INTERACTION NEWTONIENNE

INTERACTION NEWTONIENNE
I)Loi d ' interaction.
L'intensité de la force d'interaction entre les deux points matériels est inversement proportionnelle au carré de la
k
distance qui les sépare: f B = − 2 e r .
r
B
B
f B
r
f B
A
A
er

er

k  0 force répulsive
k  0 force attractive
Interaction de gravitation : 
f B = −G
mA mB
e r ; k = G m A m B  0 ⇒ attraction ; G = 6,6710−11 m 3 s−2 kg−1 .
2
r
q A qB
1 q A qB
1
9
−1
Interaction électrostatique : f B =
er ; k = −
;
= 9 10 m F .
2 
4 π ε0 r
4 π ε0
4 π ε0
Si q A q B  0 ⇒ répulsion ; si q A q B  0 ⇒ attraction.
II) Energie potentielle .
d Ep
k
f B =−
grad E p ; f B = −
⇒ E p = − constante.
dr
r
k
On choisit Ep  0 quand r  ∞ , d ' où constante = 0 ; E p =− .
r
Pour l'interaction de gravitation, on a toujours Ep  0.
III) Trajectoire de la particule réduite .
1 . Nature .
*
2
Le mouvement a lieu dans un plan fixe, perpendiculaire à 
L , et satisfait à la loi des aires: r θ̇ = C.
k
La particule réduite de masse µ subit la force f =− 2 
e r passant par le centre de masse G, fixe dans (R*).
r
1
L'accélération du mouvement est centrale (radiale) telle que f = µ a avec a = −C2 u 2 u ''u  e r où u = .
r
k
−k u 2 = −µ C2 u ''u  ; u ''u =
.
µC2
k
La solution générale de cette équation est de la forme: u = A cosθ−θ0 
2.
µC
µC 2
k
r=
: équation d'une conique dont l'un des foyers est G.
2
µC
1A
cosθ−θ0 
k
u ' =−A sinθ−θ0 ; u est extrêmal sur l'axe focal défini par θ = θ0 ou θ = θ0 ± π.
k
En prenant l'axe focal comme axe polaire, l'équation devient: u = ±A cosθ 2 .
µC
k
D' où A =±u 0 −
 avec u = u 0 quand la particule rencontre l'axe focal.
µ C2
En orientant l'axe polaire pour que A > 0 on a:
µ C2
2
k
p
µC
• si k  0 : r =
=
avec
p
=
 0 ; e = pA  0.
k
1e cos θ
µ C2
1A
cosθ
k
2
µC
∣k∣
p
µ C2
• si k  0 : r =
=
avec
p
=
0 ; e = pA  0.
∣k∣
µ C2
e cos θ−1
A
cos θ−1
∣k∣
1
2 . Discussion selon la valeur de l ' excentricité.
a . Définition d ' une conique .
M
d M , F
Ensemble des points tels que
= e = excentricité  0.
r
d M ,D
p
θ
F: foyer ; (D): directrice ; Fx: axe focal ; FH = ; p: paramètre.
e
F
e  1 : M et F sont du même côté par rapport à (D).
p
MF
r
p
MN = −r cosθ ;
=e=
; r=
e
MN
p
1ecos
θ
−r cosθ
e
e  1 : M peut être de l'autre côté de (D).
r
p MF
r
p
MN = r cos θ− ;
=e=
; r=
θ
e MN
p
e cosθ−1
r cosθ−
F
e
b. Interaction attractive : k  0 .
p
µ C2
La trajectoire a pour équation r =
avec p =
et e = pA.
k
1e cosθ
• 0  e  1 : la trajectoire est une ellipse.
e  1 ⇒ r est toujours défini: la particule réduite reste à distance
finie du centre de masse G, foyer de l'ellipse, il s'agit d' états liés .
p
θ = 0, r est minimal péricentre P: r P = GP =
.
B
1e
p
b c a
θ = π, r est maximal apocentre A: r A = GA=
.
1−e
A G'
O
1
p
Demi−grand axe : a = OP = OA = r A r P  =
.
2
1−e 2
B'
pe
Distance focale : c = OG = OG ' = a−r P = r A−a =
=
a
e.
1−e2
d r sin θ
Demi−petit axe : b = OB = OB ' ; en B ou B', r sin θ est maximal ;
= 0.
dθ
1e cosθcosθe sin 2 θ
p
p
= 0 ⇒ cosθ = −e ; GB =
= a ; b 2 = a 2 −c 2 .
2
2
1e cos θ
1−e
BG
p
p e2
Ou bien
= e avec BN = OGGH = c ; BG = c ep =
2 p = a.
BN
e
1−e
p2
2
2
2
b = a 1−e  =
2 = p a = r A rP .
1−e
Remarque : si e  0, r  p = constante ; la trajectoire est un cercle de rayon p.
N
H
(D)
N
x
M
x
H
(D)
N
G P H
x
(D)
 Montrer que pour tout point M de l'ellipse:
MG + MG' = cste = 2a.
• e = 1 : la trajectoire est une parabole .
M
N
Tout point M est équidistant de G et de (D).
r
θ
Quand θ  π , r  ∞: la particule réduite ne reste pas à distance
P
H
G
finie du centre de masse, il s'agit d'états de diffusion .
p
r est minimal en P θ = 0, r P = . P est le sommet de la parabole.
(D)
2
• e  1 : la trajectoire est une hyperbole .
1
1
r n 'est pas défini si 1e cos θ = 0 ; cosθ = − ; θ = ±θ∞ =± arc cos − .
e
e
Si −θ∞  θ  θ∞ alors r  0 convient.
Si θ∞  θ  2 π−θ∞ alors r  0 ne convient pas parce
N
que l'interaction serait répulsive et non attractive:
a θ∞
b
p
p
∣r∣ = −
=
.
1e cosθ e cosθπ−1
G P
O
A G'
Le péricentre θ = 0 est le sommet de la branche d'hyperbole
p
parcourue par la particule réduite: r P =
.
1e
2
x
 
