M.Bousquet - Lycée Camille Vernet PCSI - 2016-2017 TD 8 : Equations différentielles Exercice 1 : Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. y 0 = y + 1 et y(0) = 4. 2. y 0 + 3y = e−3x . 3. y 0 + ty = t. 4. 2xy 0 + y = xn , n ∈ Z, I =]0; +∞[. 5. x(x − 2)y 0 + y = 0 sur I =]0, 2[. 6. (1 + t2 )y 0 + 2ty = 1 et y(1) = 0. 7. (x + 1)y 0 − xy + 1 = 0 sur I =] − 1; +∞[ et y(0) = 2. 8. y 0 + (1 + 2ix)y = 0. Exercice 2 : On considère l’équation différentielle : (E) y 0 + xy = |x| 1. Résoudre sur R∗+ l’équation différentielle (E). 2. Faire de même sur R∗− . 3. Peut-on trouver une fonction continue et dérivable en 0 solution de (E). Exercice 3 : On considère l’équation différentielle : (E) (1 − t)y 0 − y = t 1. Résoudre sur ]1, +∞[ l’équation différentielle (E). 2. Faire de même sur ] − ∞, 1[. 3. Peut-on trouver une fonction continue et dérivable en 1 solution de (E). Exercice 4 : Résoudre le système linéaire différentiel suivant : (1 + t2 )x0 = tx + y (1 + t2 )y 0 = −x + ty Indication : On pourra poser z(t) = x(t) + iy(t) et trouver un système vérifié par z. Exercice 5 : Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. y” + y 0 + y = e3x . 2. y” − 3y 0 + 2 = ex avec y(0) = 1 et y 0 (0) = 0. 3. y” + 2y 0 + 4y = 4x2 + ex . 4. y” + 3y 0 + 2y = cos(2x) avec y(0) = 1 17 et y 0 (0) = . 20 20 5. y” + 2y 0 + y = e−x . 6. y” + 4y = (sin x)2 . 7. y” − (1 + 2i)y 0 + (−1 + i)y = x Exercice 6 : Résoudre le système linéaire différentiel suivant : 0 x = x + 2y + t y 0 = 2x + y Indication : On pourra montrer que x et y vérifie des équations différentielles d’ordre 2. 1 M.Bousquet - Lycée Camille Vernet Exercice 7 : Soit f une fonction dérivable sur R telle que pour tout x réel, on a : (E) PCSI - 2016-2017 f 0 (x) + f (−x) = ex 1. Montrer que si f vérifie (E) alors f est deux fois dérivables (on montrera que f 0 est dérivable). En déduire que f est indéfiniment dérivable (on dit qu’elle est C ∞ ). 2. Si f est solution de (E), trouver une équation différentielle du second ordre vérifié par f . 3. En déduire les solutions de (E). 4. (dur) Trouver toutes les fonctions g continues sur R, vérifiant la propriété : ∀x ∈ R, g(x) = ex + Z −x g(t)dt 0 Exercice 8 : On considère l’équation différentielle : (E) solutions de (E) sur ]0, +∞[. t2 y” + 4ty 0 + 2y = 1. On cherche à déterminer les 1. On pose z(x) = y(ex ). Exprimer z 0 , z 00 en fonction de y 0 , y 00 et de la fonction exponentielle. 2. On pose t = ex , c’est à dire que z(x) = y(ex ) = y(t). Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de (E1 ) 3. En déduire les solutions de (E1 ) puis les solutions de (E). 2 z”(x) + 3z 0 (x) + 2z(x) = 1.