circuits RLC - Université du Maine

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Université du Maine - Faculté des Sciences
Sujet
circuits RLC
Résistance
A chaque instant, u( t ) ! Ri( t ) .
La valeur de R dépend de la résistivité " (#.m-1) du matériau utilisé, de sa longueur l (m) et de
i(t)
R
l
.
S
Variation de R en fonction de la température : R(T ) ! R 0 (1 $ aT ) avec R0, résistance à O°C et
sa section S (m2). Une formule usuelle donne : R ! "
u(t)
a de l’ordre de 10-3 (dépend du matériau).
Différentes technologies sont utilisées :
%& résistance au carbone (couramment utilisée) : une couche de carbone est déposée sur un mandrin en céramique
isolant,
%& résistance à couche métallique : idem avec une couche de métal,
%& résistance bobinées (puissance > à 4,5 W) : un fil métallique résistif est enroulé sur un mandrin réfractaire.
Code des couleurs pour lire la valeur d’une résistance :
A,B,C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sans marque :
D
1 2
20
5 10
er
A=1 chiffre
ème
B=2
D=Précision
chiffre
C=Puissance de 10
Couleur
R
Mo
N ar u
oi ro g
r n e
OJ
ra a
n u V Bl Vi G
g n er e ol ri
e e t u et s
Bl
Ar
a
n O ge
c r nt
R !(AB).10 ' D%
C
Exemple :
marron vert marron
150 # ± 20%
orange blanc rouge or 3900 # ± 5%
jaune violet or or
4,7 # ± 5%
Remarques :
Pour le choix d’une résistance, il faut connaître la puissance qu’elle devra dissiper RI2 : ¼ W, ½ W, 1W ou plus.
On ne peut pas acheter une résistance de 125.6 # : il existe des valeurs normalisées. La série de valeurs normalisées la plus
connue est la série E12, soit 12 valeurs par décade : 100, 120, 150, 180, 220, 270, 330, 390 , 470, 560, 680, 820 (puis 1000,
1200, 1500 …). Il existe les séries E24, E48, E96 et E192 (de plus en plus précises et aussi plus chères !).
En général, on utilise la série E12 (D = 5%), ¼ W (5 à 8 centimes la résistance).
Condensateurs
C
i(t)
u(t)
A chaque instant, i( t ) ! C
du( t )
(la convention des signes est la même que pour une résistance).
dt
Un condensateur est constitué de 2 armatures conductrices séparées d’un isolant, appelé diélectrique. La
valeur de sa capacité C (en Farad) dépend de permittivité ( du diélectrique utilisé, de la largeur du
diélectrique (e) et de la surface des armatures S (m2). Ainsi, pour un condensateur plan :
( ! (0 (R !
1
9
C!( S avec
e
( R . (R vaut 1 pour le vide, 1,003 pour l’air, à 2,8 pour le papier, 3 à 7 pour le
36)10
verre, 8 pour le mica …
Différents matériaux sont utilisés pour le diélectrique: plastique, mica, céramique, liquide électrolytique, tantale …
Lecture de la valeur d’un condensateur :
Il existe souvent un marquage en clair : 1.5 pour 1.5 pF, 3p3 pour 3.3 pF, n10 pour 0.1 nF, 4n7 pour 4.7 nF, 47n pour 47 nF,
0.01 pour 0.01 µF, on peut aussi trouver : 471 pour 47*101 = 470 pF, 103 pour 10*103 = 10 nF.
Il existe aussi un code des couleurs reprenant celui des résistances.
Valeurs standards : séries E6 et E12.
Une spécification technique donnée pour un condensateur est sa tension maximale.
Les technologies les plus utilisées sont :
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%&
%&
%&
Sujet
Condensateurs électrolytiques (ou chimiques) : attention, ces condensateurs sont polarisés (ils n’admettent pas de
tension négative)! Utilisés pour le filtrage, découplage et liaison BF jusqu'à 10 kHz. Valeurs de 1 à 10000 µF, tension
nominale 6,3 à 500 V.
Condensateurs plastiques : utilisation très variée (limite de fréquence : MHz, tension nominale : 63 à 10000V).
Valeurs de 10 pF à 2,2 µF pour le polystyrène, de 1 nF à 10 µF pour le mylar.
