Les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell
Question : Quelles équations relient E, B,  et j de façon générale ?
I. Le courant de déplacement
Question : Pourquoi les équations de l’électrostatique E et de la magnétostatique B ne sont pas toujours
valables ?
Div E =
0
ε
ρ
Rot E= 0
Div B = 0 Rot B =
0
µ
. j
 est la densité volumique de charge.
 (x,y,z) : propriété locale.
Dans un volume V, il y a une charge totale Q =
V
dzyx τρ ).,,(
en C/
3
m
j est la densité volumique de courant.
j= . v
Le courant total traversant une surface S vaut :
==
S
dt
dQ
I j. dS
j est en A/
2
m
Le problème vient de l’incompatibilité de ces équations de Maxwell avec la conservation de la charge.
Principe de conservation de la charge :
« Il n’y a pas apparition ou disparition spontanée de charge électrique dans un système isolé.»
On se donne une surface entourant un volume V.
Bilan des charges :
Si Q(t) est la charge dans V à l’instant t, sa variation vaut :
=
V
dt
dQ ∂
∂ t.d

Principe de conservation :
Cette variation ne peut venir que de charges entrant ou sortant de V.
Cette variation vaut le flux 
Σ
j. dS S
D’où
V
∂
∂ t.d
+
S
j. dS = 0
Théorème d’Ostrogradski :
V
∂
∂ t.d
+
S
div j.d = 0
D’où
∂
∂ t + div
j = 0 Equation de conservation de la charge
On reprend Maxwell :
rot B =
0
µ
. j
Div( rot B) =
0
µ
.div j
Or div( rot B) = 0
Donc
0
µ
.div j = 0 donc div j = 0
Impossible car div j = -
∂
∂ t
Si la charge évolue au cours du temps (non statique)
Exemple de cette incompatibilité :
Une capacité qu’on charge :
Théorème d’Ampère :
SentourantC ..
B. dl =
0
µ
.I
Straversant.

C
B. dl =
0
µ
.I
'.Straversant
Problème : Quand on charge la capacité, Is ≠ 0 alors que Is’ = 0
Solution : Maxwell propose d’ajouter un terme à Ampère :
rot B =
0
µ
. j +
0
µ
.
0
ε
.
∂ E
∂ t avec
0
ε
.
∂ E
∂ t = courant de déplacement (mais n’est pas un courant)
Par analogie avec le vrai courant j.
Dans ce cas : div( rot B) = 0 = div(
0
µ
. j +
0
µ
.
0
ε
.
∂ E
∂ t)
=
0
µ
.div j +
0
µ
.
0
ε
.
∂ div E
∂ t
=
0
µ
.[div j +
0
ε
.
∂ div E
∂ t] car Gauss div
E =
0
ε
ρ
= 0 par conservation de la charge.
Autre modification nécessaire : l’induction.
rot E = -
∂ B
∂ t
II. Les équations de Maxwell et leur sens physique.
Div E =
0
ε
ρ
Rot E= -
∂ B
∂ t
Div B = 0
S
Rot B =
0
µ
. j +
0
µ
.
0
ε
.
∂ E
∂ t
Sens physique :
• Div E =
0
ε
ρ
L’écoulement de E = la charge correspondante en un point considéré.
• Div B = 0 Il n’existe pas d’équivalent de la charge électrique pour B.
• Rot E = -
∂ B
∂ t
Si B varie au cours du temps, cela engendre un champ E.
• Rot => Si E est droit => B tourne.
Si E tourne => B est droit.

Quand on insère ou sort l’aimant, il apparaît une tension, car à cet instant,
∂ B
∂ t
≠ 0
Si B stationnaire, rot E= 0
• Rot B =
0
µ
. j +
0
µ
.
0
ε
.
∂ E
∂ t
Un courant j engendre un champ magnétique B. Réciproque de l’induction : Si E varie au cours
du temps, cela engendre un champ B
E et B sont intrinsèquement liés.
Le terme
0
ε
.
∂ E
∂ t disparaît en régime statique et il est négligeable en régime lentement variable au cours du
temps dit « quasi-stationnaire » : quand le champ varie bien plus lentement que la durée du parcours qu’il
effectue.
Exemple : Un fil électrique dans 1m alimenté par le secteur (50 Hz)
Vitesse du champ ≈ 3.10
8
m/s
Parcours un mètre en ≈ 3ns
On compare à la période =
1
50Η z = 20ms
L’approximation quasi-statique est valide.
Exemple : L’antenne d’un téléphone portable.
Durée du parcours ≈
8
10
.
3
100m
= 300ns
≈
9
10 Hz T = 1ms
L’approximation quasi-statique n’est pas valide.
ATTENTION : Dans le cas général, Coulomb et Biot Savart ne sont plus valides.
Aimant
Bobine Sens de
déplacement des
électrons
Sens du
Courant

III. Formes intégrales des équations de Maxwell
• div E =
0
ε
ρ
ΣVentourantsurface ...
E. dS =
0
.
ε
Vdans
Q
• rot E = -
∂ B
∂ t
S
rot E. dS =
S
-
∂ B
∂ t.
dS
SentoruantC ..
E. dl =
∂
S
B. dS
∂ t
La circulation de E suivant C fermé = - variation au cours du temps du flux de B à travers S entourée
par C.
• div B = 0
SferméeSurface ..
B. dS = 0
• rot B =
0
µ
. j +
0
µ
.
0
ε
.
∂ E
∂ t
SentourantC ..
B. dl =
0
µ
.I
Straversant.
+
0
µ
.
0
ε
.
dt
d
S
E. dS
IV. Résolution générale des équations de Maxwell
Trouver une équation seulement pour E ( , j)
Trouver une équation seulement pour B ( , j)
rot ( rot E) = rot (-
∂ B
∂ t) = -
∂
∂ t (
rot B) = -
∂
∂ t (
0
µ
. j +
0
µ
.
0
ε
.
∂ E
∂ t)
Or
rot ( rot E) = grad (div E) - E = grad (
0
ε
ρ
) - E
E -
0
µ
.
0
ε
.
∂
2
E
∂ t
2
=
0
1
ε
. grad ( ) +
0
µ
∂ j
∂ t
On peut montrer de même que :
B -
0
µ
.
0
ε
.
∂
2
B
∂ t
2
= -
0
µ
. rot j
Les solutions ont des formes retardées du type :
V(M,t) = τ
ρ
επ
d
r
c
r
tp
.
),(
.
..4
1
0
 −
V s’exprime en fonction de la charge ),(
c
r
tp − ρ
Tout se passe comme si les potentiels valent en M la valeur qu’ils avaient en p à c
r
tt −='