01-Cinématique

Lycée Naval, Sup 2.
Mécanique 1. 1.1. Description et paramétrage du mouvement d’un point
1.2. Description du mouvement d’un solide dans deux cas particuliers
Cinématique du point et du solide
1 Espace et temps, référentiel d’observation
Le mouvement d’un corps est étudié dans un référentiel, objet pris comme
référence et par rapport auquel on étudie ce mouvement.
Le référentiel est muni d’un repère d’espace, un système de coordonnées, et de
temps, une horloge.
En mécanique classique, les mesures de durées et de longueurs sont des absolus,
ainsi une horloge bat au même rythme pour le chef de gare et pour le contrôleur
dans le train.
2 Description et paramétrage du mouvement d’un
point matériel
2.1 Coordonnées cartésiennes
Repérage d’un point, vecteur position
On choisit un repère muni d’une origine Oet d’une base orthonormée (~ux, ~uy, ~uz)
définie comme suit :
uzuy
ux
M(t)
y
x
O
z
x(t)
y(t)
z(t)
Le vecteur position est alors défini selon :
−−→
OM(t) = 
x(t)
y(t)
z(t)
ou, tout aussi bien : −−→ OM(t) = x(t)~ux+y(t)~uy+z(t)~uz
Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée du vecteur position par rapport au
temps :
~v(t) = d−−→
OM(t)
dt
En coordonnées cartésiennes, le vecteur vitesse a pour expression :
~v(t) = 
vx(t)
vy(t)
vz(t)
=
˙x(t)
˙y(t)
˙z(t)
Justification : ce résultat est obtenu en dérivant le vecteur position terme à terme
sachant que les vecteurs de la base (~ux, ~uy, ~uz) sont fixes donc indépendants du
temps :
~v(t) = d
dt [x(t)~ux+y(t)~uy+z(t)~uz]⇒~v(t) = ˙x(t)~ux+ ˙y(t)~uy+ ˙z(t)~uz
Vecteur accélération
Le vecteur accélération est défini comme la dérivée du vecteur vitesse par rapport
au temps :
~a(t) = d~v(t)
dt=d2−−→
OM(t)
dt2
En coordonnées cartésiennes, le vecteur accélération a pour expression :
~a(t) = 
ax(t)
ay(t)
az(t)
=
˙vx(t)
˙vy(t)
˙vz(t)
=
¨x(t)
¨y(t)
¨z(t)
Ce résultat s’obtient là encore immédiatement en dérivant terme à terme le vecteur
vitesse par rapport au temps.
Exemple
On considère un mouvement pour lequel le vecteur accélération est un vecteur
constant dirigé vers le bas et de norme g= 10 m.s−2. On suppose que l’objet
est initialement à l’origine du système de coordonnées et que son vecteur vitesse
1

