Topologie - Feuille n o 4 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

TOPOLOGIE ET ANALYSE FONCTIONNELLE
FEUILLE D’EXERCICES N◦4
MASTER DE MATH´ EMATIQUES, PREMIER SEMESTRE, ANN´ EE 2006/2007
Exercice 1. Soit Xune espace compact, Yun espace s´epar´e et f:X→Yune bijection
continue. Montrer que f−1est continue.
Exercice 2. Soit Xun espace compact. On se donne deux fonctions fet gcontinues sur
Xtelles que f≥0 sur Xet f(x)=0⇒g(x)>0. Montrer qu’il existe λ > 0 tel que
(∀x∈X)λf(x) + g(x)>0.
Exercice 3. Soit a < b dans Ret (fn)n∈Nune suite de fonctions continues sur [a, b]
`a valeurs dans R. On suppose que (fn)n∈Nest monotone, converge simplement vers une
fonction f, et que fest continue. Montrer que la convergence est uniforme (th´eor`eme de
Dini). On pourra poser Fε,n ={x∈[a, b],|fn(x)−f(x)| ≥ ε}, pour ε∈R>0et n∈N.
Exercice 4. Soient Xun espace topologique compact, F1et F2deux ferm´es disjoints de
X. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints U1et U2tels que F1⊆U1et F2⊆U2.
Exercice 5. Soit (E, d) un espace m´etrique compact et (un)n∈Nune suite de Etelle que
lim
n→∞ d(un+1, un) = 0. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite (un)n∈N
est une partie non vide connexe et compacte de E(on pourra poser Un={up, p ≥n}).
Exercice 6. Soit Xun espace topologique et (Kn)n∈Nune suite d´ecroissante de compacts
non vides. On note K=
∞
T
n=1
Kn.
(1) Montrer que K6=∅.
(2) Soit Uun ouvert contenant K. Montrer qu’il existe n0∈Ntel que pour tout n≥n0,
on a Kn⊆U.
Exercice 7. Soient Xun espace m´etrique, Yun espace m´etrique compact et f:X×Y→R
une application continue. Montrer que les fonctions Met md´efinies par M(x) = sup
y∈Y
f(x, y)
et m(x) = inf
y∈Yf(x, y), sont continues sur X.
Exercice 8. Soit (X, d) un espace m´etrique compact et f:X→Xune dilatation (i.e.
telle que (∀x, y ∈X)d(f(x), f(y)) ≥d(x, y)).
(1) Montrer que (∀x, y ∈X) (∀ε∈R>0) (∃p∈N>0)d(x, fp(x)) ≤εet d(y, fp(y)) ≤ε.
En d´eduire que fest une isom´etrie de Xsur X.
(2) Montrer que fest un hom´eomorphisme (on montrera que f(X) est dense dans X).
Exercice 9. (Ensemble triadique de Cantor). Soit K0= [0,1] ⊆R, et pour n∈N,
Kn+1 =1
3Kn∪2 3+1 3Kn(on a K1=0,1 3∪2 3,1,K2=0,1 9∪2 9,1 3∪2 3,7 9∪8 9,1
etc.).
(1) Montrer que (Kn)n∈Nest une suite d´ecroissante de compacts. Posons K=
∞
T
n=0
Kn.
Montrer que Kest un compact non vide.
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(2) Montrer que le compl´ementaire de Kest une r´eunion d´enombrable d’intervalles ou-
verts, dont la somme des longueurs vaut 1.
(3) Montrer que Kest l’ensemble des r´eels dans [0,1] dont le d´eveloppement triadique ne
comporte que des 0 et des 2 (en admettant les d´eveloppements compos´es uniquement
de 2 `a partir d’un certain rang).
(4) Montrer que Kest en bijection avec [0,1] mais que Kest d’int´erieur vide.
Exercice 10. Soit (E, k.k) un espace vectoriel norm´e.
(1) Soit Fun sous-espace ferm´e strict de E(i.e. tel que F6=E). Montrer que
(∀ε∈R>0) (∃x∈E)kxk= 1 et dist(x, F )≥1−ε.
(2) On suppose que la boule unit´e BE={x∈E, kxk ≤ 1}est compacte. Montrer que
Eest de dimension finie (th´eor`eme de Riesz).
Topologie faible ∗.Soient Eun espace de Banach, E0son dual, muni de la norme
d´efinie par
kϕkE0= sup
x∈E
kxk=1
|ϕ(x)|
et E00 son bidual.
Sur l’espace de Banach E0, on dispose de la topologie de la norme k.kE0et de la topologie
faible σ(E0, E00) (la moins fine qui rend continues les ´el´ements de E00. On en d´efinit une
troisi`eme, la topologie faible ∗, not´ee ∗σ(E0, E), plus faible que les pr´ec´edentes, de la fa¸con
suivante.
Pour x∈E, l’application d’´evaluation
ι(x): E0→R
ϕ7→ ϕ(x)
est lin´eaire. D’apr`es le th´eor`eme de Hahn-Banach, elle est continue et on a
kxkE= sup
ϕ∈E0
kϕk=1
|ϕ(x)|=kι(x)kE00 .
L’aplication ι:E→E00 est donc une isom´etrie. Elle n’est pas surjective en g´en´eral.
La topologie faible ∗sur E0est la topologie la moins fine qui rend continues des appli-
cations ι(x) pour x∈E.
Exercice 11. (1) Montrer que la topologie faible ∗est s´epar´ee.
(2) Montrer qu’une base de voisinages de ϕ0∈E0pour ∗σ(E0, E) est donn´ee par les
ouverts
{ϕ∈E0,(∀i∈I)|(ϕ−ϕ0)(xi)|< ε}
o`u Iest un ensemble fini, {xi}i∈I⊆Eet ε∈R>0.
On note ϕn
∗
*
n→∞ ϕpour dire qu’une suite (ϕn)n∈Nune suite d’´el´ements de E0converge
vers ϕpour la topologie faible ∗.
(3) ϕn
∗
*
n→∞ ϕ⇔(∀x∈E) lim n→∞ ϕn(x) = ϕ(x).
(4) Si ϕn*
n→∞ ϕ(pour la topologie faible σ(E0, E00)) alors ϕn
∗
*
n→∞ ϕ(pour la topologie
faible ∗).
(5) Si ϕn
∗
*
n→∞ ϕ, la suite {kϕnk}n∈Nest born´ee et kϕk ≤ lim inf n→∞ kϕnk.
(6) Si ϕn
∗
*
n→∞ ϕdans E0et si xn−→ n→∞ xfortement dans E, alors ϕn(xn)−→ n→∞ ϕ(x).

TOPOLOGIE ET ANALYSE FONCTIONNELLE FEUILLE D’EXERCICES N◦4 3
Exercice 12. (1) Soient Vun R-espace vectoriel et ϕ, ϕ1, . . . , ϕndes formes lin´eaires
telles que
n
T
i=1
Ker(ϕi)⊆Ker(ϕ). Montrer que ϕ∈Vect(ϕ1, . . . , ϕn).
(2) Soit f:E0→Rune forme lin´eaire continue pour la topologie faible ∗. Montrer qu’il
existe x∈Etel que f(ϕ) = ϕ(x) pour tout ϕ∈E0(i.e. que f=ι(x)).
Exercice 13. Montrer que la boule unit´e BE0={ϕ∈E0,kϕkE0≤1}est compacte pour
la topologie faible ∗(th´eor`eme de Banach-Alaoglu). [Indication : on pourra consid´erer
l’application E0→RE;ϕ7→ (ϕ(x))x∈E].