Condensateurs céramiques : très utilisés, de 1 pF à 22 nF (63 à 500 V, 50 MHz), de 100 pF à 0,47 µF (25 à 500 V,
10 MHz).
Inductance
L
i(t)
A chaque instant, u( t ) ! L
di( t )
(la convention des signes est la même que pour une résistance).
dt
Les inductances (en Henry) sont moins utilisées en électronique, car souvent encombrantes : pour
des valeurs de quelques H, il s’agit de bobines. L’inductance dépend alors de la perméabilité
magnétique µ du noyau, de la section de S de la bobine, du nombre de spires N de la bobine et de sa
longueur l . Une formule usuelle donne : L ! * 0 * R
u(t)
S
N
l
2
, avec
* 0 ! 4 )10
+7
, la perméabilité
magnétique de l’air. µR vaut 100 pour l’acier doux, 15000 pour le fer et 80000 pour des ferro–
nickels.
Pour les valeurs plus faibles (quelques µH à quelques mH), les constructeurs proposent des inductances qui ressemblent à des
résistances (même code des couleurs).
Régime sinusoïdal permanent
Prenons l’exemple d’un circuit R, C excité par un signal sinusoïdal :
e( t ) ! E 2 sin ,t (E est la valeur efficace de e(t))
i(t)
R = 1 k#
e(t)
u(t)
C = 100 nF
on a e( t ) ! u( t ) $ Ri( t ) ! u( t ) $ RC
+
t
%& Solution générale de l’équation sans second membre : u( t ) ! Ke RC ! Ke
%& Solution particulière de l’équation avec 2nd membre :
On cherche une solution de la forme : u( t ) ! E1 2 sin ,t $ E 2 2 cos ,t
du( t )
(1)
dt
+
t
-
, où - est la constante de temps.
(1) 0 E 2 sin ,t ! E 1 2 sin ,t $ E 2 2 cos ,t $ RC, ( E 1 2 cos ,t + E 2 2 sin ,t )
0 .E ! E 1 + RC,E 2 /et.0 ! E 2 $ RC,E 1 /
E
RC,E 4
1
4 1
0 2E 1 !
5
2 2
2 5et 2 E 2 ! +
1$ R C , 6 3
1 $ R 2C2, 2 6
3
E 2
(sin ,t + RC, cos ,t )
1 $ R 2C2, 2
E 2
sin(,t + 7 )
0 u( t ) !
1 $ R 2C2, 2
0 u( t ) !
avec 7 ! arctan(RC,)
%& D’où u( t ) ! Ke
t
+
-
$
E 2
1$ R
2
2
C ,
2
sin(,t + 7)
E 2
Les Conditions Initiales donnent : u(0) ! 0 0 K !
2
2
1$ R C ,
2
sin 7
Finalement :
u( t ) !
E 2 sin 7
2
2 2
e
+
t
-
$
E 2
1$ R C ,
1 $ R 2 C 2 ,2
u( t ) ! u(Transitoire ) $ u(Permanent )
sin(,t + 7)
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+
E 2 sin 7
le terme u(Transitoire) !
2
1$ R C
2
,
2
e
E 2
le terme u(Permanent ) !
2
1$ R C
2
,
t
-
Sujet
devient nul à t 8 5- ,
sin(,t + 7) est le régime sinusoïdal permanent.
2
%& Remarque :
Le régime transitoire est dû à la solution générale de l’équation sans 2nd membre.
Le régime sinusoïdal permanent est dû à la solution particulière de l’équation différentielle. Voici les tracés obtenus pour des
fréquences du signal d’excitation de 4000 Hz et de 400 Hz :
0.2
u(t)
1
u(t)
U(Transitoire)
U(Transitoire)
0.15
0.8
0.6
0.1
0.4
0.05
0.2
0
0
-0.2
-0.05
-0.4
-0.1
-0.6
U(Permanent)
-0.8
-0.15
0
0.5
1
1.5
f=4000Hz
U(Permanent)
2
x 10
-1
-3
0
0.005
0.01
0.015
0.02
f=400Hz
Au bout d’un certain temps, correspondant au régime transitoire, toutes les grandeurs (courants et tensions) sont sinusoïdales.
Impédances : définition
Soit un récepteur parcouru par un courant i(t) et aux bornes duquel on a une tension u(t). Si i(t)
et u(t) sont des grandeurs sinusoïdales, i( t ) ! I 2 cos ,t et u( t ) ! U 2 cos(,t $ 7) , on peut les
u(t)
Récepteur
i(t)
modéliser par des nombres complexes
I ! I 2e
j ,t
et U ! U 2e
Par analogie avec la loi d’Ohm, on définit l’impédance
Z est un nombre complexe dont le module vaut
Z !
j( ,t $ 7 )
I et U tels que :
i( t ) ! R E (I) et u( t ) ! R E (U) avec
.