x
Le sommet A de l'autre branche d'hyberbole (non parcourue) correspond à θ = π:
p
1
p
∣r A∣ = e−1 ⇒ a = OP = OA = 2 ∣r A∣−r P  = 2 .
e −1
pe
Distance focale : c = OG = OG ' = a r P = ∣r A∣−a = 2
= a e.
e −1
1
Distance aux asymptotes: b = GH = OG sin 
GOH = c sin θ∞ = c 1− 2 =  c2 −a 2 .
e
p2
b 2 = a 2 e2 −1 = 2
= p a = r P∣r A∣.
e −1

 Montrer que pour tout point M de l'hyperbole: MG '−MG = cste = 2 a.
c .Interaction répulsive : k  0 .
2
p
µC
r=
avec p =
.
∣k∣
e cos θ−1
La particule réduite parcourt la branche d'hyperbole dont la
concavité est tournée vers l'autre foyer G'.
N
f
M
b
O
G
A
G'
x
3 . Discussion selon la valeur de l ' énergie totale E* .
1
k 1
k
E* = E*cE p = µ v 2− = µ  ṙ 2 r 2 θ̇2  − avec r 2 θ̇ = C.
2
r
2
r
2
1
1 µC k 1 2
E* = µ ṙ 2 
− = µ ṙ Ep eff .
2
2 r2
r
2
2
1 µC k
E peff =
− est l'énergie potentielle effective et ne dépend que de r.
2 r2
r
2
Or µ ṙ  0, donc E* −E p eff  0. Dans tous les cas, les états possibles seront donnés par E *  E p eff .
a . Interaction attractive : k  0 .
d E p eff
1 µ C2 p
E peff = 0 pour r =
=
;
= 0 pour r = p.
2 k
2
dr
k
E peff p = −
; E p eff 0  ∞ ; E peff ∞  0.
2p
• E*  0 : r ∈ [r P , r A ] ; r reste fini états liés.
La trajectoire est une courbe fermée, une ellipse en général ou
k
un cercle si r P = r A soit E* = −
.
2p
1
r P et r A sont solutions de E* = E peff ⇒ E* r 2 k r− µ C2 = 0.
2
k
k
*
*
r P r A = − * = 2 a ; E = −
; E détermine le grand axe.
2a
E
D 'autre part L* = µ C = µ k p : L * détermine le paramètre p.
p
*
• E = 0 : r ∈ [r P ,∞] avec r P = .
2
La trajectoire est une parabole; E*c ∞  0.
p
• E*  0 : r ∈ [r P ,∞] avec r P  .
2
La trajectoire est une branche d'hyperbole; E*c ∞ = E *  0.
b . Interaction répulsive : k  0.
2
1 µ C ∣k∣
E p eff =
  0, monotone, décroissante.
2 r2
r
*
Donc E  0. La trajectoire est une branche d'hyperbole.
3
Ep eff
0
p
2
p
p
2
p
p
2
p
p
2
p
r
k
2p
Ep eff
0
r
k
2p
Ep eff
0
r
k
2p
Ep eff
0
r
k
2p
Ep eff
0
r
IV) Mouvement elliptique .
1 .Période de révolution .
La vitesse aréolaire est constante
dS C surface de l'ellipse
πa b
= =
=
.
dt
2 période de révolution
T

