Les nombres de Fermat

Problème Nombres premiers TS - Spé Maths
Les nombres de Fermat
En 1640 le mathématicien Pierre de Fermat pensait que tous les nombres Fn= 2(2n)+ 1 étaient premiers (on appelle
ces nombres les nombres de Fermat).
— Vérifiez à l’aide de votre calculatrice que F0, F1, F2, F3et F4sont premiers.
— En 1732, Euler prouve que F5n’est pas premier. On le vérifie facilement aujourd’hui avec un logiciel comme
Xcas. Vérifiez le en entrant f actoriser_entier(225+ 1) ou factor((225+ 1)
— Que pensez-vous de F6?
— Aujourd’hui encore factoriser un nombre de Fermat...est long et compliqué. Sachant que F30 s’écrit avec 108
chiffres et que vous écrivez 5 chiffres par seconde, combien vous faudrait-il de temps pour écrire F30 ?
— Vérifiez que tous les nombres de Fermat sont impairs.
— Démontrez par récurrence que pour tout entier nnon nul
F0F1. . . Fn−1=Fn −2
— Déduire des deux questions précédentes que si dest un diviseur commun à 2 nombres de Fermat alors d= 1
— Sachant que tout entier admet au moins un facteur premier, déduire de ce qui précède une démonstration de
l’infinité des nombres premiers.
LPO de Chirongui Page 1/1