Juin 2013

LG
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Prof. ´ Eric J.M.DELHEZ
MECA0025-1 - M ´ ECANIQUE DES FLUIDES
EXAMEN
Juin 2013
Dur´ ee de l’´ epreuve : 4 heures.
R´ epondez aux diff´ erentes questions sur des feuilles s´ epar´ ees.
Indiquez sur chacune de vos feuilles vos nom et pr´ enom.
Les formulaires officiels et les tables NACA peuvent ˆ etre consult´ es.
Question I
L’´equation de bilan de l’´energie cin´etique peut s’´ecrire sous la forme
ρD
Dt 1 2kuk2=ρu·f+∇·(u·τ) + p(∇·u)−φ
i. Pr´ecisez la signification des symboles ρ,u,f,τ,pet φapparaissant dans cette ´equation.
ii. Interpr´etez chacun des cinq termes de l’´equation.
iii. Expliquez comment cette ´equation peut ˆetre obtenue `a partir de l’´equation de bilan de la quan-
tit´e de mouvement.
iv. Que devient cette ´equation dans le cas d’un fluide non-visqueux et incompressible en ´ecoulement
stationnaire ?
Question II
En tenant compte de la tension superficielle, la relation de dispersion des ondes de gravit´e s’´ecrit
c=sg
k+σk ρth kH
i. Pr´ecisez la signification des symboles c,k,σet Happaraissant dans cette expression.
ii. Explicitez les hypoth`eses utilis´ees pour obtenir cette relation de dispersion.
iii. Discutez la relation de dispersion en identifiant en particulier les diff´erents r´egimes et l’in-
fluence de la tension superficielle.
iv. Calculez la vitesse de groupe. Que repr´esente cette vitesse ?
v. Les ondes sont-elles dispersives ou non ? Expliquez.
Question III
D´efinissez aussi compl`etement que possible les notions suivantes :
i. fluide Newtonien g´en´eralis´e pseudoplastique ;
ii. effet Marangoni ;
iii. r´egime de Stokes ;
iv. temp´erature totale ;
v. micro´echelle de Kolmogorov.

Question IV
On consid`ere le dispositif de pompage par entraˆınement repr´esent´e ci-dessous. Un tapis roulant se
d´eplac¸ant `a une vitesse wconstante entraˆıne un liquide du r´eservoir inf´erieur au r´eservoir sup´erieur.
´
Etudiez l’´ecoulement entre les deux r´eservoirs en suppo-
sant l’´ecoulement laminaire, bidimensionnel, stationnaire
avec un profil de vitesse ´etabli. Le fluide est Newtonien,
incompressible et de viscosit´e cin´ematique νconstante.
L’´epaisseur ede la lame de fluide entre le tapis roulant et la
paroi verticale est constante. On note ℓla largeur du dispo-
sitif (dans la direction y) et Hla hauteur du segment ´etudi´e.
La pression atmosph´erique r`egne aux deux extr´emit´es de
ce segment.
i. D´eterminez la distribution de la vitesse au sein de
la lame de fluide entre le tapis roulant et la plaque
verticale.
W
R´eservoir inf´erieur
R´eservoir sup´erieur
x
z
e
H
Segment ´etudi´e
ii. Calculez le d´ebit volumique entraˆın´e par le dispositif et d´eterminez la condition sur le param`etre
adimensionnel N=ge2
2νWpour que le syst`eme agisse effectivement comme une pompe.
iii. D´eterminez la puissance `a fournir pour assurer le mouvement du tapis roulant `a la vitesse W.
iv. Calculez la puissance dissip´ee par les effets visqueux.
v. Calculez le rendement ηde ce syst`eme, i.e. le rapport entre l’´energie fournie au fluide et la
puissance fournie au syst`eme.
Question V
On consid`ere un ´ecoulement dans la tuy`ere repr´esent´ee ci-
contre.
L’´ecoulement est aliment´e par une flux d’air sec provenant
d’un r´eservoir de grandes dimensions o`u la temp´erature
T0=300 Ket la pression p0=3bar sont constantes.
La section droite est de 0.1m2au col de la tuy`ere et de
0.5m2`a la sortie. On note psla pression au niveau de la
section de sortie de la tuy`ere.
3 bar
300 K
0.1 m2
0.5 m2
ps
i. D´eterminez le d´ebit massique maximum pouvant s’´ecouler dans cette tuy`ere.
ii. Si un choc droit est observ´e dans la partie divergente de la tuy`ere `a un endroit o`u la section
droite est de 0.2m2, que vaut la pression `a la sortie ?
iii. D´eterminez la valeur maximale de pscompatible avec le fait que l’´ecoulement soit superso-
nique (M>1) en un point au moins de la tuy`ere.
Prenez γ=1.4, R=287 m2/(s2K), cp=1005 m2/(s2K), cv=718 m2/(s2K). Faites l’hypoth`ese
d’un ´ecoulement stationnaire unidimensionnel. N´egligez le frottement et supposez que les dimensions
du r´eservoir amont sont telles que la vitesse peut y ˆetre consid´er´ee comme nulle `a tout instant.
Si vous devez lire des informations dans les tables, n’effectuez aucune interpolation mais utilisez
syst´ ematiquement la valeur la plus proche.

