Nombres complexes 3 : forme trigonométrique d`un nombre complexe

Cours Terminale S3
Nombres complexes 3 : forme trigonom´etrique d’un nombre complexe
1 Module d’un nombre complexe
D´efinition
zest un nombre complexe, z=x+iy (xet yr´eels).
Le module de zest le nombre r´eel positif not´e |z|et d´efini par
|z|=px2+y2.
Interpr´etation g´eom´etrique :
Dans le plan complexe, si Ma pour affixe z, alors OM =|z|.
Remarques
– Si zest un nombre r´eel, le module de zcorrespond `a la valeur absolue de z.
–|z|= 0 ´equivaut `a z= 0 car OM = 0 ´equivaut `a O=M.
Propri´et´e
z¯z=x2+y2=|z|2.
2 Ecriture trigonom´etrique d’un nombre complexe
2.1 Argument d’un nombre complexe
Un point Mpeut ˆetre rep´er´e dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e direct
(O;−→ u , −→ v) de deux fa¸cons :
– par ses coordonn´ees cart´esiennes xet you
– par ses coordonn´ees polaires not´ees ret θo`u r=OM et θ= (−→ u , −−→ OM)
si Mest distinct de O.
D´efinition
Soit zun nombre complexe non nul et Mle point d’affixe zdans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e direct
(O;−→ u , −→ v).
On appelle argument de z, not´e arg(z) , une mesure de l’angle orient´e de vecteurs (−→ u;−−→ OM) .
Remarques
•0 n’a pas d’argument
•Tout point Mest rep´er´e dans le plan complexe par son affixe z=x+iy, ou lorsque Mest diff´erent de O, par
ses coordonn´ees polaires |z|et arg(z).
2.2 Ecriture trigonom´etrique
Th´eor`eme
Soit zun nombre complexe non nul d’´ecriture alg´ebrique z=a+ib et θun
argument de z.
Alors : a=|z|cos θet b=|z|sin θ.
On a alors z=|z|(cos θ+isin θ) .
Herv´e Gurgey 129 septembre 2008

Cours Terminale S3
D´efinition
Soit zun nombre complexe non nul.
L’´ecriture z=|z|(cos θ+isin θ), o`u θd´esigne un argument de zest appel´ee ´ecriture trigonom´etrique ou forme
trigonom´etrique de z.
Remarque
Soit zun nombre complexe non nul.
– Si on connait une ´ecriture trigonom´etrique de z,z=r(cos θ+isin θ) (r > 0), alors on obtient son ´ecriture
alg´ebrique a+ib en ´ecrivant :
a=rcos θet b=rsin θ.
– Si on connait l’´ecriture alg´ebrique de z,z=a+ib, alors on obtient son ´ecriture trigonom´etrique
z=r(cos θ+isin θ) en ´ecrivant :
r=√a2+b2cos θ=a
√a2+b2sin θ=b √a2+b2.
Exercice
1. On pose z1=√3 + i. Trouver la forme trigonom´etrique de z1.
2. z2est le complexe de module 3 et d’argument −π
4. Quelle est la forme alg´ebrique de z2?
Propri´et´e
Soit zun nombre complexe.
1. zest un r´eel non nul si, et seulement si, arg(z) = 0 + kπ (k∈Z) .
2. zest un r´eel strictement positif si, et seulement si, arg(z) = 0 + 2kπ (k∈Z) .
3. zest un r´eel strictement n´egatif si, et seulement si, arg(z) = π+ 2kπ (k∈Z) .
4. zest un imaginaire pur si, et seulement si, arg(z) = π
2+kπ (k∈Z) .
Egalit´e de complexes ´ecrits sous forme trigonom´etrique
Si z=r(cos θ+isin θ) et z0=r0(cos θ0+isin θ0) sont ´egaux, alors puisqu’ils sont associ´es au mˆeme point, on a
r=r0et θ=θ0+ 2kπ (k∈Z).
z=z0´equivaut `a r=r0et θ=θ0(mod 2π)
Propri´et´e
Si z=r(cos θ+isin θ) avec r > 0, alors |z|=ret arg(z) = θmod 2π.
3 Propri´et´es des modules et arguments
Propri´et´e
|¯z|=|z| | − z|=|z|
arg(¯z) = −arg(z) mod 2πarg(−z) = π+ arg(z) mod 2π
3.1 In´egalit´e triangulaire
Propri´et´e
Pour tous nombres complexes zet z0,|z+z0| ≤ |z|+|z0|.
Herv´e Gurgey 229 septembre 2008

Cours Terminale S3
3.2 module et argument d’un produit
Th´eor`eme
Quels que soient les nombres complexes non nuls zet z’ :
–|zz0|=|z||z0|
– arg(zz0) = arg(z) + arg(z0) mod 2π
Exemple
z= 2 hcos π
5+isin π 5i et z0=√3hcos −π 4+isin −π 4i.
|zz0|= 2 ×√3 et arg(zz0) = π
5−π 4mod 2π=−π 20 mod 2π, d’o`u
zz0= 2√3hcos −π
20+isin −π 20i.
Cons´equences
On peut alors d´emontrer que |zn|=|z|net arg(zn) = narg(z) mod 2π.
Formule de Moivre :(ADMISE) Pour tout entier net tout nombre r´eel θ,
(cos θ+isin θ)n= cos(nθ) + isin(nθ)
Exercices
Donner la forme alg´ebrique du nombre z= (1 −i√3)5.
Module et argument d’un quotient
Th´eor`eme
Quels que soient les nombres complexes non nuls zet z0:
–
z
z0
=|z|
|z0|
– arg z
z0= arg(z)−arg(z0) mod 2π.
Cons´equence
Si zest non nul, 
1
z
=1
|z|et arg 1 z=−arg(z) mod 2π.
Exercices
1. Donner la forme trigonom´etrique du nombre Z=(1 + i)4
(√3 + i)3.
2. (a) Ecrire sous forme trigonom´etrique les nombres complexes z1=√3−i,z2= 1 −iet Z=z1
z2
.
(b) Ecrire Zsous forme alg´ebrique, en d´eduire les valeurs exactes de cos π
12 et sin π 12.
Herv´e Gurgey 329 septembre 2008