circuits RLC - Université du Maine

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circuits RLC
Résistance
R i
(
t
)
u
(
t
)
A chaque instant, )t(Ri)t(u !.
La valeur de R dépend de la résistivité " (#.m-1) du matériau utilisé, de sa longueur l (m) et de
sa section S (m2). Une formule usuelle donne :
S
l
R"! .
Variation de R en fonction de la température : )aT1(R)T(R 0$! avec R0, résistance à O°C et
a de l’ordre de 10-3 (dépend du matériau).
Différentes technologies sont utilisées :
%& résistance au carbone (couramment utilisée) : une couche de carbone est déposée sur un mandrin en céramique
isolant,
%& résistance à couche métallique : idem avec une couche de métal,
%& résistance bobinées (puissance > à 4,5 W) : un fil métallique résistif est enroulé sur un mandrin réfractaire.
Code des couleurs pour lire la valeur d’une résistance :
A=1er chiffre
B=2ème chiffre
C=Puissance de 10
D=Précision
%D10).AB(R C'!
A,B,C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
D 1 2
Sans marque :
20 5
10
Couleur
N
oi
r
M
ar
ro
n
R
o
u
g
e
O
ra
n
g
e
J
a
u
n
e
V
er
t
Bl
e
u
Vi
ol
et
G
ri
s
Bl
a
n
c
O
r
Ar
ge
nt
Exemple :
150 # ± 20%
3900 # ± 5%
marron vert marron
orange blanc rouge or
jaune violet or or 4,7 # ± 5%
Remarques :
Pour le choix d’une résistance, il faut connaître la puissance qu’elle devra dissiper RI2 : ¼ W, ½ W, 1W ou plus.
On ne peut pas acheter une résistance de 125.6 # : il existe des valeurs normalisées. La série de valeurs normalisées la plus
connue est la série E12, soit 12 valeurs par décade : 100, 120, 150, 180, 220, 270, 330, 390 , 470, 560, 680, 820 (puis 1000,
1200, 1500 …). Il existe les séries E24, E48, E96 et E192 (de plus en plus précises et aussi plus chères !).
En général, on utilise la série E12 (D = 5%), ¼ W (5 à 8 centimes la résistance).
Condensateurs
C i
(
t
)
u
(
t
)
A chaque instant, dt
)t(du
C)t(i ! (la convention des signes est la même que pour une résistance).
Un condensateur est constitué de 2 armatures conductrices séparées d’un isolant, appelé diélectrique. La
valeur de sa capacité C (en Farad) dépend de permittivité ( du diélectrique utilisé, de la largeur du
diélectrique (e) et de la surface des armatures S (m2). Ainsi, pour un condensateur plan : e
S
C(! avec
RR0 9
1036
1(
)
!((!( . (R vaut 1 pour le vide, 1,003 pour l’air, à 2,8 pour le papier, 3 à 7 pour le
verre, 8 pour le mica …
Différents matériaux sont utilisés pour le diélectrique: plastique, mica, céramique, liquide électrolytique, tantale …
Lecture de la valeur d’un condensateur :
Il existe souvent un marquage en clair : 1.5 pour 1.5 pF, 3p3 pour 3.3 pF, n10 pour 0.1 nF, 4n7 pour 4.7 nF, 47n pour 47 nF,
0.01 pour 0.01 µF, on peut aussi trouver : 471 pour 47*101 = 470 pF, 103 pour 10*103 = 10 nF.
Il existe aussi un code des couleurs reprenant celui des résistances.
Valeurs standards : séries E6 et E12.
Une spécification technique donnée pour un condensateur est sa tension maximale.
Les technologies les plus utilisées sont :

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%& Condensateurs électrolytiques (ou chimiques) : attention, ces condensateurs sont polarisés (ils n’admettent pas de
tension négative)! Utilisés pour le filtrage, découplage et liaison BF jusqu'à 10 kHz. Valeurs de 1 à 10000 µF, tension
nominale 6,3 à 500 V.
%& Condensateurs plastiques : utilisation très variée (limite de fréquence : MHz, tension nominale : 63 à 10000V).
Valeurs de 10 pF à 2,2 µF pour le polystyrène, de 1 nF à 10 µF pour le mylar.