initial est dirigé vers le haut avec une norme v0= 5,0 m.s−1.
On souhaite caractériser le sommet de la trajectoire (instant, hauteur atteinte).
La réponse à cette question passe par la détermination de z(t)qui va être obtenu
par intégration du vecteur accélération.
~a(t) = 
ax(t)
ay(t)
az(t)
=
0
0
−g
Le vecteur vitesse initial étant lui-même selon Oz, on peut se limiter à l’étude des
composantes selon cette unique direction. Par intégration, on obtient :
vz(t) = −gt +cste
Avec vz(0) = v0, on en déduit : vz(t) = −gt +v0, on intègre une seconde fois pour
en déduire :
z(t) = −gt2
2+v0t
Le sommet est atteint à l’instant ts=v0
g, la hauteur atteinte étant alors h=v2
0
2g.
2.2 Coordonnées cylindriques
Repérage d’un point, vecteur position
On choisit un repère muni d’une origine Oet d’une base orthonormée (~ur, ~uθ, ~uz)
définie comme suit :
ux
uy
uz
ur
uθ
uy
ux
ur
uθ
O
x
y
z
θ
r
z
r
θ
H
H
θ
M(x,y,z)=M(r, ,z)
x
y
O
Pour décrire une fois l’ensemble des points de l’espace, les coordonnées cylindriques
doivent varier dans les limites suivantes :
0≤r < +∞; 0 ≤θ < 2π;−∞ < z < +∞
Le vecteur position est alors défini selon :
−−→
OM =r~ur+z~uz
La base des coordonnées cylindriques change avec le point avec en particulier :
~ur= cos θ~ux+ sin θ~uyet ~uθ=−sin θ~ux+ cos θ~uy
On peut enfin établir la correspondance suivante entre les coordonnées :
x=rcos θet y=rsin θ
r=px2+y2et tan (θ) = y/x
Vecteur vitesse
En coordonnées cylindriques, le vecteur vitesse a pour expression :
~v =
vr
vθ
vz
=
˙r
r˙ θ
˙z
⇔~v = ˙r~ur+r˙
θ~uθ+ ˙z~uz
Justification :
Les vecteurs de base changent maintenant avec le point, on commence par établir
l’expression de leur dérivée par rapport au temps :
d~ur
dt=d~ur dθ
dθ
dt=˙
θ×d~ur
dθ=˙
θd cos θ
dθ~ux+d sin θ dθ~uy=˙
θ[−sin θ~ux+ cos θ~uy]
On en déduit : d~ur
dt=˙
θ~uθet d~uθ
dt=−˙
θ~ur
On peut alors déterminer la dérivée du vecteur position :
~v =d−−→
OM
dt=d dt[r~ur+z~uz] = d dt(r~ur) + d dt(z~uz) = ˙r~ur+rd~ur dt + ˙z~uz+zd~uz dt
~v = ˙r~ur+r˙ θ~uθ+ ˙z~uz
Vecteur accélération
En coordonnées cylindriques, le vecteur accélération a pour expression :
~a =
ar
aθ
az
=
¨r−r˙ θ2
2 ˙r˙ θ+r¨ θ
¨z
⇔~a =h¨r−r˙
θ2i~ur+h2 ˙r˙ θ+r¨ θi~uθ+ ¨z~uz
2

2.3 Coordonnées sphériques
Repérage d’un point, vecteur position
On choisit un repère muni d’une origine Oet d’une base orthonormée (~ur, ~uθ, ~uϕ)
définie comme suit :
uθ
ur
uϕ
O
x
y
z
θ
ϕ
r
M(x,y,z)
Pour décrire une fois l’ensemble des points de l’espace, les coordonnées sphériques
doivent varier dans les limites suivantes :
0≤r < +∞; 0 ≤θ≤π; 0 ≤ϕ < 2π
Le vecteur position est alors défini selon :
−−→
OM =r~ur
Vecteur vitesse
En coordonnées sphériques, le vecteur vitesse a pour expression :
~v =
vr
vθ
vϕ
=
˙r
r˙ θ
rsin θ˙ϕ
⇔~v = ˙r~ur+r˙
θ~uθ+rsin θ˙ϕ~uϕ
Justification :
→Lorsque rvarie de dràθet ϕfixés, le déplacement a lieu selon ~uret vaut :
d−−→ OM = dr~ur
→Lorsque θvarie de dθàret ϕfixés, le déplacement a lieu selon ~uθle long d’un
cercle de rayon ret vaut :
d−−→ OM =rdθ~uθ
→Lorsque ϕvarie de dϕàret θfixés, le déplacement a lieu selon ~uϕle long d’un
cercle de rayon rsin θet vaut :
d−−→ OM =rsin θdϕ~uϕ
La base (~ur, ~uθ, ~uϕ) étant une base orthonormée, le déplacement le plus général
est la combinaison de ces trois expressions :
d−−→ OM = dr~ur+rdθ~uθ+rsin θdϕ~uϕ
Ce déplacement élémentaire effectué en une durée dtcorrespond à une vitesse :
~v =d−−→
OM
dt=dr dt~ur+rdθ dt~uθ+rsin θdϕ dt~uϕ
2.4 Exemples de mouvements
Mouvement de vecteur-accélération constant
On considère un mobile initialement à l’origine du système de coordonnées faisant
un angle αavec l’horizontale. On suppose que le vecteur accélération est constant
tel que ~a =~g =−g~uz.
g
ux
O
v0
α
uz
Le mouvement s’effectue dans le plan xOz. Partant du vecteur accélération, en
tenant compte des conditions initiales, on intègre deux fois pour obtenir le vecteur
vitesse puis le vecteur position :
~a =ax= 0
az=−g;~v =˙x=v0cos α ˙z=−gt +v0sin α;−−→
OM =
x(t) = v0cos α×t
z(t) = −gt2
2+v0sin α×t
Les courbes ont été tracées pour v0= 4,0 m.s−1et α= 30◦. L’accélération
horizontale étant nulle, le mouvement est inertiel selon l’axe Ox.
3

