Problème Nombres premiers TS - Spé Maths Les nombres de Fermat n En 1640 le mathématicien Pierre de Fermat pensait que tous les nombres Fn = 2(2 ) + 1 étaient premiers (on appelle ces nombres les nombres de Fermat). — Vérifiez à l’aide de votre calculatrice que F0 , F1 , F2 , F3 et F4 sont premiers. — En 1732, Euler prouve que F5 n’est pas premier. On le vérifie facilement aujourd’hui avec un logiciel comme 5 5 Xcas. Vérifiez le en entrant f actoriser_entier(22 + 1) ou f actor((22 + 1) — Que pensez-vous de F6 ? — Aujourd’hui encore factoriser un nombre de Fermat...est long et compliqué. Sachant que F30 s’écrit avec 108 chiffres et que vous écrivez 5 chiffres par seconde, combien vous faudrait-il de temps pour écrire F30 ? — Vérifiez que tous les nombres de Fermat sont impairs. — Démontrez par récurrence que pour tout entier n non nul F0 F1 . . . Fn−1 = Fn − 2 — Déduire des deux questions précédentes que si d est un diviseur commun à 2 nombres de Fermat alors d = 1 — Sachant que tout entier admet au moins un facteur premier, déduire de ce qui précède une démonstration de l’infinité des nombres premiers. LPO de Chirongui Page 1/1