L G L G Juin 2013 MECA0025-1 - M ÉCANIQUE E XAMEN DES FLUIDES Prof. Éric J.M.DELHEZ Durée de l’épreuve : 4 heures. Répondez aux différentes questions sur des feuilles séparées. Indiquez sur chacune de vos feuilles vos nom et prénom. Les formulaires officiels et les tables NACA peuvent être consultés. Question I L’équation de bilan de l’énergie cinétique peut s’écrire sous la forme D 1 2 kuk = ρu · f + ∇ · (u · τ) + p(∇ · u) − φ ρ Dt 2 i. Précisez la signification des symboles ρ, u, f, τ, p et φ apparaissant dans cette équation. ii. Interprétez chacun des cinq termes de l’équation. iii. Expliquez comment cette équation peut être obtenue à partir de l’équation de bilan de la quantité de mouvement. iv. Que devient cette équation dans le cas d’un fluide non-visqueux et incompressible en écoulement stationnaire ? Question II En tenant compte de la tension superficielle, la relation de dispersion des ondes de gravité s’écrit s g σk c= + th kH k ρ i. Précisez la signification des symboles c, k, σ et H apparaissant dans cette expression. ii. Explicitez les hypothèses utilisées pour obtenir cette relation de dispersion. iii. Discutez la relation de dispersion en identifiant en particulier les différents régimes et l’influence de la tension superficielle. iv. Calculez la vitesse de groupe. Que représente cette vitesse ? v. Les ondes sont-elles dispersives ou non ? Expliquez. Question III Définissez aussi complètement que possible les notions suivantes : i. fluide Newtonien généralisé pseudoplastique ; ii. effet Marangoni ; iii. régime de Stokes ; iv. température totale ; v. microéchelle de Kolmogorov. Question IV On considère le dispositif de pompage par entraı̂nement représenté ci-dessous. Un tapis roulant se déplaçant à une vitesse w constante entraı̂ne un liquide du réservoir inférieur au réservoir supérieur. b Réservoir supérieur Segment étudié Étudiez l’écoulement entre les deux réservoirs en supposant l’écoulement laminaire, bidimensionnel, stationnaire avec un profil de vitesse établi. Le fluide est Newtonien, incompressible et de viscosité cinématique ν constante. L’épaisseur e de la lame de fluide entre le tapis roulant et la paroi verticale est constante. On note ℓ la largeur du dispositif (dans la direction y) et H la hauteur du segment étudié. La pression atmosphérique règne aux deux extrémités de ce segment. e W H b i. Déterminez la distribution de la vitesse au sein de la lame de fluide entre le tapis roulant et la plaque verticale. z Réservoir inférieur x ii. Calculez le débit volumique entraı̂né par le dispositif et déterminez la condition sur le paramètre ge2 adimensionnel N = pour que le système agisse effectivement comme une pompe. 2νW iii. Déterminez la puissance à fournir pour assurer le mouvement du tapis roulant à la vitesse W . iv. Calculez la puissance dissipée par les effets visqueux. v. Calculez le rendement η de ce système, i.e. le rapport entre l’énergie fournie au fluide et la puissance fournie au système. Question V On considère un écoulement dans la tuyère représentée cicontre. L’écoulement est alimenté par une flux d’air sec provenant d’un réservoir de grandes dimensions où la température T0 = 300 K et la pression p0 = 3 bar sont constantes. La section droite est de 0.1 m2 au col de la tuyère et de 0.5 m2 à la sortie. On note ps la pression au niveau de la section de sortie de la tuyère. 