5 Lois discrètes usuelles

5 Lois discrètes usuelles
5.1 Loi discrète uniforme
Définition 1 X est une variable aléatoire qui prend les valeurs x1x2xn, si pour
tout i on a pi1
n, alors la distribution de la variable aéatoire X est dite uniforme.
Exemple
On considère le lancé d’un dé, la variable aléatoire représentant le résultat obtenu
suit une loi uniformément distribuée :
PX i 1
6i1 6
Caractéristiques de la loi uniforme
- Loi de probabilité :
PX i pi1
n
- Moyenne :
mXE X n
∑
i1pixi
1
n
n
∑
i1xi
- Variance :
vXE X mX2E X2E X 2
n
∑
i1pix2
im2 X
1
n
n
∑
i1x2
im2 X
Exemple d’application
On considère que dans une espèce animale deux gènes αet β, indépendants, se traduisent
morphologiquement par la présence de rayures sur la coquille de l’animal. Le gène αa deux
allèles Aet aet βa deux allèles Bet b, tels que Adomine aet Bdomine b.
La traduction morphologique du génotype est la suivante :
Génotypes Phénotypes
aabb aucune rayure
Aabb ou AAbb une rayure
aaBb ou aaBB deux rayures
AaBb ou AABb ou AaBB ou AABB trois rayures
Soit Xla variable aléatoire “nombre de rayures” et le croisement suivant :
femelle mâle AaBb aabb
Déterminer les caractéristiques de X(Loi, moyenne, variance).
1

Solution
- Les femelles peuvent produire 4 types d’allèles :
A
a
B
b
B
b
AB
Ab
aB
ab
...
...
...
...
- Les mâles ne peuvent fournir qu’un seul phénotype : ab.
2

- Les constitutions génétiques des descendants sont donc :
–abab, ou encore aabb, soit X0,
–abAb, ou encore Aabb, soit X1,
–abaB, ou encore aaBb, soit X2,
–abAB, ou encore AaBb, soit X3.
Chacun des génotypes a la même probabilité d’apparition chez un descendant :
P X 0P X 1P X 2P X 31
4
Xsuit donc une loi uniforme de probabilité 1
4d’où :
- Le nombre moyen de rayures par animal descendants est :
mXE X 1
4∑xi0123 41 5
- La variance est :
vX1
n
n
∑
i1x2
im2 X
1
40149 3 22
14 9
45 41 25
vX1
4∑xi0123 41 5
5.2 Loi de Bernoulli
Définition 2 Soit une expérience dont le résultat est aléatoire et soit A un évènement
défini sur cette expérience. Soit X la variable aléatoire prenant la valeur 1quand A est
réalisé et 0 quand ¯ A est réalisé. On dit que X est une variable de Bernoulli s’il existe
p et q dans vérifiant :
P X 1p
P X 0q
p q 1
On dit également que X suit une loi de Bernoulli B 0 1 p .
- Autre Définition : Une variable de Bernoulli traduit une expérience aléatoire
ayant deux issues possibles et effectuée une seule fois. B0 1 pest la loi de
Bernoulli de paramètre p:
P X 0 1 p q
P X 1p
- Par convention, p(0 p1) est la probabilité de succès alors que q1pest
la probabilité d’échec.
3

Exemples
- Lancer d’une pièce de monnaie :
–A: pile
–¯ A:face
–p q 1
2
- Suite de lancers de dé :
–A1 6
–¯ A2345
–p1
3et q2 3
4

- Croisement d’hétérozygotes Bb. L’issu du croisement est un phénotype B(évè-
nement A) ou b(évènement contraire ¯ A) :
–A BB Bb bB
–¯ A b b
–p3
4et q1 4
Caractéristiques de la loi de Bernoulli
- Loi de probabilité :
P X 1p
P X 0q1p
- Moyenne :
mXE X n
∑
i1pixi
p1q0p
- Variance :
vXE X mX2E X2E X 2
n
∑
i1pix2
im2 X
p p2
p1q
pq
5.3 Loi Binomiale
Définition 3 Considérons un schéma de Bernoulli de probabilité p. Le nombre de suc-
cès au cours d’une série de n épreuves est une variable aléatoire X. La loi de probabi-
lité de cette variable aléatoire est par définition la loi binomiale B 0n p .
Exemples
- Nombre de pile lors de nlancers d’une pièce de monnaie
- Nombre de 6 obtenu lors de nlancers successifs d’un dé
- Nombre d’individu obtenus de phénotype Bparmi les ndescendants d’un croi-
sement Bb Bb
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