SOLUTIONS DES APPLICATIONS
Question IV
W
R´eservoir inf´erieur
R´eservoir sup´erieur
e
H
Segment ´etudi´e
ex
ez
De l’´enonc´e d´ecoulent les simplifications suivantes.
i. ´ Ecoulement bi-dimensionnel ⇒u=uex+wezet ∂y·=0 ;
ii. R´egime ´etabli ⇒∂t·=0 ;
iii. Fluide incompressible : la densit´e est consid´er´ee constante ⇒ρ=const ;
iv. Pression atmosph´erique aux extr´emit´es : gradient de pression nul selon z⇒∂zp=0 ;
v. Profil de vitesse ´etabli ⇒∂zu=0 ;
vi. Gravit´e comme seule force volumique ⇒f=−ρgez.
i. D´ eterminez la distribution de la vitesse au sein de la lame de fluide entre le tapis roulant et la
plaque verticale.
On cherche `a d´eterminer les deux composantes de la vitesse. Pour cela, on utilise la continuit´e et
l’´equation de bilan de la quantit´e de mouvement selon z.
En appliquant les simplifications d´ecoulant de l’´enonc´e, la continuit´e s’´ecrit :
∂xu=0.
En int´egrant et en appliquant la condition aux limites u(x=0) = 0, il apparaˆıt que la vitesse
selon xest nulle en tout point.
Toujours apr`es simplifications, l’´equation de quantit´e de mouvement selon z s’´ecrit,
0=−g+ν ∂2
xxw.
En int´egrant deux fois, on obtient une ´equation pour la vitesse pour laquelle deux constantes
d’int´egration doivent ˆetre d´etermin´ees,
w(x) = gx2
2ν+Ax +B.
Les deux conditions aux limites utilis´ees sont w(x=0) = 0 et w(x=−e) = W. Elles permettent
de d´eterminer A=ge
2ν−W eet B=0, et la vitesse s’´ecrit,
w(x) = gx2
2ν+ge 2ν−W ex.
Le champ de vitesse est ainsi enti`erement connu.
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ii. Calculez le d´ ebit volumique entraˆ ın´ e par le dispositif et d´ eterminez la condition sur le param` etre
adimensionnel N =ge2
2νWpour que le syst`
eme agisse effectivement comme une pompe.
Le d´ebit volumique est donn´e par
Dv=ZZA
u·ndA.
=ℓZ0
−e
w(x)dx=Wℓe
2−ge3ℓ 12ν.
o`u ℓd´esigne la largeur du dispositif.
Pour que le syst`eme agisse comme une pompe, le d´ebit doit ˆetre positif, i.e.
Wℓe
2−ge3ℓ 12ν>0,
ce qui revient `a imposer
N=ge2
2νW<3.
iii. D´ eterminez la puissance ` a fournir pour assurer le mouvement du tapis roulant ` a la vitesse W .
Pour que le tapis conserve une vitesse constante, il faut lui appliquer une force Fapez´equivalente
en intensit´e et oppos´ee en direction `a la force due aux tensions visqueuses, soit
Fap =−Hℓτxzix=−e
=−µHℓw′(−e)
=µHℓge
2ν+W e
La puissance `a fournir est alors donn´ee par
Pap =FapW=µHℓWge
2ν+W e
iv. Calculez la puissance dissip´ ee par les effets visqueux.
La puissance dissip´ee par les effets visqueux s’´ecrit
Pvisq == lH Z0
−e
Φ(x)dx.
Il est donc n´ecessaire de calculer Φ(x). En appliquant les simplifications d´ecoulant de l’´enonc´e,
il vient successivement
Φ(x) = µ[∂xw(x)]2
=µgx
ν+ge 2ν−W e2
=µ"g2x2
ν2+ge 2ν−W e2
+2gx
νge 2ν−W e#
D`es lors, la puissance dissip´ee par les effets visqueux s’´ecrit
Pvisq =lH Z0
−e
Φ(x)dx
=µlH "g2x3
3ν2+gx2 νge 2ν−W e+xge 2ν−W e2#0
−e
=µlH g2e3
12ν2+W2 e
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v. Calculez le rendement ηde ce syst` eme, i.e. le rapport entre la puissance fournie au fluide et la
puissance fournie au syst` eme.
Le rendement ηest le rapport entre la puissance fournie au fluide Pfluide et la puissance totale
fournie au syst`eme pour le faire fonctionner, i.e. Pap.
La puissance fournie au fluide correspond `a l’augmentation de l’´energie potentielle par ´el´evation
du fluide d’une hauteur H. Puisqu’une masse ´equivalent `a ρDvest ´elev´ee d’une hauteur H`a
chaque seconde, il vient
Pfluide =ρDvgH
=µHl Weg
2ν−g2e3 12ν2.
Ce r´esultat peut ´egalement ˆetre obtenu en remarquant que la puissance fournie au fluide est ´egale
`a la diff´erence entre la puissance totale fournie au syst`eme et la puissance dissip´ee par les effets
visqueux, i.e.
Pfluide =Pap −Pvisq
Finalement, le rendement est donn´e par
η=Pfluide
Pap =
µHl Weg
2ν−g2e3 12ν2
µHℓWge
2ν+W e=
1−ge2
6νW
1+2νW
e2g
=N(3−N)
3(N+1).
Question IV
3 bar
300 K
0.1 m2
0.5 m2
ps
i. D´ eterminez le d´ ebit massique maximum pouvant s’´ ecouler dans cette tuy` ere.
Le d´ebit massique maximal Dmax
mest atteint lorsque le col est sonique. On a alors Mc=1 et
Dmax
m=Acρcac=AcρcpγRTc=Ac
pc
RTcpγRTc=Acp⋆rγ RT ⋆.
o`u p⋆et T⋆sont les grandeurs soniques, c’est-`a-dire respectivement la pression et la temp´erature
au col lorsque Mc=1. Pour cela, on utilise la pression et la temp´erature totales. Celles-ci sont
´equivalentes aux valeurs dans le r´eservoir puisque l’air y est au repos et qu’aucun choc ne vient
modifier la pression totale. On a d`es lors
p⋆=p0p⋆
p0
T⋆=T0T⋆
T0
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