Point mobile sans frottement sur une sphère

Brunot-Le Magoariec André
Point mobile sans frottement sur une sphère
Un point M de masse m est placé à l’instant initial sur le sommet A d’une sphère sur laquelle
il glisse sans frottement ; On lui communique une vitesse horizontale
0
v
. Soit O le centre de
la sphère et R son rayon, déterminer la réaction N de la sphère sur M en fonction de l’angle
θ
. Quelle est la valeur maximale
m
θ
de
θ
? Quel est le mouvement ultérieur ?
Réponse
Le point M est soumis à son poids et à la réaction de la surface. Ecrivons le principe
fondamental de la dynamique dans un référentiel galiléen lié à la sphère, mais en utilisant un
repère mobile :
(Distinction entre référentiel et repère)
(
)
cos sinm N mg mg
θ θ
′
= − +
γu u
Pour exprimer
γ
on peut soit utiliser l’expression générale
2
d
d
v v
R t
= +
γN T
Qui s’écrit ici
2
R R
θ θ
′
= − +
γu u
& &&
Soit utiliser l’expression de l’accélération en coordonnées polaires qui donne directement la
relation ci-dessous ; finalement, en identifiant sur u et u’ :
2
cos sin
N m g R g R
θ θ θ θ
= − =
& &&
O
m
g
u
A
M
u’
Fig. 1

Pour obtenir N en fonction de
θ
, il faut connaître
θ
&
; deux méthodes sont possibles : ou bien
multiplier la seconde relation par
θ
&
et l’intégrer, ou, ce qui est absolument équivalent, écrire
le théorème de l’énergie cinétique :
( )
0
(à déterminé)
sin en intégrant : sin d 1 cos
t
g R g g
θ
θ
θθ θθ θθ θ θ
= = −
∫
& &&& &
( )
0
0
(à déterminé)
2 2 2
0
1
et d
2 2
t
R
R R R
θθ
θ
θ
θθ θ θ θ θ
= = −
∫
&&& & & &
( )
( ) ( )
2
2 2 2
0
0
1
on obtient : 1 cos 2 1 cos
2
v
R R g R g
R
θ θ θ θ θ
− = − ⇒= − +
& & &
(
)
2 2 2
0
1/ 2 1 cos 1/ 2
mR mgR mv
θ θ = − +
&
D’où
[ ]
2
0
3cos 2 /
N mg mv R
θ = − −
La liaison étant unilatérale,
0
N
≥
, soit :
2
0
cos cos 2 / 3 / 3
m
v Rg
θ θ ≥ = +
Pour
m
θ θ
≥
le point quitte la sphère et suit un mouvement de chute libre. Le problème
change de nature, et il faut recommencer la mise en équation ; la trajectoire est parabolique.
Remarquons que la condition
cos 1
m
θ
≤
entraîne
0
.
v Rg
<
Si cette condition n’est pas remplie, le point quitte la sphère dès le sommet A ; on interprète
facilement cette condition en faisant appel à la force centrifuge.