TD 8 - Maths en PCSI

M.Bousquet - Lycée Camille Vernet PCSI - 2016-2017
TD 8 : Equations différentielles
Exercice 1 : Résoudre les équations différentielles suivantes :
1. y0=y+ 1 et y(0) = 4.
2. y0+ 3y=e−3x.
3. y0+ty =t.
4. 2xy0+y=xn,n∈Z,I=]0; +∞[.
5. x(x−2)y0+y= 0 sur I=]0,2[.
6. (1 + t2)y0+ 2ty = 1 et y(1) = 0.
7. (x+ 1)y0−xy + 1 = 0 sur I=] −1; +∞[et y(0) = 2.
8. y0+ (1 + 2ix)y= 0.
Exercice 2 : On considère l’équation différentielle :
(E)y0+xy =|x|
1. Résoudre sur R∗
+l’équation différentielle (E).
2. Faire de même sur R∗
−.
3. Peut-on trouver une fonction continue et dérivable en 0 solution de (E).
Exercice 3 : On considère l’équation différentielle :
(E) (1 −t)y0−y=t
1. Résoudre sur ]1,+∞[l’équation différentielle (E).
2. Faire de même sur ]− ∞,1[.
3. Peut-on trouver une fonction continue et dérivable en 1 solution de (E).
Exercice 4 : Résoudre le système linéaire différentiel suivant :
(1 + t2)x0=tx +y
(1 + t2)y0=−x+ty
Indication : On pourra poser z(t) = x(t) + iy(t)et trouver un système vérifié par z.
Exercice 5 : Résoudre les équations différentielles suivantes :
1. y” + y0+y=e3x.
2. y”−3y0+ 2 = exavec y(0) = 1 et y0(0) = 0.
3. y”+2y0+ 4y= 4x2+ex.
4. y”+3y0+ 2y=cos(2x)avec y(0) = 1
20 et y0(0) = 17 20.
5. y”+2y0+y=e−x.
6. y”+4y= (sin x)2.
7. y”−(1 + 2i)y0+ (−1 + i)y=x
Exercice 6 : Résoudre le système linéaire différentiel suivant :
x0=x+ 2y+t
y0= 2x+y
Indication : On pourra montrer que xet yvérifie des équations différentielles d’ordre 2.
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Exercice 7 : Soit fune fonction dérivable sur Rtelle que pour tout xréel, on a :
(E)f0(x) + f(−x) = ex
1. Montrer que si fvérifie (E)alors fest deux fois dérivables (on montrera que f0est dérivable). En déduire
que fest indéfiniment dérivable (on dit qu’elle est C∞).
2. Si fest solution de (E), trouver une équation différentielle du second ordre vérifié par f.
3. En déduire les solutions de (E).
4. (dur) Trouver toutes les fonctions gcontinues sur R, vérifiant la propriété :
∀x∈R, g(x) = ex+Z−x
0
g(t)dt
Exercice 8 : On considère l’équation différentielle : (E)t2y”+4ty0+ 2y= 1. On cherche à déterminer les
solutions de (E)sur ]0,+∞[.
1. On pose z(x) = y(ex). Exprimer z0,z00 en fonction de y0,y00 et de la fonction exponentielle.
2. On pose t=ex, c’est à dire que z(x) = y(ex) = y(t).
Montrer que yest solution de (E)si et seulement si zest solution de (E1)z”(x)+3z0(x)+2z(x)=1.
3. En déduire les solutions de (E1)puis les solutions de (E).
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