Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 5

Terminale S - spécialité
corrigé du devoir maison n˚5
Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 5
Exercice 1 :
Partie A
Soit N un entier naturel, impair non premier.
On suppose que N = a2 − b2 où a et b sont deux entiers naturels.
1. Montrons que a et b n’ont pas la même parité, sachant que N est un nombre entier impair.
Nous allons raisonner par l’absurde et utiliser les congruences modulo 2 :
2
2
si a et b sont tous les deux pairs alors a ≡ 0 (2) et ≡ 0 (2). Il s’en suit que a ≡ 0 (2) et b ≡ 0 (2).
Ainsi, a2 − b2 ≡ 0 (2), c’est-à-dire N ≡ 0 (2). Ce dernier résultat contredit le fait que N est un nombre
entier impair.
2
2
si a et b sont tous les deux impairs alors a ≡ 1 (2) et ≡ 1 (2). Il s’en suit que a ≡ 1 (2) et b ≡ 1 (2).
Ainsi, a2 − b2 ≡ 0 (2), c’est-à-dire N ≡ 0 (2). Ce dernier résultat contredit le fait que N est un nombre
entier impair.
On en déduit que a et b n’ont pas la même parité.
2. On reconnaı̂t une identité remarquable : N = (a − b)(a + b).
On pose p = a − b et q = a + b. Puisque a et b sont des entiers naturels avec a > b (car N = a2 − b2
naturel non nul), p et q le sont aussi.
est un entier
3. Puisque a et b ne sont pas de même parité, il est clair que p = a − b et q = a + b sont deux entiers impairs.
Partie B
On admet que 250 507 n’est pas premier.
On se propose de chercher des couples d’entiers naturels (a ; b) vérifiant la relation :
(E) : a2 − 250 507 = b2 .
1. Soit X un entier naturel.
a. Restes possibles de X dans la division euclidienne par 9 (modulo 9) et ceux de X 2 dans la division euclidienne
par 9.
X ≡ . . . (9)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
X ≡ . . . (9)
0
1
4
0
7
7
0
4
1
b. On sait que que a2 − 250 507 = b2 . D’après le tableau précédent, on sait que les restes de b2 dans la division
euclidienne par 9 sont 0; 1; 4 et 7.
Ainsi, les restes possibles dans la division euclidienne par 9 de a2 − 250 507 sont 0; 1; 4 et 7.
Mais, 250 507 = 27 834 × 9 + 1 donc 250 507 ≡ 1 (9).
Comme, a2 = b2 + 250 507, et b2 ≡ 0 (9), ou b2 ≡ 1 (9), ou b2 ≡ 4 (9), ou b2 ≡ 7 (9),
il vient a2 ≡ 1 (9), ou a2 ≡ 2 (9), ou a2 ≡ 5 (9), ou b2 ≡ 8 (9).
Mais, d’après le tableau précédent, modulo 9, un carré n’est pas congru à 2, ni à 5, ni à 8. Nécessairement,
on a a2 ≡ 1 (9), c’est-à-dire que a2 a pour reste 1 dans la division euclidienne par 9 (0 6 1 < 9).
c. On a a2 ≡ 1 (8). Par lecture du tableau précédent, les restes possibles dans la division euclidienne par 9
de a sont 1 et 8. Ce sont les seuls cas qui donnent a2 ≡ 1 (9).
2. On suppose que le couple (a ; b) vérifie la relation (E) : a2 − 250 507 = b2 .
=⇒
=⇒
=⇒
a2 = b2 + 250 507
a2 >√250 507
a > 250 507 car la fonction racine carrée est croissante sur [0 ;
√
a > 501 car 250 507 ≈ 500,51 et a est un entier naturel.
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12 janvier 2013
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On a donc a > 501.
S’il existe un couple du type (501 ; b) solution de (E), alors 5012 − 250 507 = b2
494 n’est pas le carré d’un entier naturel !
Ainsi, il n’existe pas de solution à (E) du type (501 ; b).
⇐⇒
494 = b2 . Mais
3. On suppose que le couple (a ; b) vérifie la relation (E).
a. D’après la question 1. c., a ≡ 1 (9) ou a ≡ 8 (9).
Mais 503 = 55 × 9 + 8 avec 0 6 8 < 9 donc 503 ≡ 8 (9) ;
et 505 = 56 × 9 + 1 avec 0 6 1 < 9 donc 505 ≡ 1 (9).
On a donc a ≡ 1 ≡ 505 (9) ou a ≡ 8 ≡ 503 (9), ou encore a ≡ 505 (9) ou a ≡ 503 (9).
b. Déterminons le plus petit entier naturel k tel que le couple (505 + 9k ; b) soit solution de (E) :
k = 0 : 5052 − 250 507 = 4 518 mais 4 518 n’est pas le carré d’entier naturel.
k = 1 : (505 + 9 × 1)2 − 250 507 = 13 689 = (117)2 .
Le couple (505 + 9 ; 117), c’est-à-dire (514 ; 117) est solution de l’équation (E).
Partie C
1. a2 − 250 507 = b2
⇐⇒
a2 − b2 = 250 507.
En utilisant la décomposition de la partie A et le couple solution de la question précédente, on obtient
N = (514 − 117) × (514 + 117) soit N = 397 × 631
2. 397 et 631 sont premiers entre eux car il s’agit de deux nombres premiers. Il suffit de faire le test de primalité (jusqu’à
√
√
397 pour 397 et jusqu’à 631 pour 631), ou la décomposition en produit de facteurs premeirs pour chacun de ces nombres entiers.
3. Puisque 397 et 631 sont des nombres premiers, il s’agit de la décomposition en produit de facteurs premiers
de 250 507 et elle est unique (exeptée la décompositon triviale 250 507 = 1 × 250 507).
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