2πa b
µ C2
µa3
4 π2 µ 3
2
avec b =  a p et p =
⇒ T = 2π
ou T =
a .
C
k
k
k
Remarque : dans le cas du mouvement circulaire on retrouve directement la relation à partir de la RFD.
k
k
4 π2
4 π2 µ 3
2
2
2
Ici p = r = a ; 2 = µ ω a ⇒ ω =
=
;
T
=
a .
k
a
µa3
T2
2 . Mouvement des planètes .
D 'où T =
Le système solaire comprend neuf planètes principales toutes de masse faible par rapport à celle du Soleil
MS
30
 MS ≈ 2 10 kg , la plus massive étant Jupiter de masse égale à
.
1 047,34
En 1ère approximation, on peut négliger l'interaction entre planètes et ne tenir compte que de l'interaction
entre la planète et le Soleil.
Le référentiel propre du système planète-Soleil est pratiquement confondu avec le référentiel de Képler
dont l'origine est le centre de masse du Soleil.
Pour des astres sphériques, formés de couches concentriques homogènes, on démontre à partir du théorème
de Gauss qu'à l'extérieur de l'astre son action est la même que celle d'un point matériel ayant la masse totale
de l'astre et placé au centre de masse de l'astre.
M m
Dans ces conditions, le centre de masse de la planète est soumis à la force: 
f =−G S2 e r .
r
Son mouvement se confond donc avec celui de la particule réduite du système isolé planète-Soleil en
ème
interaction newtonienne , d 'où les 3 lois de Képler 1 609 et 1619 pour la 3 :
1. Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est l'un des foyers.
2. Le rayon-vecteur Soleil-planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
3. Le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du grand axe de l'ellipse.
____________________________________________________________________________________________
 Pour la comète de Halley:
T = 76,0 ans ; r P = 0,96 UA avec 1 UA = a Terre = 149,6 106 km.
Calculer l'excentricité et le demi-grand axe de l'orbite de la comète.
Calculer sa vitesse au périhélie puis à l'aphélie, dans le référentiel de Copernic.
4
3. Mouvement des satellites artificiels de la Terre .
La masse d'un satellite étant toujours très faible par rapport à celle de la Terre ( M T = 6 10 24 kg ), le centre de
masse du système est confondu avec le centre de masse C de la Terre et le référentiel propre confondu avec
le référentiel géocentrique.
En admettant que la Terre est sphérique, formée de couches concentriques homogènes (la masse volumique
ne dépend que de r), le champ de gravitation créé par la Terre est radial, identique à celui créé par un point
matériel de masse M T placé en C.
M m
k
La force attractive, centrale, subie par le satellite est donnée par la loi de Newton: f = −G S2 e r =− 2 e r .
r
r
Si les autres forces sont négligeables, c'est-à-dire si la trajectoire est assez élevée pour qu'il n'y ait pas de
frottement sur l'atmosphère, mais pas trop élevée pour que les attractions de la Lune et du Soleil restent
faibles devant celle de la Terre, le problème est le même que le précédent.
ème
D' après la 2 relation de Binet , la trajectoire u θ est solution de l'équation différentielle:
f u 
k
1
1
u ' 'u =−
. D'où u = A cosθ−θ0  et u ' = −A sin θ−θ0 .
2 2 =
2 =
p
p
mC u
mC
La trajectoire est donc une conique dont le centre de masse de la Terre est un foyer.
Exemple : lancement à la distance r 0 avec une vitesse 
v 0 perpendiculaire à r 0 .
Soit Cx l 'axe polaire, colinéaire à r 0 , et de même sens :
 ṙ 0 u 20
1
1
u 0 = = A cos θ0  , u '0 = Asin θ0 = −
= 0 car  ṙ 0 = 0.
r0
p
θ̇ 0
1
En choisissant θ0 = 0, l 'équation devient u = A cosθ .
p
p
p
p
soit r =
et r 0 =
d 'où p A = −1.
1p A
r0
1p A cos θ
2 2
2
m v 0 r0
m v 20 r0
mC
Or p =
et C = v 0 r 0 ⇒ p =
; pA =
−1.
k
k
k
2 E c0
E E
pA =
−1 = c0
avec E = E c0Ep0 .
∣E p0∣
∣Ep0∣
v0
C
r0
x
a . pA  0 : E  −Ec0  0.
Etat lié : la trajectoire est une ellipse d'excentricité e = p∣A∣ = 1−
2 Ec0
.
∣E p0∣
p
montre que C est le foyer le plus éloigné du point de départ (apogée).
1−e cos θ
Si v 0 ≈ 0, e ≈ 1, l'ellipse tend vers une parabole pouvant rencontrer la Terre.
L 'équation de l 'ellipse r =
b . pA = 0 : E = −Ec0  0.
C'est aussi un état lié avec A = 0 donc r = p = r 0 .
L 'orbite est un cercle parcouru avec une vitesse constante v1 =
c. pA  0 : E  −Ec0 .
 
