L`équation intégrale de la conservation de quantité de mouvement

Universit´e se Caen-Basse Normandie
UFR des Sciences 2009 - 2010
Master 1 IMM mention Ing´enierie M´ecanique (M1)
Dynamique des Fluides r´eels : Td1 - Rappel
´
Equation int´egrale de la conservation de quantit´e de mouvement,
´
Equation de Bernoulli, ´ Equation d’´energie et Perte de charge
L’´equation int´egrale de la conservation de quantit´e de mouvement
(S)
(V)
dS
−→
n−→
v
•(V) : volume de contrˆole
fixe
•(S) : surface de contrˆole
•−→ n: vecteur normal
ext´erieur `a S
•−→ v: vitesse du fluide
•
−→
−→
σ: tenseur de contraintes.
•ρ−→ vdV: quantit´e de mouvement d’un ´el´ement du volume
dV
• −ρ−→ v(−→ v·−→ n)dS: force exerc´ee par un flux massique
ρ(−→ v·−→ n)dSentrant le volume de contrˆole `a travers dS
•−→ σ=
−→
−→
σ·−→ n: Force surfacique s’exer¸cant sur un ´el´ement
de surface dS
•ρ−→ fdV: force `a distantce s’exer¸cant sur un ´el´ement de
volume
Le principe fondamental de la dynamique appliqu´e `a V:
D
DtZZZ
(V)
ρ−→ vdV
|{z }
taux de varitaion de la
quantit´e de mouvement
=ZZ
(S)
−ρ−→ v(−→ v·−→ n)dS
|{z }
force engendr´ee parle flux de
la quantit´e de mouvement
+ZZZ
(V)
ρ−→ fdV
|{z }
force du volume
+ZZ
(S)
−→
−→
σ·−→ ndS
|{z }
force de surface
D’o`u on tire D
DtZZZ
(V)
ρ−→ vdV+ZZ
(S)
ρ−→ v(−→ n·−→ v)dS=ZZZ
(V)
ρ−→ fdV+ZZ
(S)
−→
σdS
1

´
Equation de Bernoulli
Pour un ´ecoulement permanent et incompressible l’´equation de Bernoulli affirme que la quantit´e
1
2v2+gz +p ρ= Cte. = C
reste constante le long d’une ligne de courant.
Perte de charge
Il est commode et utile d’appeler la constante au deuxi`eme membre charge; elle s’exprime sous la
forme d’une hauteur de la colonne du liquide :
h=C
g.(1)
Alors que l’´equation de Bernoulli a ´et´e d´emontr´ee pour un fluide parfait, les fluides r´eels sont
visqueux et l’´ecoulements non uniformes. Par cons´equent, pour l’´ecoulement dans une conduite
on utilise la vitesse moyenne Ucalcul´e `a partir de d´ebit volumique Qdivis´e par la section S:
U=Q/S.
De plus, dans un ´ecoulement permanent le fluide perd d’´energie pour vaincre les forces de
frottement interne (viscosit´e/turbulence) ce qui conduit `a une chute de pression appel´ee perte de
charge. Il est commode d’appeler la perte de charge li´ee `a la longueur, la rugosit´e de la conduite
et la viscosit´e, perte de charge ”lin´eaire” (ou ”lin´eique”) ou r´eguli`ere hr. Quand les pertes de
charge sont dues aux formes g´eom´etriques de canalisation (coude, t´es, ´elargissement ou contraction
brusque, cˆones, joints, clapets, passage `a travers une grille, vanne, robinet, ...) on parle alors de
perte de charge singuli`ere,hs.
Lignes de charges : repr´esentation graphique
Pour interpr´eter graphiquement l’´equation de Bernoulli on note d’abord que p∗=p+ρg repr´esente
l’´energie potentielle par unit´e de volume dans le champs de pesanteur, g, en presence de la pression
p; il s’agit de la charge obtenue au repos. C’est pourquoi on appelle p∗/ρg charge pi´ezometrique
ou ligne pi´ezometrique en lequel p/(ρg) repr´esente la charge due `a la pression et zla charge
potentielle.
2

h
p1/ρ
p2/ρ
p/ρ
v2/2g
v2
1/2gv2
2/2g
plan de charge; ligne de charge totale
plan de r´ef´erence
ligne moyenne
ligne pi´ezometrique
Canalisation
z
z1
z2
Figure 1: Repr´esantation graphique de charge d’un ´ecoulement dans une conduite.
z1
z2
v2
v1
p1/ρ
p2/ρ
v2
1/2g
v2
2/2g
plane de charge
lignes de courant
fluide parfait
fluide r´eel
z
x
hr+hs
Figure 2: Repr´esantation graphique de charge d’un ´ecoulement `a surface libre.
3

