Concours Commun des écoles des Mines d`Albi, Alès, Douai et

Concours Commun des écoles des Mines d’Albi, Alès, Douai et Nantes 2003
Corrigé du sujet de Mathématiques, commun à toutes les filières.
Problème I.
Partie I.
1)
0)( 
tfLim t
, par simple produit, car il ne s’agit pas d’une forme indéterminée.
2) Nous en déduisons que
f
C
possède en une asymptote horizontale d’équation
0y
.
3)
)(tf
est négligeable devant
t
e
lorsque t tend vers (« est dominé par » convient
également, mais est moins précis), car
0
)( 
t tetf
Lim
.
)(tf
est négligeable devant
t
et
lorsque t tend vers (« est dominé par » convient
également, mais est moins précis), car
0
)(. 
t tetft
Lim
.
)(tf
est équivalent à
2
t
et
lorsque t tend vers (« est dominé par » convient
également, mais est moins précis), car
1
)(.
2
t tetft
Lim
.
4) En ,
)(tf
est équivalent à
2
t
et
. Donc
)(tfLim t
, selon le théorème de
comparaison des fonctions exponentielles et puissances en .
5)
f
est de classe
C
sur  comme quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur
restant strictement positif. On obtient
2
2
2
1
1
)(' t
te
tf t
.
6)
)(' tf
étant positive sur ,
f
est croissante sur  .
7) Nous obtenons, en prenant soin de factoriser quand cela est possible :
3
2
23
1
1531
)('' t
tttte
tf t
.
8) Cherchons les valeurs d’annulation de
''f
:
0)('' tf
0153
1
23 ttt
ou
t
.
Posons pour tout réel t :
153)( 23  tttt
. est de classe
C
sur  car
polynomiale et
563)(' 2 ttt
. Or
)(' t
est un polynôme de degré 2 en t, de

discriminant strictement négatif. Donc
'
est de signe constant, donc strictement positif
(signe du coefficient dominant). Ceci implique que la fonction est strictement
croissante sur .
)(tLim t
et
)(tLim t
, or est continue sur , donc d’après le théorème des
valeurs intermédiaires, s’annule au moins une fois sur .
De plus, étant strictement monotone, elle s’annule au plus une fois sur .
Donc s’annule exactement une fois sur , en une valeur notée .
Nous obtenons donc finalement l’équivalence
0)('' tf
t
ou
t1
.
9)
3
2.0
25
26
125
16
2.1
5
1
''
e
f
>0 et
)0(''f
-1. Comme
''
est continue sur
0;
51
,
d’après le théorème des valeurs intermédiaires,
''
s’annule sur cet intervalle. Or
''
ne
possède pour valeurs d’annulation que 1 et . C’est donc qui se trouve dans cet
intervalle. Donc
0
51
.
10) Au voisinage de 0, nous avons :
3
32
323
32
26
5
2
11
62
1
1
)( t
tt
tttt
tt
t
t
e
tf t
.
Nous en déduisons que la tangente à
f
C
en zéro est la droite d’équation
xy  1
et que
f
C
se situe sous cette tangente.
11) Au point d’abscisse 1,
'f
et
''f
s’annulent , tandis que
'''f
ne s’annule pas (calcul à
vérifier par dérivation ou par les développements limités) Donc
f
C
admet en x=1 un
point d’inflexion.
La courbe :

Partie II
12) On a donc :
n
tPn
0
1
1
2
1t
2
1531 23  tttt
13) Supposons
)(nA
vraie, i.e.
1
2
1
.
n
t
n
n
t
etP
tf
.
Alors,
'
1nn ff 
et donc
22
2
2
1
2
1
1
121.1..'
n
n
t
n
n
t
n
t
n
n
t
ttnetPtetPetP
tf
,
Soit
2
2
2
1
1
211'
n
t
nnn
n
t
etntPttPtP
tf
.
A(n+1)est donc vérifiée avec
)(112)('1)( 22
1tPtnttPttP nnn 
.
14) Montrons par récurrence la propriété H(n) : «
n
P
est à coefficients dans Z ».
H(0), H(1) et H(2) sont vraies d’après le tableau donné à la question 12.
Supposons H(n) vraie. Alors pour tout réel t
)(112)('1)( 22
1tPtnttPttP nnn 
. Donc
1n
P
est obtenu à partir de
n
P
et de
'
n
P
par produit avec des polynômes à coefficients dans Z. Or si
n
P
est à coefficients dans Z , il en
va de même pour
'
n
P
car chaque coefficient est multiplié par un entier naturel lors de la
dérivation. Comme
tZ
est canoniquement muni d’une structure d’anneau,
1n
P
est à
coefficients dans Z .
Donc H(n+1) est vraie et d’après le principe de récurrence H(n) est vraie pur tout entier n.
15) Soit p le degré de
n
P
et a son coefficient dominant. Alors, en utilisant la relation obtenue à
la question 13, nous constatons que les termes de plus haut degré dans
1n
P
seront de
degré p+2, avec pour coefficient a.
Ceci induit donc par récurrence directe que
n
P
est un polynôme unitaire de degré 2n.
16) En spécialisant l’égalité de la question 13 en t=i, nous obtenons :
)(12)(
1iPiniP nn 
.
Ceci implique donc, par récurrence, que
!.2. niiP n
n
n
.