Z telle que
U ! Z.I : Z !
U U 2e
!
I
I 2e
j( ,t $ 7 )
!
j, t
U
e
I
j7
.
U
, le rapport des valeurs efficaces (idem au rapport des amplitudes), et
I
l’argument vaut arg( Z) ! 7 , le déphasage de u(t) par rapport à i(t).
Remarques :
On définit aussi l’admittance Y !
1
et la réactance X telle que Z ! R $ jX , alors Z ! R
Z
2
$X
2
et arg( Z ) ! arctan
X
.
R
Dans la suite, on n’écrira pas la barre pour désigner Z.
On peut aussi décrire les nombres complexes I et U par des vecteurs de Fresnel, tels que Longueur (I) ! I et Angle(I) ! arg(I) .
Ces vecteurs représentés à t = 0, tournent dans le sens trigonométrique à une vitesse angulaire ,.
Impédances de dipôles
Les dipôles R, L, C peuvent être modélisés par des nombres complexes.
R
u(t)
i(t)
Pour une résistance : Z ! R ! Re
j0
, le courant et la tension sont en phase.
Fresnel :
U
I
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C
Sujet
)
i(t)
Pour un condensateur : Z !
1
1 +j2
!
e
, le courant est en avance sur la
jC, C,
I
tension.
u(t)
Démonstration : i( t ) ! C
0 R E (I) ! C
i(t)
0 R E (U) ! L
j
)
2
j,t
)
, le courant est en retard sur la
dR E (I)
d(I)
d
! R E (L
) ! R E (L I 2 e
dt
dt
dt
0 R E (U) ! R E (Lj,I 2e
( j,t $ 7 )
)!R E (jC,U)0 U ! 1 I
jC,
(j,t $ 7)
Pour une inductance : Z ! jL, ! L,e
tension.
di( t )
Démonstration : u ( t ) ! L
dt
u(t)
7!+ )
2
U
dR E (U)
d(U)
d
! R E (C
) ! R E (C U 2 e
dt
dt
dt
0R E (I)!R E (Cj,U 2e
L
du( t )
dt
j ,t
7! )
2
U
I
)
) ! R E ( jL,I)
Cet outil permet d’utiliser les lois habituelles pour décrire les circuits : Ohm, Thévenin, Millman …
Puissances
La puissance instantanée consommée par un récepteur est
p(t)!u(t)i(t) . Quand on parle de puissance, il s’agit de la
T
puissance moyenne : P !
1
u( t )i( t )dt s’exprime en Watt et est transformée en travail.
T
9
0
Pour
des
signaux
sinusoïdaux,
P!
T
T
0
0
2UI 1
1
(cos(2,t $ 7) $ cos 7)dt ! UI cos 7
U 2 cos(,t $ 7)I 2 cos(,t )dt !
T 2
T
9
9
avec
7 ! arg( Z ) . La puissance consommée par un récepteur dépend de la nature résistive, capacitive ou inductive de celui – ci. C’est
pourquoi cos7 est appelé facteur de puissance du récepteur.
Pour pouvoir décrire un récepteur qui consomme une puissance nulle, on définit le
S=UI
triangle des puissances :
P est la puissance active, en Watt (W) : transformée en travail (chaleur),
Q=UIsin7
7
Q est la puissance réactive, en Volt Ampère Réactive (VAR) : stockée sous forme
électrostatique ou magnétique.
S est la puissance apparente, en Volt Ampère (VA) .
P=UIcos7
2
2
On a Q ! P tan 7 et S ! P $ Q .
Pour des récepteurs de type R, L, C, on obtient le tableau suivant :
R
Z
Z !
R
R
U
I
P ! UI cos 7
arg( Z) ! 7
0
RI
C
L
1
jC,
jL,
1
C,
L,
Remarque :
Un Wattmètre mesure la puissance active P=UIcos7 :
2 entrées « gros fils » permettent de mesurer le courant,
2 entrées « petits fils » permettent de mesurer la tension.
Attention, la puissance peut être nulle alors que le courant est grand !
+)
2
)
2
2
0
2
!
U
R
0
0
W
Q ! UI sin 7
+
1
I
C,
! L, I
2
2
! +C,U
!
1
U
L,
i(t)
u(t)
Récepteur
2
2