3 bar 0.1 m2 0.5 m2 ps 300 K i. Déterminez le débit massique maximum pouvant s’écouler dans cette tuyère. ii. Si un choc droit est observé dans la partie divergente de la tuyère à un endroit où la section droite est de 0.2 m2 , que vaut la pression à la sortie ? iii. Déterminez la valeur maximale de ps compatible avec le fait que l’écoulement soit supersonique (M > 1) en un point au moins de la tuyère. Prenez γ = 1.4, R = 287 m2 /(s2 K), c p = 1005 m2 /(s2 K), cv = 718 m2 /(s2 K). Faites l’hypothèse d’un écoulement stationnaire unidimensionnel. Négligez le frottement et supposez que les dimensions du réservoir amont sont telles que la vitesse peut y être considérée comme nulle à tout instant. Si vous devez lire des informations dans les tables, n’effectuez aucune interpolation mais utilisez systématiquement la valeur la plus proche. S OLUTIONS DES APPLICATIONS Question IV b Segment étudié Réservoir supérieur e ez W H ex b Réservoir inférieur De l’énoncé découlent les simplifications suivantes. i. Écoulement bi-dimensionnel ⇒ u = uex + wez et ∂y · = 0 ; ii. Régime établi ⇒ ∂t · = 0 ; iii. Fluide incompressible : la densité est considérée constante ⇒ ρ = const ; iv. Pression atmosphérique aux extrémités : gradient de pression nul selon z ⇒ ∂z p = 0 ; v. Profil de vitesse établi ⇒ ∂z u = 0 ; vi. Gravité comme seule force volumique ⇒ f = −ρgez . i. Déterminez la distribution de la vitesse au sein de la lame de fluide entre le tapis roulant et la plaque verticale. On cherche à déterminer les deux composantes de la vitesse. Pour cela, on utilise la continuité et l’équation de bilan de la quantité de mouvement selon z. En appliquant les simplifications découlant de l’énoncé, la continuité s’écrit : ∂x u = 0. En intégrant et en appliquant la condition aux limites u (x = 0) = 0, il apparaı̂t que la vitesse selon x est nulle en tout point. Toujours après simplifications, l’équation de quantité de mouvement selon z s’écrit, 0 = −g + ν ∂2xx w. En intégrant deux fois, on obtient une équation pour la vitesse pour laquelle deux constantes d’intégration doivent être déterminées, w (x) = gx2 + Ax + B. 2ν Les deux conditions aux limites utilisées sont w (x = 0) = 0 et w (x = −e) = W . Elles permettent ge W − et B = 0, et la vitesse s’écrit, de déterminer A = 2ν e ge W gx2 + − x. w (x) = 2ν 2ν e Le champ de vitesse est ainsi entièrement connu. 3 ii. Calculez le débit volumique entraı̂né par le dispositif et déterminez la condition sur le paramètre ge2 pour que le système agisse effectivement comme une pompe. adimensionnel N = 2νW Le débit volumique est donné par Dv = ZZ =ℓ u · n dA. A Z 0 −e W ℓe ge3 ℓ − . 2 12ν w (x) dx = où ℓ désigne la largeur du dispositif. Pour que le système agisse comme une pompe, le débit doit être positif, i.e. W ℓe ge3 ℓ − > 0, 2 12ν ce qui revient à imposer ge2 < 3. 2νW iii. Déterminez la puissance à fournir pour assurer le mouvement du tapis roulant à la vitesse W . N= Pour que le tapis conserve une vitesse constante, il faut lui appliquer une force F ap ez équivalente en intensité et opposée en direction à la force due aux tensions visqueuses, soit F ap = −Hℓ τxz i x=−e ′ = −µHℓw (−e) ge W = µHℓ + 2ν e La puissance à fournir est alors donnée par P ap ap = F W = µHℓW ge W + 2ν e iv. Calculez la puissance dissipée par les effets visqueux. La puissance dissipée par les effets visqueux s’écrit P visq == lH Z 0 −e Φ (x) dx. Il est donc nécessaire de calculer Φ (x). En appliquant les simplifications découlant de l’énoncé, il vient successivement Φ (x) = µ [∂x w (x)]2 gx ge W 2 =µ + − ν 2ν e " # ge W 2 2gx ge W g2 x2 + − − + =µ ν2 2ν e ν 2ν e Dès lors, la puissance dissipée par les effets visqueux s’écrit P visq = lH Z 0 −e Φ (x) dx #0 g2 x3 gx2 ge W ge W 2 = µlH − − + +x 3ν2 ν 2ν e 2ν e −e 2 3 2 W g e + = µlH 2 12ν e " 4 v. Calculez le rendement η de ce système, i.e. le rapport entre la puissance fournie au fluide et la puissance fournie au système. Le rendement η est le rapport entre la puissance fournie au fluide P fluide et la puissance totale fournie au système pour le faire fonctionner, i.e. P ap . La puissance fournie au fluide correspond à l’augmentation de l’énergie potentielle par élévation du fluide d’une hauteur H. Puisqu’une masse équivalent à ρDv est élevée d’une hauteur H à chaque seconde, il vient P fluide = ρDv gH Weg g2 e3 − = µHl 2ν 12ν2 . Ce résultat peut