%& Condensateurs céramiques : très utilisés, de 1 pF à 22 nF (63 à 500 V, 50 MHz), de 100 pF à 0,47 µF (25 à 500 V,
10 MHz).
Inductance
L i
(
t
)
u
(
t
)
A chaque instant, dt
)t(di
L)t(u ! (la convention des signes est la même que pour une résistance).
Les inductances (en Henry) sont moins utilisées en électronique, car souvent encombrantes : pour
des valeurs de quelques H, il s’agit de bobines. L’inductance dépend alors de la perméabilité
magnétique µ du noyau, de la section de S de la bobine, du nombre de spires N de la bobine et de sa
longueur l . Une formule usuelle donne : 2
R0 N
l
S
L**! , avec
7
104
0
+
)!* , la perméabilité
magnétique de l’air. µR vaut 100 pour l’acier doux, 15000 pour le fer et 80000 pour des ferro–
nickels.
Pour les valeurs plus faibles (quelques µH à quelques mH), les constructeurs proposent des inductances qui ressemblent à des
résistances (même code des couleurs).
Régime sinusoïdal permanent
R = 1 k#
C = 100 nF
e(t) u(t)
i
(
t
)
Prenons l’exemple d’un circuit R, C excité par un signal sinusoïdal :
tsin2E)t(e ,! (E est la valeur efficace de e(t))
on a dt
)t(du
RC)t(u)t(Ri)t(u)t(e $!$! (1)
%& Solution générale de l’équation sans second membre : -
++ !!
t
RC
t
KeKe)t(u , où - est la constante de temps.
%& Solution particulière de l’équation avec 2nd membre :
On cherche une solution de la forme : tcos2Etsin2E)t(u 21 ,$,!
././
( ) sin sin cos ( cos sin )
() (sin cos )
( ) sin( )
12 2 2 2 2
0
121
2
1
2
1
12 1 2
12 21
1222 222
222
222
0! $ $ +
0!+ ! $
0!
$
1
2
3
4
5
6!+ $
1
2
3
4
5
6
0!
$+
0!
$+
EtE tE tRCE tE t
E E RC E et E RC E
EE
RC et E RC E RC
ut E
RC tRC t
ut E
RC
t
,, ,,,,
,,
,
,
,
,,,,
,,7
avec
)RCarctan( ,!7
%& D’où )tsin(
CR1
2E
Ke)t(u
222
t
7+,
,$
$! -
+
Les Conditions Initiales donnent : 7
,$
!0! sin
CR1
2E
K0)0(u
222
Finalement :
)Permanent(u)eTransitoir(u)t(u
)tsin(
CR1
2E
e
CR1
sin2E
)t(u 222
t
222
$!
7+,
,$
$
,$
7
!-
+

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le terme
-
+
,$
7
!
t
e
CR1
sin2E
)eTransitoir(u
222 devient nul à -8 5t ,
le terme )tsin(
CR1
2E
)Permanent(u
222
7+,
,$
! est le régime sinusoïdal permanent.
%& Remarque :
Le régime transitoire est dû à la solution générale de l’équation sans 2nd membre.
Le régime sinusoïdal permanent est dû à la solution particulière de l’équation différentielle. Voici les tracés obtenus pour des
fréquences du signal d’excitation de 4000 Hz et de 400 Hz :
0
0.5
1
1.5
2
x10
-
3
-
0.15
-
0.1
-
0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
u(t)
U
(
Permanent
)
U(Transitoire)
f=4000Hz
0
0.005
0.01
0.015
0.02
-
1
-
0.8
-
0.6
-
0.4
-
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u(t)
U
(
Permanent
)
U(Transitoire)
f=400Hz
Au bout d’un certain temps, correspondant au régime transitoire, toutes les grandeurs (courants et tensions) sont sinusoïdales.
Impédances : définition
Réce
p
teur
i
(
t
)
u
(
t
)
Soit un récepteur parcouru par un courant i(t) et aux bornes duquel on a une tension u(t). Si i(t)
et u(t) sont des grandeurs sinusoïdales, tcos2I)t(i ,! et )tcos(2U)t(u 7$,! , on peut les
modéliser par des nombres complexes Iet U tels que : )I(R)t(i E
!et )U(R)t(u E ! avec
tj
e2II ,
! et )t(j
e2UU 7$,
!.
