Exercice 1 : il existe une infinité de nombres premiers.

PCSI
Devoir maison n°7
À remettre le jeudi 19/01/12
Exercice 1 : il existe une infinité de nombres premiers.
n
Dans cet exercice on utilise les nombres de Fermat définis par F n=22 +1, n ∈ℕ , pour montrer qu'il
existe une infinité de nombres premiers.
n1
1-Démontrer la formule :
∏ F k =F n2
, n≥1
k =0
2-En déduire que les nombres de Fermat sont premiers entre eux.
On dit que des entiers sont premiers entre eux si 1 est leurs seul diviseur commun.
3-Déduire des résultats précédents qu'il existe une infinité de nombres premiers.
Le Prince des amateurs : Pierre de Fermat(1601-1665)
Magistrat à la cours de Toulouse, Fermat correspond avec les plus grand mathématiciens du 17 ième
siècle. Il fonde avec Descartes la géométrie analytique, ses travaux sur la recherche des tangentes
laissent entrevoir le calcul différentiel de Newton et Leibniz, et sa correspondance avec Pascal est à
l'origine du calcul des probabilités.
Mais c'est surtout ses résultats et ses conjectures en théorie des nombres qui marqueront l'histoire
des mathématiques. Fermat affirme par exemple que tout nombre premier de la forme 4k+1 est la
somme de deux carrés, et que tout entier est la somme de quatre carrés au plus (résultat qui sera
démontré par Lagrange plus d'un siècle plus tard).
Fermat affirmait que tous les nombres de la forme F n=22 +1, n ∈ℕ étaient premiers. Ce résultat
est vrai jusqu'à n=4. Euler prouva que F5 n'est pas premier. Depuis on ne sait pas s'il existe
d'autres nombres de Fermat premiers.
Le « grand théorème » de Fermat, qui affirme que l'équation « x n +y n=z n » n'a pas de solutions
entières non triviales pour n≥3 , est longtemps resté l'un des plus grand défis pour les
mathématiciens avant d'être démontré par l'anglais Andrew Wiles en 1994.
n
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Exercice 2 : une propriété de la tangente à l'ellipse.
Soit a un réel strictement positif et soient F et F' deux points distincts du plan tels que FF '<2a .
Soit E l'ellipse de foyers F et F' et de demi-axe focal a, l'ensemble des points M du plan tels que:
MF+MF '=2a
Soit : t → M (t ) une paramétrisation de classe C1 de l'ellipse. Pour tout point M(t) de E, on note :
⃗τ (t)=
d ⃗
( M (t) F ) un vecteur directeur de la tangente à (E) en M(t) et on pose :
dt
⃗u ( t )=
1 ⃗
1 ⃗
M (t ) F et ⃗
v ( t )=
M (t ) F '
M(t ) F
M ( t) F '
1- Montrer que :
d ⃗ d ⃗
( M (t) F )= dt ( M (t ) F' ) .
dt
v ( t))⋅⃗τ (t) est nul.
2- Montrer que le produit scalaire ( ⃗u ( t)+ ⃗
3- En déduire que la tangente à (E) en M(t) est une bissectrice du couple de droites
(( M (t ) F) ,(M (t ) F')) .
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Problème : Théorème de Schnirelmann
En théorie additive des nombres, on dit qu'une partie A de ℕ est une base d'ordre h si et seulement
si tout élément de ℕ peut s'écrire comme somme de h éléments de A.
Le théorème de Schnirelmann, établi dans ce problème, donne une condition suffisante simple pour
qu'une partie de ℕ soit une base.
Définitions et notations.
Si A est une partie de ℕ , on pose pour tout n≥1 , Sn (A)=Card (⟦1, n⟧∩A) et on appelle densité
de Schnirelmann de A le réel
Sn (A)
σ(A)=inf
, n≥1 .
n
{
}
Soient A et B deux parties de ℕ , on pose A+B={a +b , a ∈A et b∈B} .
Partie I : Généralités, exemples.
Soit A une partie de ℕ .
1-Justifier la définition de σ(A) .
2-Que vaut σ( A) si 1∉A ?
3-À quelle condition a-t-on σ( A)=1 ?
4-Si A⊂B , comparer σ(A) et σ( B) .
5-Calculer σ( A) pour les parties A suivantes :
(a) A est une partie finie de ℕ .
(b) A est l'ensemble des entiers impairs.
(c) A={k s , k ∈ℕ} est l'ensemble des puissances s-ièmes, où s∈ℕ, s≥2 est fixé.
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Partie II : théorème de Schnirelmann.
6-Soient A et B deux parties de ℕ qui contiennent 0.
a- Soit n∈ℕ, n≥1 . Montrer que Sn (A)+S n (B)≥n , alors n∈ A+B .
b- En déduire que si σ(A)+σ(B)≥1 , alors A+B=ℕ
1
c- Prouver que si σ( A)≥ , alors A est une base d'ordre 2.
2
7-Soient A et B deux parties de ℕ qui contiennent 0, la partie A étant infinie.
On numérote 0=a 0<a 1<a 2<..... la suite croissante des éléments de A.
a- Montrer que ∀n≥1 ,
(∑
S n(A )1
Sn (A+B)≥Sn ( A)+
Sa
i+1
a i 1
i=0
)
(B) +Sna (B)
Sn ( A)
Indication : on pourra remarquer que le plus grand élément de A qui est inférieur ou égal à n est
a S (A ) et considérer le nombre d'éléments de A+B qu'on peut trouver dans chacun des intervalles
] a i , a i+1 [ , 0≤i ≤S n ( a)1 et ] a S ( A) , n [ .
n
n
b-En déduire que σ(A+B)≥σ (A)+σ( B)σ ( A) σ (B) .
c-Cette inégalité reste-elle-vraie si A est finie ?
8-Soient A1, A 2, ... , A p des parties de ℕ contenant 0. Montrer que :
p
1σ ( A1+A2+...+A p )≤∏ (1σ( Ai )) .
i=1
9-Montrer qu'une partie A de ℕ contenant 0 et telle que σ( A)>0 est une base.
*** Fin du sujet ***
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