Cours Terminale S3 Nombres complexes 3 : forme trigonométrique d’un nombre complexe 1 Module d’un nombre complexe Définition z est un nombre complexe, z = x + iy (x et y réels). Le module de z est le nombre réel positif noté |z| et défini par p |z| = x2 + y 2 . Interprétation géométrique : Dans le plan complexe, si M a pour affixe z, alors OM = |z|. Remarques – Si z est un nombre réel, le module de z correspond à la valeur absolue de z. – |z| = 0 équivaut à z = 0 car OM = 0 équivaut à O = M . Propriété z z̄ = x2 + y 2 = |z|2 . 2 Ecriture trigonométrique d’un nombre complexe 2.1 Argument d’un nombre complexe Un point M peut être repéré dans le plan muni d’un repère orthonormé direct − − (O; → u,→ v ) de deux façons : – par ses coordonnées cartésiennes x et y ou −−→ − – par ses coordonnées polaires notées r et θ où r = OM et θ = (→ u , OM ) si M est distinct de O. Définition Soit z un nombre complexe non nul et M le point d’affixe z dans le plan muni d’un repère orthonormé direct − − (O; → u,→ v ). −−→ − On appelle argument de z, noté arg(z) , une mesure de l’angle orienté de vecteurs (→ u ; OM ) . Remarques • 0 n’a pas d’argument • Tout point M est repéré dans le plan complexe par son affixe z = x + iy, ou lorsque M est différent de O, par ses coordonnées polaires |z| et arg(z). 2.2 Ecriture trigonométrique Théorème Soit z un nombre complexe non nul d’écriture algébrique z = a + ib et θ un argument de z. Alors : a = |z| cos θ et b = |z| sin θ. On a alors z = |z|(cos θ + i sin θ) . Hervé Gurgey 1 29 septembre 2008 Cours Terminale S3 Définition Soit z un nombre complexe non nul. L’écriture z = |z|(cos θ + i sin θ), où θ désigne un argument de z est appelée écriture trigonométrique ou forme trigonométrique de z. Remarque Soit z un nombre complexe non nul. – Si on connait une écriture trigonométrique de z, z = r(cos θ + i sin θ) (r > 0), alors on obtient son écriture algébrique a + ib en écrivant : a = r cos θ et b = r sin θ. – Si on connait l’écriture algébrique de z, z = a + ib, alors on obtient son écriture trigonométrique z = r(cos θ + i sin θ) en écrivant : √ a b r = a2 + b2 cos θ = √ sin θ = √ . 2 2 2 a +b a + b2 Exercice 1. On pose z1 = √ 3 + i. Trouver la forme trigonométrique de z1 . π 2. z2 est le complexe de module 3 et d’argument − . Quelle est la forme algébrique de z2 ? 4 Propriété Soit z un nombre complexe. 1. z est un réel non nul si, et seulement si, arg(z) = 0 + kπ (k ∈ Z) . 2. z est un réel strictement positif si, et seulement si, arg(z) = 0 + 2kπ (k ∈ Z) . 3. z est un réel strictement négatif si, et seulement si, arg(z) = π + 2kπ (k ∈ Z) . 4. z est un imaginaire pur si, et seulement si, arg(z) = π + kπ (k ∈ Z) . 2 Egalité de complexes écrits sous forme trigonométrique Si z = r(cos θ + i sin θ) et z 0 = r0 (cos θ0 + i sin θ0 ) sont égaux, alors puisqu’ils sont associés au même point, on a r = r0 et θ = θ0 + 2kπ (k ∈ Z). z = z 0 équivaut à r = r0 et θ = θ0 (mod 2π) Propriété Si z = r(cos θ + i sin θ) avec r > 0, alors |z| = r et arg(z) = θ mod 2π . 3 Propriétés des modules et arguments Propriété |z̄| = |z| arg(z̄) = − arg(z) mod 2π 3.1 | − z| = |z| arg(−z) = π + arg(z) mod 2π Inégalité triangulaire Propriété Pour tous nombres complexes z et z 0 , |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 | . Hervé Gurgey 2 29 septembre 2008 Cours 3.2 Terminale S3 module et argument d’un produit Théorème Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z’ : – |zz 0 | = |z||z 0 | – arg(zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 ) mod 2π Exemple h π π i π π i √ h z = 2 cos + i sin et z 0 = 3 cos − + i sin − . 5 5 4 4 √ π π π |zz 0 | = 2 × 3 et arg(zz 0 ) = − mod 2π = − mod 2π, d’où 5 4 i 20 h π √ π + i sin − . zz 0 = 2 3 cos − 20 20 Conséquences On peut alors démontrer que |z n | = |z|n et arg(z n ) = n arg(z) mod 2π . Formule de Moivre :(ADMISE) Pour tout entier n et tout nombre réel θ, (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ) Exercices √ Donner la forme algébrique du nombre z = (1 − i 3)5 . Module et argument d’un quotient Théorème Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z 0 : z |z| – 0 = 0 z |z | z – arg 0 = arg(z) − arg(z 0 ) mod 2π . z Conséquence 1 1 1 Si z est non nul, = et arg = − arg(z) mod 2π . z |z| z Exercices (1 + i)4 1. Donner la forme trigonométrique du nombre Z = √ . ( 3 + i)3 2. (a) Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes z1 = √ 3 − i, z2 = 1 − i et Z = (b) Ecrire Z sous forme algébrique, en déduire les valeurs exactes de cos Hervé Gurgey 3 z1 . z2 π π et sin . 12 12 29 septembre 2008