Compléments Recollement de solutions — Lorsque l`on résout une

CHAPITRE 12 – ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Compléments
Recollement de solutions — Lorsque l’on résout une équation différentielle du premier ordre non résolue, on peut être amené
à diviser par une fonction fqui s’annule en certains points pour retrouver une équation différentielle résolue.
Si tel est le cas, il FAUT résoudre l’équation résolue sur les intervalles sur lesquels fne s’annule pas puis recoller ces
solutions sur l’intervalle de départ.
Reprenons l’exercice qui suit et qui a été fait en classe en y ajoutant des commentaires.
Déterminer une solution particulière de l’équation (E) : x y0+y=0 sur R.
Soit f:x7→ x; cette fonction ne s’annule qu’en 0. Sur les deux
intervalles ] − ∞,0[ et sur ]0,+∞[, on a :
(E) ⇐⇒ y0+y
x=0.
........ . 
Il faut commencer à identifier sur zéro devant y0,
i.e. de f. Une fois fait, on se ramène à une ED ré-
solue sur les intervalles sur lesquels cette fonction
ne s’annule pas.
Pour résoudre (E) sur R+,∗, il suffit de déterminer une primitive
de x7→ 1
xsur R+,∗. Comme une primitive de cette fonction est
x7→ ln|x|, les solutions de (E) sur R+,∗sont :
x7→ λe−ln|x|=λ
|x|avec λ∈R.
De même, comme x7→ ln|x|est une primitive de x7→ 1
xsur R−,∗,
les solutions de (E) sur R−,∗sont :
x7→ λe−ln|x|=λ
|x|avec λ∈R.
...... ½On résout les équations différentielles sur les inter-
valles sur lesquels la fonction fne s’annule pas.
Mais on demande les solutions de (E) sur R... il FAUT donc RECOLLER les solutions trouvées sur les petits intervalles pour obtenir
éventuellement une solution tout l’intervalle demandé.
Soit y0une solution de (E) sur E. Alors y0est solution de (E) sur
]− ∞,0[ et sur ]0,+∞[. Mais les solutions de (E) sur R−,∗sont :
x7→ λe−ln|x|=λ
|x|avec λ∈R.
Ainsi, il existe λ0∈Rtel que :
y0(x)=λ0
|x|si x<0.
Pour les mêmes raisons, il existe η0∈Rtel que :
y0(x)=η0
|x|si x>0.
Finalement, l’équation (E) en 0 donne :
0×y0(0) +y(0) =0i.e.y0(0) =0.
Ainsi, si y0est solution de (E) sur R, alors :
y0(x)=
λ0
|x|si x <0
0 si x=0
η0
|x|si x >0
.
........ . 
On raisonne par analyse-synthèse pour recoller les
solutions de (E) sur R... en connaissant les solu-
tions de (E) sur de petits intervalles pour obtenir
des solutions candidates.
On a :
y0(x)−→
x→0+
+∞ si η0<0
0 si η0=0
−∞ si η0>0
et y0(x)−→
x→0−
+∞ si λ0<0
0 si λ0=0
−∞ si λ0>0
.
Ainsi, y0est continue uniquement si λ0=η0=0i.e. si y0=0.
Cette fonction est évidemment dérivable et évidemment solu-
tion de (E).
........ . 
Il faut a présent tester les candidats. Pour cela, il
suffit de voir si les candidats trouvés sont déri-
vables ou non. En effet, pour être solution, y0doit
être dérivable (sinon y0
0n’existe pas ! ! !).
Ainsi, par analyse-synthèse, l’unique solution de (E) sur Rest la fonction nulle.
S’il y a un second membre, on peut faire comme d’habitude : la variation de la constante.