D M 1 4 E 4 DM14 • RCL série en RSF et puissance

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DM14 •RCL s´erie en RSF et puissance
I Facteur de qualit´e
Un circuit (R, L, C) s´erie est soumis `a une tension alter-
native sinuso¨ıdale d´efinie par : u(t) = U0sin ωt.
On ´etudie le r´egime d’oscillations sinuso¨ıdales forc´ees, `a la
pulsation ω.
1) La pulsation ω´etant fix´ee, d´eterminer la puissance
moyenne <P>dissip´ee par ce circuit par effet Joule.
2) Pour quelle valeur ωode ωcette puissance est-elle
maximale ? A quel ph´enom`ene physique correspond cette
valeur ωo?
C
R
L
u(t)
A
B
3) D´eterminer les limites ωmin et ωmax de l’intervalle de pulsation sur lequel <P>est au
moins ´egal `a la moiti´e de sa valeur maximale P0.
En d´eduire l’expression du facteur Q=ω0
ωmax −ωmin
en fonction de L,Ret ωo.
Pour Let Cfix´es, comment Qvarie-t-il avec R?
Quel est l’int´erˆet d’un circuit poss´edant un facteur Q´elev´e ?
En d´eduire une justification de la d´enomination : « facteur de qualité » du circuit.
4) Exprimer, en fonction de L,Ret U0, l’énergie électromagnétique moyenne <E0>stockée,
pour la pulsation ωo, dans la bobine ou le condensateur (vérifier que c’est la même).
En déduire une relation entre Q,ωo,<Eo>et <Po>. Retrouve-t-on, du point de vue énergé-
tique, l’intérêt d’un circuit à Qélevé ?
II Puissance et R´egime sinuso¨ıdal forc´e
1) Un dipôle est alimenté en régime sinusoïdal forcé par une tension u(t) = U√2 cos(2πft)avec
U= 220 Vet f= 50 Hz.
L’intensité du courant qui le parcourt est alors i(t) = I√2 cos(2πft +ϕ).
1.a) En fonction de U,Iet ϕ, donner les expressions de :
α)l’impédance complexe Zet de son module Z(on notera jle nombre imaginaire pur tel que
j2=−1) ;
β)la puissance électrique moyenne Peabsorbée par le dipôle.
1.b) En déduire l’expression Pe=U2
Z2R,Rétant la résistance électrique du dipôle.
2) Un fusible de 16 Aprotège une ligne électrique
{(A, B)/(A′, B′)}alimentant en régime sinusoïdal forcé, sous
une tension efficace U= 220 Vet une fréquence f= 50 Hz,
un dipôle Dassimilable à une bobine d’inductance L=
30.10−3Hen série avec un dipôle ohmique de résistance R
(fig. ci-contre).
L’intensité efficace maximale admissible dans la ligne est
Imax = 16 A.
Fusible
D
u
AB
A’ B’
Ce dipôle absorbe une puissance électrique moyenne Pe= 2 500 W.
La ligne {(A, B)/(A′, B′)}se comporte comme un dipôle purement ohmique de résistance élec-
trique totale R0= 1,2 Ω, fusible compris.
2.a) Calculer les deux valeurs possible R1et R2de la résistance Rdu dipôle D.
2.b) Pour chaque valeur R1et R2, calculer l’intensité efficace I1et I2dans le dipôle D.

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Circuit RLC s´erie et Puissance en RSF 2012-2013
2.c) Déterminer la seule valeur de Rpossible compte tenu de la présence du fusible.
2.d) En déduire l’intensité efficace I0du courant électrique circulant dans la ligne {(A, B)/(A′, B′)}
et la puissance moyenne P0dissipée par effet Joule dans cette ligne.
3) On ajoute, en parallèle sur le dipôle D, un condensateur
de capacité C= 130,4.10−6F.
3.a) calculer les intensités efficaces :
α)IDdans le dipôle D;
β)ICdans le condensateur ;
γ)I′
0dans la ligne.
Fusible
Du
AB
A’ B’
C
3.b) Déterminer la puissance P′
0dissipée par effet Joule dans la ligne.
