrit, lui, le segment de droite P P 0
à la vitesse ! V.
Fig.3.4. : Mouvement dune valve de roue dune bicyclette
Ce point revêt une grande importance dans le calcul de la vitesse et de
laccélération dentraînement.
3. 3. Relation entre les vecteurs vitesses
3.1. 3.1 Vitesse relative dun mobile par rapport à un
autre
Considérons, dans un référentiel R(Oxyz), deux mobiles Aet Bet un
observateur placé par commodité à lorigine Ode ce référentiel.
Les vitesses de Aet Bpar rapport à Osont :
!
VA=d!
OA
dt =d!
rA
dt