Brunot-Le Magoariec André Point mobile sans frottement sur une sphère Un point M de masse m est placé à l’instant initial sur le sommet A d’une sphère sur laquelle il glisse sans frottement ; On lui communique une vitesse horizontale v0 . Soit O le centre de la sphère et R son rayon, déterminer la réaction N de la sphère sur M en fonction de l’angle θ . Quelle est la valeur maximale θ m de θ ? Quel est le mouvement ultérieur ? A M u u’ O mg Fig. 1 Réponse Le point M est soumis à son poids et à la réaction de la surface. Ecrivons le principe fondamental de la dynamique dans un référentiel galiléen lié à la sphère, mais en utilisant un repère mobile : (Distinction entre référentiel et repère) mγ = ( N − mg cosθ ) u + mg sin θ u′ Pour exprimer γ on peut soit utiliser l’expression générale v2 dv γ = N + T dt R Qui s’écrit ici γ = − Rθ&2u + Rθ&&u′ Soit utiliser l’expression de l’accélération en coordonnées polaires qui donne directement la relation ci-dessous ; finalement, en identifiant sur u et u’ : N = m g cosθ − Rθ&2 g sin θ = Rθ&& Pour obtenir N en fonction de θ , il faut connaître θ& ; deux méthodes sont possibles : ou bien multiplier la seconde relation par θ& et l’intégrer, ou, ce qui est absolument équivalent, écrire le théorème de l’énergie cinétique : &&& en intégrant : g θ (à t déterminé) sin θθ&dθ = g (1 − cosθ ) g sin θθ& = Rθθ ∫ θ0 et R ∫ θ (à t déterminé) θ0 &&&dθ = θθ R &2 θ 1 &2 θ = Rθ − Rθ&02 θ0 2 2 ( ) 1 &2 v02 2 2 & & on obtient : Rθ − Rθ0 = g (1 − cosθ ) ⇒ Rθ = 2 g (1 − cosθ ) + 2 R ( ) 1/ 2mR 2θ&2 = mgR (1 − cosθ ) + 1/ 2mv02 D’où N = mg [3cosθ − 2] − mv02 / R La liaison étant unilatérale, N ≥ 0 , soit : cos θ ≥ cos θ m = 2 / 3 + v02 / 3Rg Pour θ ≥ θ m le point quitte la sphère et suit un mouvement de chute libre. Le problème change de nature, et il faut recommencer la mise en équation ; la trajectoire est parabolique. Remarquons que la condition cos θ m ≤ 1 entraîne v0 < Rg . Si cette condition n’est pas remplie, le point quitte la sphère dès le sommet A ; on interprète facilement cette condition en faisant appel à la force centrifuge.