3.c) Comparer P′
0et P0. Conclure sur l’intérêt de ce condensateur.
Rép : 2.a) R1= 7,5 Ω et R2= 11,9 Ω ;2.b) I1= 18,5Aet I2= 14,5A;2.d) P0=<PJ>=
2 750 Ω ;3.a) ID= 14,5A;IC= 9,0A;I′
0= 11,4A;3.b) P′ 0= 2 654 W.
2http://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. |PTSI

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Solution
1) u(t) = U√2 cos(2πft),U= 220 Vet f= 5 Hz ;i(t) = I0√2 cos(2πft +ϕ).
1.a.α)U=ZI →Z=U
I=U√2
I0√2ejϕ →Z=U
I0
e−jϕ
1.a.β)
<P>=< u(t)i(t)>=< U√2 cos(2πft)I√2 cos(2πft+ϕ)>= 2UI0<1
2(cos(4πft+ϕ)+cos ϕ)>
→ Pe=<P>=UI0cos ϕ
1.b) Pe=UI0cos ϕ;I=U
Z;cos ϕ= cos(arg (Z)) = Re(Z) Z≡R Z→ Pe=U2 Z2R.
2) Pe= 2 500 Wet L= 30 mH.
De plus : Pe=U2
Z2R=U2R R2+L2ω2.
2.a) D’où : PeR2−U2R+L2ω2Pe= 0
Polynôme de degré 2 de discriminant :
∆ = «b2−4ac »=U4−4L2ω2P2
e
On vérifie que ∆≃121,9.106V4>0
AB
B'
D
R0
R
jLω
I0
U
A'
Ce qui signifie que le polynôme admet deux solutions réelles :
.R1=«−b−√∆
2a»=U2−√∆ 2Pe→R1≃7,5 Ω
R2=«−b+√∆
2a»=U2+√∆ 2Pe→R2≃11,9 Ω
2.b) I0=U
Z=U
√R2+L2ω2→deux intensités possibles :
Si R=R1,I0=I1≃18,3Aet si R=R2,I0=I2≃14,5A
2.c/d) Puisque le fusible impose I0<16 A:R=R2≃11,9 Ω et I0=I2≃14,5A.
D’où : P0=<PJ>=1
2RtotI2
m= (R0+R)I2 0= 2 750 W
3) Ze=
1
jCω (R+jLω)
1
jCω +R+jLω
=R+jLω
1−LCω2+jRCω
U=
1
jCω IC
(R+jLω)ID
ZeI′
0
De plus : C= 130,4µF et R=R2≃11,9 Ω
3.a.α)→ID=|ID|=U
√R2+L2ω2≃14,5A
3.a.β)→IC=|IC|=CωU ≃9,0A
AB
A' B'
D
jCω
1R
jLω
I0
'
IC
ID
R0
U
Ze
3.a.γ)→I′
0=|I′ 0|=U
Ze
=p(1 −LCω2)2+ (RCω)2
R2+L2ω2≃11,4A
3.b) P′
0=<P′
J>est la puissance dissipée par effet Joule dans la ligne au niveau de la
résistance R0parcourue par l’intensité efficace I′
0et de la résistance R=R2parcourue par
l’intensité efficace ID. D’où : P′
0=R0I′2 0+R2I2 D≃2 654 W
3.c) P′
0<P0: l’ajout du condensateur permet de faire baisser les pertes par effets Joule
en faisant diminuer l’intensité efficace dans la ligne(I′
0< I0).
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Circuit RLC s´erie et Puissance en RSF 2012-2013
I Facteur de qualit´e
1) Soit i=I0.sin(ωt+ϕ)l’intensité circulant à travers le circuit RLC série soumis (en convention
récepteur) à la tension u(t) = U0.sin(ωt).
I0est l’amplitude du courant i(t)et ϕ=ϕi−ϕuson déphasage ipar rapport à la tension u(t).
