Compléments Recollement de solutions — Lorsque l`on résout une

CHAPITRE 12 – É QUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Compléments
Recollement de solutions — Lorsque l’on résout une équation différentielle du premier ordre non résolue, on peut être amené
à diviser par une fonction f qui s’annule en certains points pour retrouver une équation différentielle résolue.
Si tel est le cas, il FAUT résoudre l’équation résolue sur les intervalles sur lesquels f ne s’annule pas puis recoller ces
solutions sur l’intervalle de départ.
Reprenons l’exercice qui suit et qui a été fait en classe en y ajoutant des commentaires.
Déterminer une solution particulière de l’équation (E) : x y 0 + y = 0 sur R.


Soit f : x 7→ x ; cette fonction ne s’annule qu’en 0. Sur les deux
Il faut commencer à identifier sur zéro devant y 0 ,






intervalles ] − ∞, 0[ et sur ]0, +∞[, on a :
i.e. de f . Une fois fait, on se ramène à une ED ré.........


solue
sur les intervalles sur lesquels cette fonction
y





(E) ⇐⇒ y 0 + = 0.
ne
s’annule
pas.
x

Pour résoudre (E) sur R+,∗ , il suffit de déterminer une primitive


de x 7→ x1 sur R+,∗ . Comme une primitive de cette fonction est



+,∗

x 7→ ln |x|, les solutions de (E) sur R
sont :







λ

− ln|x|

½

avec λ ∈ R.
x 7→ λe
=
On résout les équations différentielles sur les inter|x|
......

valles sur lesquels la fonction f ne s’annule pas.



De même, comme x 7→ ln |x| est une primitive de x 7→ x1 sur R−,∗ ,




les solutions de (E) sur R−,∗ sont :







λ

− ln|x|

x 7→ λe
=
avec λ ∈ R.
|x|
Mais on demande les solutions de (E) sur R... il FAUT donc RECOLLER les solutions trouvées sur les petits intervalles pour obtenir
éventuellement une solution tout l’intervalle demandé.

Soit y 0 une solution de (E) sur E. Alors y 0 est solution de (E) sur

−,∗

] − ∞, 0[ et sur ]0, +∞[. Mais les solutions de (E) sur R
sont : 






λ

− ln|x|


avec λ ∈ R.
x 7→ λe
=


|x|







Ainsi, il existe λ0 ∈ R tel que :








λ0


si x < 0.
y 0 (x) =


|x|








Pour les mêmes raisons, il existe η0 ∈ R tel que :


On raisonne par analyse-synthèse pour recoller les


solutions de (E) sur R... en connaissant les solu.........
η0


tions de (E) sur de petits intervalles pour obtenir
y 0 (x) =
si x > 0.




|x|

des solutions candidates.






Finalement, l’équation (E) en 0 donne :






0


0 × y (0) + y(0) = 0 i.e.y 0 (0) = 0.








Ainsi, si y 0 est solution de (E) sur R, alors :





 λ0



si
x
<
0


 |x|




y 0 (x) = 0
si x = 0 .




 η0

si
x
>
0
|x|
On a :


+∞
y 0 (x) −→ 0
x→0+ 

−∞
si η0 < 0


+∞
et
y
(x)
−→
si η0 = 0
0
0
x→0− 

si η0 > 0
−∞
si λ0 < 0















Il faut a présent tester les candidats. Pour cela, il


suffit de voir si les candidats trouvés sont déri.........
si λ0 > 0
vables ou non. En effet, pour être solution, y 0 doit








être dérivable (sinon y 00 n’existe pas ! ! !).

Ainsi, y 0 est continue uniquement si λ0 = η0 = 0 i.e. si y 0 = 0.




Cette fonction est évidemment dérivable et évidemment solu-

tion de (E).
si λ0 = 0 .
Ainsi, par analyse-synthèse, l’unique solution de (E) sur R est la fonction nulle.
S’il y a un second membre, on peut faire comme d’habitude : la variation de la constante.