analyse du circuit

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Le circuit RLC série en régime sinusoïdal
Pour l’étude du circuit en régime permanent, on utilise la représentation complexe.
L’impédance du circuit est égale à :

1 
1 
 Lω

Z = R + j  Lω −
−
 
 = R 1 + j 
Cω 
 R RCω  


Lω 0
1
ω
; Q=
; x=
On pose : ω 02 =
LC
R
ω0
1
Q
1
Lω Qω
1
= Qx ;
= Lω 02
= Qω02
=
=
RCω x
RC
R
C
ω0
On caractérise le circuit par : Q son facteur de qualité et ω0 sa fréquence propre.
Ce changement de variable permet d’écrire l’impédance sous la forme suivante :
1
Z = R 1 + jQ x −
= Z0 cos ϕ + jZ 0 sin ϕ
x
On en déduit si l’origine des phase est le courant :
Il vient :
LM
N
F 1I
tgϕ = QG x − J
H xK
IJ OP
KQ
FG
H
; Z0 = R
F 1I
1 + Q ²G x − J
H xK
2
;
L’intensité du courant dans le circuit est donc I(t) = U(t)/Z0
Pour x = 1, I présente un maximum IM = U/R. Il y a alors résonance en courant. Si toutes
choses égales par ailleurs, on diminue R, on augmente la valeur de Q ainsi que l’acuité de la
résonance en courant.
Soient VC = UC.cos(ωt + ϕC) et VL = UL.cos(ωt + ϕL) les valeurs des tensions aux bornes du
condensateur et de l’inductance. On peut écrire que :
UC = ZC.I = I/Cω = I.RQ/x.
UL = ZL.I = ILω = I.RQx.
QxU
QU
UL =
; UC =
2
1
1
1 + Q² x −
x. 1 + Q ² x −
x
x
F
H
I
K
F
H
Pour chercher le maximum de UL, on calcule sa dérivée :
b
h
2 1 + Q ²b x − 1 / x g
1 + Q ²b x − 1 / x g
Q 1 + Q² x − 1 / x
dU L
=
dx
g
2
−
I
K
2
c
Q3x 2 x − 2 / x 3
2
Le numérateur s’annule si : 1 – 2Q² + 2Q²/x² = 0 soit pour : x ² =
Il faut que 2Q² – 1 > 0 soit Q > 1/√2. On a alors : x L =
2
2Q ²
2Q ² − 1
Q 2
2Q ² − 1
Un calcul identique pour UC donne un maximum pour xC = 1/xL.
>1
Le circuit RLC série présente trois fréquences réduites caractéristiques xC, 1 et xL qui se
confondent quand Q est grand.
xC et xL correspondent à des surtensions aux bornes du condensateur et de l’inductance : ce
sont les résonances en tension.
Pour x= 1 (ω = ω0), il y a résonance en courant dans le circuit.