Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 5

Terminale S - sp´ecialit´e corrig´e du devoir maison n˚5
Correction du devoir non surveill´e de math´ematiques no5
Exercice 1 :
Partie A
Soit Nun entier naturel, impair non premier.
On suppose que N=a2−b2o`u aet bsont deux entiers naturels.
1. Montrons que aet bn’ont pas la mˆeme parit´e, sachant que Nest un nombre entier impair.
Nous allons raisonner par l’absurde et utiliser les congruences modulo 2 :
si aet bsont tous les deux pairs alors a≡0 (2) et ≡0 (2). Il s’en suit que a2≡0 (2) et b2≡0 (2).
Ainsi, a2−b2≡0 (2), c’est-`a-dire N≡0 (2). Ce dernier r´esultat contredit le fait que Nest un nombre
entier impair.
si aet bsont tous les deux impairs alors a≡1 (2) et ≡1 (2). Il s’en suit que a2≡1 (2) et b2≡1 (2).
Ainsi, a2−b2≡0 (2), c’est-`a-dire N≡0 (2). Ce dernier r´esultat contredit le fait que Nest un nombre
entier impair.
On en d´eduit que aet bn’ont pas la mˆeme parit´e.
2. On reconnaˆıt une identit´e remarquable : N= (a−b)(a+b).
On pose p=a−bet q=a+b. Puisque aet bsont des entiers naturels avec a > b (car N=a2−b2est un entier
naturel non nul), pet qle sont aussi.
3. Puisque aet bne sont pas de mˆeme parit´e, il est clair que p=a−bet q=a+bsont deux entiers impairs.
Partie B
On admet que 250 507 n’est pas premier.
On se propose de chercher des couples d’entiers naturels (a;b)v´erifiant la relation :
(E) : a2−250 507 = b2.
1. Soit Xun entier naturel.
a. Restes possibles de Xdans la division euclidienne par 9(modulo 9) et ceux de X2dans la division euclidienne
par 9.
X≡... (9) 012345678
X2≡... (9) 014077041
b. On sait que que a2−250 507 = b2. D’apr`es le tableau pr´ec´edent, on sait que les restes de b2dans la division
euclidienne par 9sont 0; 1; 4 et 7.
Ainsi, les restes possibles dans la division euclidienne par 9de a2−250 507 sont 0; 1; 4 et 7.
Mais, 250 507 = 27 834 ×9 + 1 donc 250 507 ≡1 (9).
Comme, a2=b2+ 250 507, et b2≡0 (9), ou b2≡1 (9), ou b2≡4 (9), ou b2≡7 (9),
il vient a2≡1 (9), ou a2≡2 (9), ou a2≡5 (9), ou b2≡8 (9).
Mais, d’apr`es le tableau pr´ec´edent, modulo 9, un carr´e n’est pas congru `a 2, ni `a 5, ni `a 8. N´ecessairement,
on a a2≡1 (9), c’est-`a-dire que a2a pour reste 1dans la division euclidienne par 9(061<9).
c. On a a2≡1 (8). Par lecture du tableau pr´ec´edent, les restes possibles dans la division euclidienne par 9
de asont 1et 8.Ce sont les seuls cas qui donnent a2≡1 (9).
2. On suppose que le couple (a;b)v´erifie la relation (E) : a2−250 507 = b2.
a2=b2+ 250 507
=⇒a2>250 507
=⇒a>√250 507 car la fonction racine carr´ee est croissante sur [0 ; +∞[.
=⇒a>501 car √250 507 ≈500,51 et aest un entier naturel.
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Terminale S - sp´ecialit´e corrig´e du devoir maison n˚5
On a donc a>501.
S’il existe un couple du type (501 ; b)solution de (E), alors 5012−250 507 = b2⇐⇒ 494 = b2. Mais
494 n’est pas le carr´e d’un entier naturel !
Ainsi, il n’existe pas de solution `a (E) du type (501 ; b).
3. On suppose que le couple (a;b)v´erifie la relation (E).
a. D’apr`es la question 1. c., a≡1 (9) ou a≡8 (9).
Mais 503 = 55 ×9 + 8 avec 068<9donc 503 ≡8 (9) ;
et 505 = 56 ×9 + 1 avec 061<9donc 505 ≡1 (9).
On a donc a≡1≡505 (9) ou a≡8≡503 (9), ou encore a≡505 (9) ou a≡503 (9).
b. D´eterminons le plus petit entier naturel ktel que le couple (505 + 9k;b)soit solution de (E) :
k= 0 : 5052−250 507 = 4 518 mais 4 518 n’est pas le carr´e d’entier naturel.
k= 1 : (505 + 9 ×1)2−250 507 = 13 689 = (117)2.
Le couple (505 + 9 ; 117), c’est-`a-dire (514 ; 117) est solution de l’´equation (E).
Partie C
1. a2−250 507 = b2⇐⇒ a2−b2= 250 507.
En utilisant la d´ecomposition de la partie A et le couple solution de la question pr´ec´edente, on obtient
N= (514 −117) ×(514 + 117) soit N= 397 ×631
2. 397 et 631 sont premiers entre eux car il s’agit de deux nombres premiers. Il suffit de faire le test de primalit´e (jusqu’`a
√397 pour 397 et jusqu’`a √631 pour 631), ou la d´ecomposition en produit de facteurs premeirs pour chacun de ces nombres entiers.
3. Puisque 397 et 631 sont des nombres premiers, il s’agit de la d´ecomposition en produit de facteurs premiers
de 250 507 et elle est unique (exept´ee la d´ecompositon triviale 250 507 = 1 ×250 507).
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