Corrigé du TD4 de mai 2014

UNIVERSITÉ BLAISE PASCAL Année 2013-2014
U.E. Mathématiques Générales 2 - Licence L1 M.A.S.S., Maths, Info
Feuille d’exercices no4 : Suites définies par récurrence.
Remarque : Des exercices sur les suites définies par récurrence peuvent être proposés
dans le sujet d’examen.
Suite de l’exercice 3
On définit la suite récurrente (xn)par
x0= 0, xn+1 =√2 + xn.
(d) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer l’existence d’une constante Mtelle
que |xn+2 −xn+1| ≤ M|xn+1 −xn|pour tout n∈N. En déduire une majoration pour |xn+2 −`|.
Solution. Comme pour tout x > 0,|f0(x)|=|1
2√2+x|<1
2√2=M, on a alors |xn+2 −
xn+1|=|f(xn+1)−f(xn)| ≤ 1
2√2|xn+1 −xn|. De même du fait que f(`) = `on trouve que
pour n≥1,|xn−`|=|f(xn−1)−f(`)| ≤ | 1
2√2|xn−1−`|. De proche en proche on voit
que pour tout n∈N,|xn−`| ≤ 1
2√2n
|x0−`|.
(e) De combien d’itérations a-t-on besoin pour se rapprocher de quatre ordres à la limite `?
Solution.
1
2√2n
<10−4⇐⇒
nlog10 1
2√2<−4⇐⇒
−nlog10 2√2<−4⇐⇒
nlog10 2√2>4⇐⇒
n > 4
log10 2√2≈9.
Exercice 1 :
La suite (un)n∈Nest définie de la manière suivante : u0∈]0,1[
un+1 =un−u2
n
.
(a). Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0< un<1.
Solution. On peut montrer cela par récurrence en notant P(n)l’inégalité 0< un<
1.
u0∈]0,1[ par hypothèse, d’où P(0) est vraie.
Soit n∈Ntel que P(n)est vraie. Rappelons que un+1 =un−u2
n=un(1 −un). Nous
avons
P(n) vraie ⇔un∈]0,1[⇒0< un<1
0<1−un<1⇒0< un(1 −un)<1⇒0< un+1 <1.
Donc P(n+ 1) est vraie.
P(0) est vraie. De plus pour tout n∈N, si P(n)est vraie alors P(n+1) est vraie.
Par récurrence, P(n)est vraie pour tout n∈N.

(b). Démontrer que la suite est strictement décroissante. En déduire que la suite possède une limite.
Solution. La suite est strictement décroissante si et seulement si
un+1 < un⇐⇒ un−u2
n< un⇐⇒ u2 n>0,
ce qui est vrai parce que nous avons déjà montré que, pour tout n,0< un<1, donc
en particulier, pour tout n,un6= 0.
Une suite bornée et monotone possède forcément une limite.
(c). Calculer la limite `de la suite.
Solution. Pour calculer la limite `de la suite, nous réécrivons d’abord la défi-
nition par récurrence comme
un+1 =f(un), f(x) := x−x2.
Donc, si la suite admet une limite, celle-ci doit être un point fixe de la fonction
f:
un+1 =f(un)
↓ ↓
`=f(`),
d’où
`=f(`)⇐⇒ `=`−`2⇐⇒ `2= 0 ⇐⇒ `= 0.
Nous avons prouvé que lim
n→∞ un= 0.
(d). En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer l’existence d’une constante Mtelle
que |un+2 −un+1| ≤ M|un+1 −un|pour tout n∈N. En déduire une majoration pour |un+2 −`|.
Solution. La fonction fest continue sur [0,1] et dérivable sur ]0,1[. De plus on peut
prouver que, pour tout x∈[0,1],|f0(x)| ≤ 1 =: M. Donc, d’après l’inégalité des
accroissements finis, pour tout (x, y)∈[0,1] ×[0,1], on a |f(x)−f(y)| ≤ M|x−y|.
Si on prend y=unet x=un+1 (et M= 1), on peut réécrire cela |un+2 −un+1| ≤
|un+1 −un|. Si on prend y=`, on obtient |f(x)−f(`)| ≤ M|x−`|, c’est-à-dire |f(x)−`| ≤
M|x−`|. En choisissant x=u0, par récurrence on peut montrer que |un−`| ≤ Mn|u0−`|.
Comme dans ce cas M= 1, cela revient à |un−`| ≤ |u0−`|.
(e). Si on voulait savoir combien d’itérations sont nécessaires pour se rapprocher quatre ordres à
la limite `, cette majoration serait-elle utile ?
Solution. Non, car M≥1. A priori, selon la majoration, unpeut être aussi loin
de la limite que un.
Exercice 4 :
On considère deux suites réelles (un)n∈Net (vn)n∈Nvérifiant :
0≤v0≤u0,∀n∈N, un+1 =un+vn
2et vn+1 =√unvn.
(a). Montrer que ∀n∈N,0≤vn≤un.
Solution. On peut montrer cela par récurrence.
Initialisation. 0≤v0≤u0par hypothèse.
Hérédité. Supposons 0≤vn≤un. Nous avons
0≤vn+1 ≤un+1 ⇐⇒ 0≤√unvn≤un+vn
2⇐⇒ 0≤2√unvn≤un+vn
⇐⇒ 0≤4unvn≤u2
n+v2 n+ 2unvn⇐⇒ −4unvn≤0≤u2 n+v2 n−2unvn
⇐⇒ −4unvn≤0≤(un−vn)2,

ce qui est vrai.
(b). Etudier la monotonie des suites (un)n∈Net (vn)n∈N.
Solution.
Pour n∈N, on a : un+1 −un=un+vn
2−un=vn−un 2≤0.
D’où la suite (un)n∈Nest décroissante :
La suite (vn)est croissante :
vn+1 ≥vn⇐⇒ √unvn≥vn⇐⇒ unvn≥v2
n.
Si vn= 0 l’inégalité est vraie ; sinon, vn>0, dans ce cas
unvn≥v2
n⇐⇒ un≥vn,
ce qui est vrai.
(c). En déduire que les suites (un)n∈Net (vn)n∈Nconvergent vers la même limite.
Solution. Les deux suites sont monotones et bornées, car 0≤vn≤un≤u0, donc
elles convergent. Appelons `u= limn→∞ unet `v= limn→∞ vn. Si on prend la lois
de récurrence pour (vn)on obtient :
vn+1 =un+vn
2
↓ ↓
`v=`u+`v
2,
ce qui est équivalent à `v=`u. Ceci est consistant avec ce que la lois de récurrence
pour (un)dit :
un+1 =√unvn
↓ ↓
`u=√`u`v,
si `u6= 0 on obtient √`u=√`v, soit `u=`v.