Partie III
17) F est dérivable sur , comme primitive de fonction continue, et
)()(' xfxF 
. Or
f
est
positive sur , donc F y est croissante.
18) Soit x un réel négatif. Pour t compris entre x et 0,
t
etf )(
. Donc
00 )(
x
t
x
dtedttf
. Donc
11)(
00
  x
xt xedtedttf
.
Donc, comme F est croissante sur  est minorée en
, elle admet une imite finie
lorsque x tend vers . Notons l cette limite.
19) Comme
1)(0  xF
, pour x négatif, nous en déduisons par passage à la limite dans
cette égalité que
10  l
.
20) En 0, comme F est de classe
1
C
, l’équation de la tangente à sa courbe représentative est
donnée par :
)0(00' FxFy 
, soit
xy 
la première bissectrice.
21) Nous avons le développement limité de f en 0, aussi pour obtenir celui de F, il nous suffit
donc d’intégrer :
4
432
4
432
18
5
4218
5
42
)0()( x
xxx
xx
xxx
xFxF  
.
22) La fonction J est dérivable sur  et
2
2
1
)(' x
xe
xJ x
. La fonction
)()(2)(: xFxJxfxg 
est dérivable et
0
1
1
2
1
1
)(' 22
2
2
2
2
x
e
x
xe
x
xe
xg xxx
.
Donc la fonction g est égale à une constante, notée A, sur .
Donc, pour tout réel x,
)(2)()( xJAxfxF 
.
23) Pour tout réel t supérieur à un, considérons la quantité
32
2
1
1
)( t
t
t
th 
.
Nous avons donc
0
1
12
1
1
)( 2
23
2
2
23
2
24 
tt
t
tt
tt
th
.
Par intégration, comme en outre J est positive, nous obtenons pour x supérieur à un :
)()(0 xKxJ 
.

24) Procédons à une intégration par parties dans L(x), en intégrant le terme
4
1
t
. Cette
intégration par parties est possible car la fonction
t
et 
est de classe
1
C
sur
x;1
et
4
1
t
t
est continue sur
x;1
. Nous obtenons :
xt
x
tdt
t
e
te
xL
13
1
33
)(
.
Donc,
e
xe
xLxK x  3 )(3)(
, d’où
x
xex
x
exLxKx 
12
21)(3)(
.
Donc
0
)(3)(
2
x xexLxKx
Lim
. Donc en ,
)(3)( xLxK 
est négligeable devant
2
x
ex
.
25) L’indication de l’énoncé me semble obscure pour les étudiants.
La fonction
4
t
e
tt
est décroissante sur
4;1
et croissante sur
;4
( étude basique !).
Comme
4
lim t
et
t
, nous en déduisons que pour x « assez grand », la fonction
4
t
e
tt
atteint sur
x;1
son maximum en x. Donc, pour x « assez grand », nous avons
4
)1()( x
e
xxL x
, qui est équivalent en à
3
x
ex
, donc négligeable devant
2
x
ex
.
Donc L(x), est en négligeable devant
2
x
ex
.
26)Comme
 2 )(3)( x
e
xLxK x
, nous en déduisons (en ), que
2 )( x
e
xK x
.
En outre,
)()(0 xKxJ 
, donc
2 )( x
e
xJ x
en .
Finalement, comme
)(2)()( xJAxfxF 
, et que
)(xf
est en équivalent à
2
x
ex
,
nous obtenons que
)(xF
est en équivalent à
2
x
ex
.
27) La question 17 nous donne les variation de F, la question 19 une asymptote, la question 20
une tangente, et la question 26 le comportement en .