Cours de Probabilités

Cours de Probabilités
Jean-Yves DAUXOIS
Septembre 2013

Table des matières
1 Introduction au calcul des probabilités 7
1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire ........ 8
1.1.1 Un exemple fondamental ................. 8
1.1.2 Tribus ........................... 8
1.1.3 Mesures et probabilités .................. 13
1.1.4 Variables aléatoires .................... 18
1.1.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire ....... 19
1.2 Conditionnement ......................... 19
1.2.1 Probabilité conditionnelle à un événement ....... 20
1.2.2 Formule de Bayes ..................... 21
1.3 Indépendance en probabilité ................... 22
1.3.1 Indépendance d’événements ............... 22
1.3.2 Indépendance de tribus ................. 25
1.3.3 Indépendance de variables aléatoires .......... 25
1.3.4 Lien entre les différents types d’indépendance ..... 26
1.4 Espace probabilisé produit .................... 27
1.5 Loi conjointe d’un n-uplet de variables aléatoires indépendantes 29
2 Lois sur Ret lois sur Rn31
2.1 Variables aléatoires réelles .................... 32
2.1.1 Fonction de répartition .................. 32
2.1.2 Lois discrètes ....................... 35
2.1.3 Lois continues ....................... 39
2.1.4 Changement de variables ................. 44
2.2 Vecteurs aléatoires ........................ 47
2.2.1 Fonction de répartition .................. 47
2.2.2 Densité de probabilité .................. 48
2.2.3 Loi conditionnelle et densité conditionnelle ....... 50
2.2.4 Changement de variables ................. 52
3

2.2.5 Indépendance ....................... 53
2.3 Extension de la notion de densité ................ 57
2.3.1 Intégrale par rapport à une mesure ........... 57
2.3.2 Absolue continuité d’une mesure par rapport à une
autre. Densité ....................... 66
2.3.3 Mélange de lois ...................... 68
2.3.4 Densités conjointes, marginales et conditionnelles . . . 69
3 Moments de variables aléatoires 71
3.1 Variables aléatoires réelles intégrables et espérance mathéma-
tique ................................ 72
3.2 Moments de variables aléatoires réelles ............. 75
3.2.1 Espace Lp......................... 75
3.2.2 Espace L2......................... 77
3.3 Vecteurs aléatoires ........................ 80
3.3.1 Espérance mathématique ................ 80
3.3.2 Covariance de deux v.a.r. ................ 81
3.3.3 Matrice de covariance .................. 83
3.3.4 Espérance conditionnelle ................. 84
4 Caractérisation des lois : transformée de Laplace et fonction
caractéristique 85
4.1 Transformée de Laplace ..................... 86
4.1.1 Variables aléatoires réelles ................ 86
4.1.2 Vecteurs aléatoires .................... 89
4.2 Fonction caractéristique ..................... 89
4.2.1 Intégrale d’une variable aléatoire complexe ....... 89
4.2.2 Fonction caractéristique ................. 90
5 Vecteurs gaussiens 93
5.1 Exemple fondamental ...................... 94
5.2 Définition ............................. 96
5.3 Propriétés des vecteurs aléatoires gaussiens .......... 98
5.3.1 Transformation linéaire d’un vecteur gaussien ..... 98
5.3.2 Vecteur gaussien et indépendance ............ 98
6 Convergences 101
6.1 Convergence en loi ........................102
6.1.1 Définition .........................102
6.1.2 Caractérisation de la convergence en loi ........102

6.1.3 Approximation de lois ..................104
6.2 Convergence en probabilité ...................107
6.2.1 Définition .........................107
6.2.2 Convergence en probabilité et convergence en loi . . . 111
6.3 Convergence presque sûre ....................112
6.3.1 Définition .........................112
6.3.2 Critères de convergence p.s. ...............112
6.3.3 Convergence presque sûre et convergence en probabilité 113
6.3.4 Loi forte des grands nombres ..............113
6.4 Convergence dans Lp.......................114
6.5 Résumé ..............................115
Index 116