Connaissant les équations horaires x(t)et z(t), on en déduit l’équation de la
trajectoire. En effet, de la première équation on tire t=x
v0cos α, que l’on reporte
dans la seconde :
z(x) = −gx2
2v2
0cos2α+ tan α×x
L’équation obtenue est celle d’une parabole : la trajectoire est parabolique. On
remarque que le vecteur accélération est dirigé vers l’intérieur de la concavité de
la trajectoire.
On peut alors montrer que :
— la portée dde la trajectoire est donnée par d=v2
0sin (2α)
g;
— le sommet de la trajectoire a pour coordonnées : v2
0sin 2α
2g,v2
0sin2α
2g.
Mouvement circulaire
On considère un mobile assujetti à se déplacer sur un cercle de centre Oet de
rayon R. Naturellement, le bon paramétrage consiste ici à utiliser les coordonnées
polaires.
ur
uθ
θ
RM
O
Vecteur position :−−→ OM =R~ur
Vecteur vitesse :~v =R˙ θ~uθ
r(t) = R, il n’y a pas de déplacement radial, la seule composante non nulle du
vecteur vitesse est la composante orthoradiale.
On définit ω=˙ θla vitesse angulaire.
Vecteur accélération :~a =−R˙ θ2~ur+R¨ θ~uθ
Cas particulier : mouvement circulaire uniforme
Un mouvement est uniforme si la norme du vecteur vitesse est constante. Dans
le cas du mouvement circulaire, cela implique ˙ θ(t) = ω0=cste
Le vecteur accélération devient ~a =−R˙ θ2~ur=−Rω2
0~ur=−v2
R~ur.
Le vecteur accélération est radial et dirigé vers le centre de la trajectoire.
La conservation de la norme du vecteur vitesse n’entraîne pas la nullité
du vecteur accélération !
3 Description du mouvement d’un solide
3.1 Définition
Un solide est un système matériel indéformable dont les points restent à distance
constante les uns des autres.
3.2 Repérage d’un solide dans l’espace
On considère un référentiel auquel on associe un repère d’espace orthonormé
(O, x, y, z). On associe au solide un repère d’espace (O1, x1, y1, z1)avec O1un
point de ce solide.
O1
x1
y1
z1
O
x
y
z
Pour repérer le solide dans l’espace, il faut se donner 6 paramètres :
— les trois coordonnées d’espace de O1dans le repère (O, x, y, z);
4

— trois angles qui définissent les axes du repère lié au solide par rapport au
référentiel d’étude.
3.3 Mouvement de translation
Définition
Un solide est en translation lorsque les directions du repère liées au solide sont
fixes par rapport au référentiel d’étude.
O1
x1
y1
z1O1
x1
y1
z1
trajectoire de O 1
O
x
y
z
Conséquence : tous les points d’un solide en translation ont le même mouvement.
Translation rectiligne
La translation est une translation rectiligne si le mouvement de O1est un mou-
vement rectiligne.
x
O
y
z
O1
x1
y1
z1O1
x1
y1
z1
Exemple : mouvement d’un ascenseur par rapport au référentiel terrestre.
Translation circulaire
La translation est une translation circulaire si le mouvement de O1est un mou-
vement circulaire.
Remarque : chaque point du solide décrit un arc de cercle de même rayon mais de
centre différent.
O1
x1
y1
z1
x
O
y
z
O1
x1
y1
z1
3.4 Solide en rotation autour d’un axe fixe
Un solide est en rotation autour d’un axe fixe ∆dans le référentiel d’étude, s’il
existe une unique droite ∆à la fois fixe par rapport au solide et au référentiel
d’étude.
ux1
ux1
ux1
P
H
ω
∆
r
uθ
θ
Le mouvement d’un point Pdu solide est un mouvement circulaire qui s’effectue
dans un plan perpendiculaire à ∆:
— de centre Hle projeté orthogonal de Psur l’axe ∆;
— de rayon r=HP ;
— à la vitesse angulaire ω=˙ θégale à celle du solide autour de l’axe ∆;
Ce qui donne pour la vitesse du point P:~vP=rω~uθ.
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