Les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell
Question : Quelles équations relient E, B,
et j de façon générale ?
I. Le courant de déplacement
Question : Pourquoi les équations de l’électrostatique E et de la magnétostatique B ne sont pas toujours
valables ?
Div E =
ρ
ε0
Rot E= 0
Rot B = µ 0 . j
Div B = 0
est la densité volumique de charge.
(x,y,z) : propriété locale.
Dans un volume V, il y a une charge totale Q =
V
ρ ( x, y, z ).dτ
en C/ m 3
j est la densité volumique de courant.
j = .v
Le courant total traversant une surface S vaut :
dQ
=
j . dS
S
dt
j est en A/ m 2
I=
Le problème vient de l’incompatibilité de ces équations de Maxwell avec la conservation de la charge.
Principe de conservation de la charge :
« Il n’y a pas apparition ou disparition spontanée de charge électrique dans un système isolé.»
On se donne une surface
Bilan des charges :
entourant un volume V.
Si Q(t) est la charge dans V à l’instant t, sa variation vaut :
dQ
=
dt
V
∂
.d
∂t
Principe de conservation :
Cette variation ne peut venir que de charges entrant ou sortant de V.
j . dS S
Cette variation vaut le flux
Σ
D’où
V
∂
.d +
∂t
S
j . dS = 0
Théorème d’Ostrogradski :
∂
.d +
div j .d = 0
S
∂t
∂
D’où
+ div j = 0
Equation de conservation de la charge
∂t
V
On reprend Maxwell :
rot B = µ 0 . j
Div( rot B) = µ 0 .div j
Or div( rot B) = 0
Donc µ 0 .div j = 0 donc div j = 0
∂
Impossible car div j = ∂t
Exemple de cette incompatibilité :
Si la charge évolue au cours du temps (non statique)
Une capacité qu’on charge :
Théorème d’Ampère :
C .entourant . S
B. dl = µ 0 .I traversant.S
C
B. dl = µ 0 .I traversant.S '
Problème : Quand on charge la capacité, Is ≠ 0 alors que Is’ = 0
Solution : Maxwell propose d’ajouter un terme à Ampère :
∂E
∂E
avec ε 0 . = courant de déplacement (mais n’est pas un courant)
∂t
∂t
Par analogie avec le vrai courant j .
rot B = µ 0 . j + µ 0 . ε 0 .
∂E
)
∂t
∂div E
= µ 0 .div j + µ 0 . ε 0 .
∂t
ρ
∂div E
= µ 0 .[div j + ε 0 .
]
car Gauss div E =
∂t
ε0
= 0 par conservation de la charge.
Dans ce cas : div( rot B) = 0 = div( µ 0 . j + µ 0 . ε 0 .
Autre modification nécessaire : l’induction.
∂B
rot E = ∂t
II. Les équations de Maxwell et leur sens physique.
Div E =
ρ
ε0
∂B
Rot E= ∂t
Div B = 0
S
Rot B = µ 0 . j + µ 0 . ε 0 .
∂E
∂t
Sens physique :
ρ
ε0
•
Div E =
•
Div B = 0
•
Rot E = -
•
Rot
=>
L’écoulement de E = la charge correspondante en un point considéré.
Il n’existe pas d’équivalent de la charge électrique pour B.
∂B
∂t
Si B varie au cours du temps, cela engendre un champ E.
Si E est droit
Si E tourne
=>
=>
B tourne.
B est droit.
Quand on insère ou sort l’aimant, il apparaît une tension, car à cet instant,
∂B
≠0
∂t
Si B stationnaire, rot E= 0
Sens du
Courant
Aimant
Sens de
déplacement des
électrons
Bobine
•
Rot B = µ 0 . j + µ 0 . ε 0 .
∂E
∂t
Un courant j engendre un champ magnétique B.
Réciproque de l’induction : Si E varie au cours
du temps, cela engendre un champ B
E et B sont intrinsèquement liés.
∂E
disparaît en régime statique et il est négligeable en régime lentement variable au cours du
∂t
temps dit « quasi-stationnaire » : quand le champ varie bien plus lentement que la durée du parcours qu’il
effectue.
Le terme ε 0 .
Exemple : Un fil électrique dans 1m alimenté par le secteur (50 Hz)
Vitesse du champ ≈3.10 8 m/s
Parcours un mètre en ≈ 3ns
On compare à la période =
1
= 20ms
50Ηz
L’approximation quasi-statique est valide.
Exemple : L’antenne d’un téléphone portable.
Durée du parcours ≈
≈ 10 9 Hz
100m
= 300ns
3.108
T = 1ms
L’approximation quasi-statique n’est pas valide.
ATTENTION : Dans le cas général, Coulomb et Biot Savart ne sont plus valides.
III. Formes intégrales des équations de Maxwell
•
•
div E =
ρ
ε0
rot E = -
surface.Σ .entourant .V
∂B
∂t
E. dS =
rot E. dS =
S
C .entoruant . S
E. dl =
S
∂
Qdans.V
ε0
∂B
. dS
∂t
B. dS
S
∂t
La circulation de E suivant C fermé = - variation au cours du temps du flux de B à travers S entourée
par C.
•
•
div B = 0
Surface . fermée. S
rot B = µ 0 . j + µ 0 . ε 0 .
C .entourant. S
B. dS = 0
∂E
∂t
B. dl = µ 0 .I traversant.S + µ 0 . ε 0 .
d
dt
S
E. dS
IV. Résolution générale des équations de Maxwell
Trouver une équation seulement pour E ( , j )
Trouver une équation seulement pour B ( , j )
rot ( rot E) = rot (-
∂B
∂
∂
∂E
) = - ( rot B) = - ( µ 0 . j + µ 0 . ε 0 . )
∂t
∂t
∂t
∂t
Or
rot ( rot E) = grad (div E) - E = grad (
E - µ0 . ε 0 .
ρ
)- E
ε0
1
∂ 2E
∂j
=
. grad ( ) + µ 0
2
∂t
∂t
ε0
On peut montrer de même que :
∂ 2B
= - µ 0 . rot j
∂t 2
Les solutions ont des formes retardées du type :
r
ρ ( p, t − )
1
c .dτ
V(M,t) =
.
4.π .ε 0
r
B - µ0 . ε 0 .
r
V s’exprime en fonction de la charge ρ ( p, t − )
c
Tout se passe comme si les potentiels valent en M la valeur qu’ils avaient en p à t '= t −
r
c
APPLICATION : Les ondes radio
E
à
= 50 MHz
Etincelle
Batterie
Circuit LC à la résonance à 50 MHz
Sphères métalliques
de Cu
L’onde est réfléchie
λ=
c
Onde émise
υ
Onde réfléchie
Ondes en phase
On trouve c ≈ 3.10 8 m/s
1
c≈
µ 0 .ε 0
Métal
t
Ondes FM et AM :
FM (Frequency modulation) : On envoie A(t ) = A0 . cos( w0 .t + m(t ))
Où m(t) est le signal que l’on veut envoyer.
AM (Amplitude modulation) : On envoie A(t ) = A0 .(1 + m(t )). cos( w0 .t )
Déplacement
de la sonde
Oscilloscope
Détection AM :
Schéma d’un détecteur d’enveloppe :
(2)
(1)
Signal émis, contenant le modulant m(t) et la porteuse w0
Signal récupéré par le détecteur
Signal récupéré par le détecteur
d’enveloppe
Haut-parleur