En notations complexes : 
u=U.ejωt avec : U=U0
i=I.ejωt avec : I=I0.ejϕ
U=Z.I =R+jLω −1
Cω avec : Z=Z.ejϕ =I0 U0
.ej(ϕi−ϕu)
La puissance moyenne reçue, en régime sinusoïdal, par un dipôle d’impédance complexe Z, soumis
à la tension u(t)et parcouru par i(t)(en convention récepteur) est, sachant que cos ϕ=R
Zet
I0=Z.I0:
<P>=< i(t).u(t)>=< iA→BuAB >=< I0.U0cos (ωt +ϕi).cos (ωt +ϕu)>
=I0.U0
2[<cos (ϕu−ϕi)
|{z }
constante
>+<cos (2ωt +ϕi+ϕu)>
|{z }
0car moy. temp. d’une fonction sinusoïdale
]
→<P>=U0.I0
2cos ϕ=1 2.R.I2
0=U2
0
2.R Z2=U2
0
2.R
R2+Lω −1
Cω 2
2) <P>est maximale lorsque Lω −1
Cω 2
s’annule, c’est-à-dire lorsque ω=ω0=1
√LC .
Alors : <P>(max) = P0=U2
0
2R
Dit autrement, <P>=1
2.R.I2
0est maximale lorsque :
I0=Im(ω) = U0
Z=U0
sR2+Lω −1
Cω 2
passe par sa valeur maximale I0(max) = Im(ω0) = U0
R.
Cl : Il y a résonance en puissance (moyenne) lorsqu’il y a résonance en intensité dans le
circuit RLC série qui se comporte alors comme une résistance pure.
3) On recherche la bande passante en puissance (moyenne), c’est-à-dire les valeurs ωcdes pulsa-
tions de coupure qui sont les pulsations ωdu générateur telles que : <P>(ω) = <P>(max)
2
Or, comme <P>(max) = P0=U2
0
2R:<P>(ω) = P0
1 + Lω
R−1 RCω 2
Dès lors :
<P>(ω) = <P>(max)
2⇔P0
1 + Lω
R−1 RCω 2=P0
2⇔Lω R−1 RCω =±1
Soit : ω2∓R
L.ω −1 LC = 0 polynôme de discriminant : ∆ = R2 L2+4 LC
En ne retenant que les racines réelles (les seules physiquement acceptables) :
ωmax = + R
2L+√∆ 2ωmin =−R 2L+√∆ 2
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Circuit RLC s´erie et Puissance en RSF
Comme ωmax −ωmin =R
L, on en déduit :
Q=ω0
ωmax −ωmin
=Lω0
R=1 RCω0
=1
R.rL C
Cl : Lorsque Rց, alors Qր
Intérêt d’un circuit possédant un facteur de qualité élevé : réaliser un filtre (passe-bande) très
sélectif, puisque plus Qest élevé et plus la bande passante (en puissance/en courant) est réduite.
Par ailleurs, plus le facteur de qualité est élevé, pour Let Cfixées, plus la puissance maximale
est élevée puisque P0=U2
0
2R=U2
0.Q
2.Lω0
4) L’énergie électromagnétique moyenne stockée dans la bobine ou le condensateur est :
<E>=<EL>+<EC>=<1
2.L.i2>+<1 2.C.u2
C>
avec : < i2>=< I2
0.sin2(ωt +ϕ)>=I2
0
2et < u2
C>=< U2 Cm sin2(ωt +ϕC)>=U2
Cm
2
Comme UCm =
I
jCω =I0 Cω :
<E>=<EL>+<EC>=1
4.L.I2
0+1
4
I2
0
C.ω2
Soit, pour la pulsation ω0(imposée par l’énoncé à cette question), puisque I0(ω0) = U0
R(résonance
en courant) :
<E0>=<EL>=1
4.L.U2
0
R2=1 4.U2
0Q
Rω0
et <E0>=<EC>=1
4
1
C.ω2
0
.U2
0
R2=1 4.U2
0Q
Rω0
Donc, puisque P0=U2
0
2R:
<E0>=1
4.U2
0Q
Rω0
=Q
2ω0
.P0
Cl : Plus le circuit a un facteur de qualité élevé, et plus l’énergie électromagnétique moyenne
stockée (pour la pulsation ω0) est élevée puisque, lorsque Let Csont fixées :
<E0>=Q
2ω0
.P0=U2
0
2Lω2
0
.Q2րlorsque Qր
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