également être obtenu en remarquant que la puissance fournie au fluide est égale à la différence entre la puissance totale fournie au système et la puissance dissipée par les effets visqueux, i.e. P fluide = P ap − P visq Finalement, le rendement est donné par Weg g2 e3 ge2 − µHl 1 − fluide 2 P 2ν 12ν 6νW = = η= 2νW ge W P ap 1+ 2 + µHℓW e g 2ν e N (3 − N) = 3 (N + 1) . Question IV 3 bar 0.5 m2 0.1 m2 ps 300 K i. Déterminez le débit massique maximum pouvant s’écouler dans cette tuyère. Le débit massique maximal Dmax m est atteint lorsque le col est sonique. On a alors Mc = 1 et r p pc p γ ⋆ max γRTc = Ac p Dm = Ac ρc ac = Ac ρc γRTc = Ac . RTc RT ⋆ où p⋆ et T ⋆ sont les grandeurs soniques, c’est-à-dire respectivement la pression et la température au col lorsque Mc = 1. Pour cela, on utilise la pression et la température totales. Celles-ci sont équivalentes aux valeurs dans le réservoir puisque l’air y est au repos et qu’aucun choc ne vient modifier la pression totale. On a dès lors ⋆ p ⋆ p = p0 p0 ⋆ T T ⋆ = T0 T0 5 Les rapports (p⋆ /p0 ) et (T ⋆ /T0 ) correspondent aux rapports p/pt et T /Tt apparaissant dans les tables pour M = 1 et valent respectivement 0.5283 et 0.8333. Il vient alors finalement Dmax m = 70.011 kg/s. ii. Si un choc droit est observé dans la partie divergente de la tuyère à un endroit où la section droite est de 0.2 m2 , que vaut la pression à la sortie ? Pour calculer la pression à la sortie, on va rechercher le rapport entre la section de sortie As et la section sonique à la sortie A⋆2 dans les tables. Cette dernière est indicée 2 car la présence du choc modifie la valeur de la section sonique. La section sonique indicée 1 est la section du col (A⋆1 = Ac ) car pour que le choc se produise, l’écoulement doit être supersonique après le col et donc sonique en Ac . Pour déterminer A⋆2 , on utilise la conservation du produit A⋆ pt au travers d’un choc. On a donc A⋆2 = A⋆1 pt,1 pt,1 = Ac . pt,2 pt,2 Le rapport pt,1 /pt,2 est trouvé en utilisant la partie supersonique des tables. En effet, on sait que le choc se produit en un endroit où la section est Achoc = 0.2 m2 . Juste avant le choc, on a donc A Achoc Achoc = ⋆ = = 2. ⋆ A A1 Ac Ce rapport est déterminé pour un nombre de Mach M = 2.2 et est associé à pt,2 /pt,1 = 0.6281. La section sonique après le choc vaut alors A⋆2 = 0.1592 et le rapport As /A⋆2 vaut 3.1405. La pression statique peut alors être déterminée. En effet, ps = ps pt,2 pt,1 , pt,2 pt,1 où la pression pt,1 est égale à la pression dans le réservoir, le rapport pt,2 /pt,1 est connu et le rapport ps /pt,2 est déterminé en utilisant As /A⋆2 . En effet, au niveau de M = 0.19, on trouve un rapport de sections correspondant qui est associé à un rapport de pressions p/pt = 0.9751. Finalement, on trouve ps = 1.8374 bar. iii. Déterminez la valeur maximale de ps compatible avec le fait que l’écoulement soit supersonique (M > 1) en un point au moins de la tuyère. Pour déterminer cette valeur, il faut se souvenir que si l’écoulement est supersonique dans le divergent, la pression statique à la sortie augment si un choc est présent, et ce d’autant plus que le choc à lieu tôt dans le divergent. On va donc considérer ici le cas limite où on a un choc après une faible augmentation de la vitesse dans le divergent, soit pour un nombre de Mach M = 1.01. Ensuite, le raisonnement est analogue à celui de la question précédente. Le rapport des sections Achoc /A⋆1 , soit celui juste avant le choc est déterminé en utilisant les tables pour M = 1.01 et vaut 1. Le rapport pt,2 /pt,1 associé est lui aussi unitaire. Il vient donc A⋆2 = Ac = 0.1 et As /A⋆2 = 5. Dans la partie subsonique des tables, on trouve un tel rapport de sections pour M = 0.12 auquel est associé le rapport de pressions p/pt = 0.99. La pression totale avant le choc valant p0 , il vient alors ps pt,2 p0 = 2.97 bar. ps = pt,2 pt,1 6