COMPL´EMENTS EN ANALYSE COURS et EXERCICES

MASTER (MATH´ EMATIQUES PURES)
COMPL´ EMENTS EN ANALYSE
COURS et
EXERCICES
Isabelle Chalendar et Emmanuel Fricain
- 2010-2011 -

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Table des mati`eres
1 Topologie g´en´erale 7
1.1 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 D´efinition ........................... 7
1.1.2 Rappel sur la topologie la moins fine rendant continues une
famille d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 D´efinition et propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 M´etrisabilit´e d’un espace topologique compact . . . . . . . 17
1.2.3 Pr´ecompacit´e et compacit´e s´equentielle . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Ensembles relativement compacts . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 La topologie faible σ(E, E∗) ..................... 27
1.4 La topologie faible∗σ(E∗, E)..................... 34
1.5 Espacesr´eflexifs............................ 37
1.6 Espaces s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7 M´etrisabilit´e des topologies faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.8 Espaces uniform´ement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9 Applications : espaces Lp....................... 51
1.9.1 Etude de Lppour 1 <p<+∞. ............... 52
1.9.2 Etude de L1. ......................... 56
1.9.3 Etude de L∞. ......................... 59
1.10 Suppl´ementaire toplogique... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
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4TABLE DES MATI ` ERES
1.11Exercices................................ 66
2 Op´erateurs born´es... 77
2.1 Adjoint d’une application lin´eaire continue . . . . . . . . . . . . . 77
2.2 Op´erateurs normaux, unitaires, positifs... . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3 Spectre des applications lin´eaires et continues . . . . . . . . . . . 84
2.4 Exercices, compl´ements de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Op´erateurs compacts 93
3.1 Applications lin´eaires compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 Th´eorie spectrale des op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Exercices................................ 110
3.3.1 Premiers exemples d’op´erateurs compacts : shifts pond´er´es,
op´erateurs int´egraux et op´erateur de Volterra . . . . . . . 110
3.3.2 Op´erateurs de Hilbert–Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.3 D´ecomposition des op´erateurs compacts . . . . . . . . . . 112
4 S´eries de Fourier et applications 115
4.1 Analyse de Fourier pour les fonctions p´eriodiques . . . . . . . . . 115
4.1.1 Fonctions p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.2 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.3 Convolution sur T...................... 120
4.1.4 In´egalit´e de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.5 Les principaux noyaux trigonom´etriques . . . . . . . . . . 125
4.1.6 Les principaux th´eor`emes de convergence . . . . . . . . . . 132
4.1.7 Le ph´enom`ene de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.1.8 Applications.......................... 141
4.1.9 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2 Exercices................................ 150

TABLE DES MATI ` ERES 5
5 Tranformation de Fourier sur L1(R)153
5.1 Analyse de Fourier pour les fonctions int´egrables sur R...... 153
5.1.1 La transform´ee de Fourier sur L1(R) ............ 154
5.1.2 La formule de multiplication sur L1(R)........... 157
5.1.3 La convolution sur R..................... 157
5.1.4 In´egalit´e de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1.5 La transform´ee de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.1.6 La transform´ee de Fourier–Plancherel . . . . . . . . . . . . 160
5.1.7 La formule de multiplication sur Lp(R) avec 1 ≤p≤2 . . 162
6 Analyse complexe 165
6.1 Produitsinfinis ............................ 165
6.1.1 Pr´eliminaires sur les produits infinis . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.2 Produits infinis de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . 169
6.2 Le th´eor`eme de factorisation de Weierstrass . . . . . . . . . . . . 174
6.3 La formule de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.4 Un th´eor`eme de Borel–Carath´eodory . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.5 Fonctions enti`eres d’ordre fini et th´eor`eme d’Hadamard . . . . . . 190
6.6 Le principe de Phragmen–Lindel¨of . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.7 Le th´eor`eme de Riesz–Thorin et applications . . . . . . . . . . . . 201
6.7.1 Quelques pr´eliminaires sur les espaces Lp.......... 201
6.7.2 Le th´eor`eme de Riesz–Thorin . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.7.3 Application : l’in´egalit´e de Hausdorff–Young . . . . . . . . 214
6.8 Exercices................................ 216
A Quelques grands principes d’analyse fonctionnelle 231
A.0.1 Th´eor`emes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
A.0.2 Th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . 232