L’´equation de l’´energie
−→
n−→
v
dS
Surface de contrˆole, S, d´elimitant le volume de contrˆole V
Figure 3: Volume de contrˆole V C d´elimit´e par la surface de contrˆole SC.
dans Une des cons´equences du premi`ere principe de la thermodynamique est l’affirmation que
pour un syst`eme en mouvement, (une masse de fluide) :
dQ+ dW= dE(2)
o`u dQest la chaleur re¸cue par un syst`eme thermodynamique, dWle travail effectu´e sur le syst`eme
(d’o`u le signe positif) et dEest le changement de l’´energie totale du syst`eme en mouvement, soit
Esyst`em =Zsyst`eme
edm=Zsyst`eme
e ρ dV(3)
o`u e=E/m est l’´energie massique, donn´ee par
e=1
2v2
|{z}
´
Energie cin´etique
+u
|{z}
´
Energie interne
+gz
|{z}
´
Energie potentielle
(4)
o`u uest l’´energie interne du syst`eme par unit´e de masse.
Le travail re¸cu/fait par le syst`eme est constitu´e de travail fait par la force de pression dWp=
−pdVet de travail m´ecanique dWm, o`u Vest le volume du syst`eme.
La chaleur dQapport´ee au fluide est seulement importante dans les ´ecoulements avec transfert
thermique.
Copmte tenu du fait que le fluide est en mouvement, on ´ecrit :
dQ
dt+dW dt=dE dt(5)
4

`
A partir de cette ´equation on peut montrer que pour un ´ecoulement dans un tube de courant,
˙
Q+˙ Wm+˙ Wp=∂
∂t ZV C
(u+gz +1
2v2)ρdV+
ZSC
(u+gz +1
2v2)ρ−→
v−→ ndS(6a)
˙
Q+˙ Wm−ZSC
p−→ v·−→ ndS=∂
∂t ZV C
(u+gz +1
2v2)ρdV+
ZSC
(u+gz +1
2v2)ρ−→
v−→ ndS(6b)
˙
Q+˙ Wm=∂
∂t ZV C
(u+gz +1
2v2)ρdV+
ZSC
(u+gz +p
ρ+1 2v2)ρ−→
v·−→ ndS(6c)
D’o`u
˙
Q+˙ Wm=∂
∂t ZV C
(u+gz +1
2v2)ρdV+
ZSC
(h+gz +1
2v2)ρ−→
v·−→ ndS(6d)
o`u V C d´esigne le volume de cˆontrole d´elimatant le syst`eme (le fluide dans le tube de courant), et
SC est la surface de contrˆole corr´espondant, h=u+p/ρ est l’enthalpie massique du fluide.
Si l’´ecoulement est permanent et uniforme dans le tube de courant, cette ´equation se simplifie
`a
˙
Q+˙ Wm= (ρvS)2h+gz +1
2v22
−(ρvS)1h+gz +1
2v21
(7)
o`u,ici , Srepr´esente la section du tube de courant.
Or, de l’´equation de continuit´e (ρvS)1= (ρvS)2= ˙m.
Ainsi, en fonction de valeurs intensives q=˙ Q/ ˙m,wm=˙ Wm/˙m, l’´equation (7) s’´ecrit sous la
forme h+gz +1
2v21
=h+gz +1
2v22
−q−wm(8)
Relation entre l’´equation de Bernoulli et la conservation d’´energie
L’´equation (8) peut s’´ecrire sous la forme
p
ρ+gz +1 2v21
=p
ρ+gz +1 2v22
−q+ (u2−u1)−wm(9)
Il est imm´ediat que cette ´equation est reli´ee `a l’´equation de Bernoulli en l’absence de trans-
fert thermique et de changement d’´energie interne. Le terme en parenth`ese au premier membre
repr´esente la charge disponible ou charge totale dont une partie est dissip´ee pour vaincre les force
de frottement. C’est pourquoi on appelle cette derni`ere perte de charge. Notons aussi que 1◦) les
5