Par analogie avec la loi d’Ohm, on définit l’impédance Z telle que I.ZU ! : 7
,
7$,
!!! j
tj
)t(j
e
I
U
e2I
e2U
I
U
Z.
Z est un nombre complexe dont le module vaut I
U
Z!, le rapport des valeurs efficaces (idem au rapport des amplitudes), et
l’argument vaut 7!)Zarg( , le déphasage de u(t) par rapport à i(t).
Remarques :
On définit aussi l’admittance Z
1
Y! et la réactance X telle que jXRZ $! , alors 22 XRZ $! et R
X
arctan)Zarg( !.
Dans la suite, on n’écrira pas la barre pour désigner Z.
On peut aussi décrire les nombres complexes Iet U par des vecteurs de Fresnel, tels que I)I(Longueur ! et )Iarg()I(Angle !.
Ces vecteurs représentés à t = 0, tournent dans le sens trigonométrique à une vitesse angulaire ,.
Impédances de dipôles
Les dipôles R, L, C peuvent être modélisés par des nombres complexes.
R i
(
t
)
u
(
t
)
Pour une résistance : 0j
ReRZ !! , le courant et la tension sont en phase. Fresnel :
I
U

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C i
(
t
)
u
(
t
)
Pour un condensateur : 2
j
e
C
1
jC
1
Z
)
+
,
!
,
! , le courant est en avance sur la
tension.
Démonstration : dt
)t(du
C)t(i !
)e2U
dt
d
C(R)
dt
)U(d
C(R
dt
)U(dR
C)I(R )tj(
EE
E
E
7$,
!!!0
I
jC
1
U)UjC(R)e2UCj(R)I(R EEE
)tj(
,
!0,!,!0 7$,
I
U 2
)
+!7
L i
(
t
)
u
(
t
)
Pour une inductance : 2
j
eLjLZ
)
,!,! , le courant est en retard sur la
tension.
Démonstration : dt
)t(di
L)t(u !
)e2I
dt
d
L(R)
dt
)I(d
L(R
dt
)I(dR
L)U(R tj
EE
E
E
,
!!!0
)IjL(R)e2ILj(R)U(R EEE
tj ,!,!0 ,
2
)
!7
I
U
Cet outil permet d’utiliser les lois habituelles pour décrire les circuits : Ohm, Thévenin, Millman …
Puissances
La puissance instantanée consommée par un récepteur est )t(i)t(u)t(p !. Quand on parle de puissance, il s’agit de la
puissance moyenne : 9
!
T
0
dt)t(i)t(u
T
1
P s’exprime en Watt et est transformée en travail.
Pour des signaux sinusoïdaux, 7!7$7$,!,7$,! 99 cosUIdt)cos)t2(cos(
2
1
T
UI2
dt)tcos(2I)tcos(2U
T
1
P
T
0
T
0
avec
)Zarg(!7 . La puissance consommée par un récepteur dépend de la nature résistive, capacitive ou inductive de celui – ci. C’est
pourquoi 7
cos est appelé facteur de puissance du récepteur.
Pour pouvoir décrire un récepteur qui consomme une puissance nulle, on définit le
triangle des puissances :
P est la puissance active, en Watt (W) : transformée en travail (chaleur),
Q est la puissance réactive, en Volt Ampère Réactive (VAR) : stockée sous forme
électrostatique ou magnétique.
S est la puissance apparente, en Volt Ampère (VA) .
On a 7! tanPQ et 22 QPS $! .
P=UIcos
7
Q=UIsin
7
S=UI
7
Pour des récepteurs de type R, L, C, on obtient le tableau suivant :
Z
I
U
Z! 7!)Zarg( 7! cosUIP 7! sinUIQ
R R R 0
R
U
RI
2
2!
0
C
,jC
1 ,C
1 2
)
+ 0 22 UCI
C
1,+!
,
+
L ,jL ,L
2
) 0 22 U
L
1
IL ,
!,!
Remarque :
Un Wattmètre mesure la puissance active P=UIcos7 :
2 entrées « gros fils » permettent de mesurer le courant,
2 entrées « petits fils » permettent de mesurer la tension.
Attention, la puissance peut être nulle alors que le courant est grand !
Réce
p
teur
i
(
t
)
u
(
t
)
W