GM T
k
ère
=
1 vitesse cosmique .
mr 0
r0
p
.
1e cosθ
• Si e  1 , soit Ec0  ∣E p0∣ alors E  0 : c'est un état lié donc l'orbite est une ellipse dont C est le foyer
le plus proche du point de lancement (périgée).
• Si e = 1 , soit Ec0 = ∣E p0∣ alors E = 0 : c'est un état de diffusion. L'orbite est une parabole de foyer C.
2 G MT
2k
ème
La vitesse initiale vaut: v2 =
=
=  2 v 1 2 vitesse cosmique.
m r0
r0
• Si e  1 , soit Ec0  ∣E p0∣ alors E  0 : c'est aussi un état de diffusion.
L 'orbite est un arc d 'hyperbole dont la concavité est tournée vers C.
La conique a pour excentricité e = pA et pour équation r =


5
V) Mouvement hyperbolique répulsif .
X
S
ϕ
M
θ0
H
f

v∞
O
b
x
G
Dans (R*), la particule réduite de masse µ arrive avec la vitesse v∞ = −v∞ e r sur la droite distante de b du
centre de masse G (b = paramètre d'impact).
q q
k
La particule réduite est soumise à la force f = − 2 e r avec k = − A B  0.
4 π ε0
r
ème
2 2

D 'après la 2 relation de Binet : f = µ a = −µC u u ' 'u  e r avec 
f = −k u 2 
er .
k
k
D 'où u ''u =
dont la solution est de la forme u = A cosθ−θ0  2 ; u ' = −Asin θ−θ0 .
2
µC
µC
L'axe focal GX correspond à r minimal (u maximal) donc à θ = θ0 .
*
*
 =
La constante des aires C est donnée par L = µC avec 
L =
GM∧µ v
GH∧µ v ∞ = µ b v ∞ e z ; C = b v ∞ .
k
Si θ  0, r  ∞ , u  0 ⇒ A cos θ0  2 = 0 ; u '  u '∞ = A sin θ0 .
µC
ère
Or d'après la 1 relation de Binet v = C−u 'θ 
e r u 
e θ .
v  −v∞ e r = −C u '∞ e r ⇒ C u '∞ = v∞ ou u '∞ = 1 .
b
Les deux constantes A et θ0 sont déterminées par les deux relations:
Asin θ0 =

1
k
∣k∣
1
k2
µb 2
et Acos θ0 = − 2 =
d 'où A =
1 2 4 et tanθ0 = −
v .
2 2
b
b
k ∞
µC
µ b v∞
µ b v∞
La 2 ème asymptote est symétrique de la 1 ère par rapport à OX.
La déviation ϕ subie par la particule réduite est telle que ϕ = π−2 θ0 .
1
ϕ
π
ϕ
k
tan = tan −θ0 =
; tan = −
.
2
2
2
tan θ0
µ b v 2∞
ϕ
Si b  0, tan  ∞ , ϕ  π : la particule rebrousse chemin après s'être approchée de G jusqu'à la distance
2
1
k
2k
r min telle que E* = µ v 2∞0 = 0−
⇒ r min =− 2 .
2
r min
µ v∞
 
Caractéristiques de l ' hyperbole décrite :
b
b
k
c = GO =
; a = OH = OS =
=− 2 .
sin θ0
tan θ0
µ v∞
e=

2
2
4
2
2
2
2
c
1
µ b v∞
b
µ b v∞
=
= 1
; p=
=−
.
a cosθ0
a
k
k2
6