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Professeur László Forró 8 janvier 2003
Physique Générale III, séance 10
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Exercice 1
Principe de Curie : lorsque certaines causes (distribution de charges, distribution
de courant,…) produisent certains effets (respectivement vecteur champ
électrique E
JG , vecteur champ magnétique B
J
G,…), les éléments de symétrie des
causes doivent se retrouver dans les effets produits.
Application de ce principe à quelques distributions de charges :
1) Invariance par translation le long d’un axe :
Soit un fil infini uniformément chargé, parallèle à l’axe z. La distribution de charges
D (cause) étant invariante par toute translation selon z, le vecteur champ électrique
(effet) qui en résulte sera également invariant par toute translation selon z. C’est
pourquoi il est indépendant de z : E(x,y).
z
x
y
D
M
Figure 1
2) Invariance par rotation autour d’un axe :
Soit un cylindre uniformément chargé, muni d’un repère cylindrique (ρ,θ,z). La
distribution de charge D étant invariante par rotation autour de l’axe z, le champ
électrique résultant est indépendant de θ :
()
(
)
00
θ,E ρ,θ,z =E ρ,θ+θ,z∀ d’où E uniquement fonction de (ρ,z).
ρ
θ
z
O
M
D
Figure 2

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3) Invariance par rotation autour de deux axes :
Soit une sphère uniformément chargée, munie d’un repère sphérique (r,θ,ϕ). La
distribution de charges D étant invariante par toute rotation θ ou ϕ, le champ résultant
ne dépend que de r : E(r).
ϕ
θ
O
M
r
z
x
y
D
Figure 3
4) Invariance par symétrie par rapport à un plan :
Soit une distribution de charges D présentant un plan de symétrie Π. D’après le
principe de Curie, si M’ est le symétrique de M par rapport au plan Π alors E(M')
JG est
le symétrique de E(M)
JG par rapport à Π.
Π
DM
M'
E(M)
E(M')
Tout point M compris dans le plan de symétrie Π est invariant (M=M’). Il en est de
même alors pour le champ électrique : E(M')=E(M)
J
GJG
, on en déduit que E(M)
JG est dans
le plan Π. Le champ électrique en un point d’un plan de symétrie est compris
dans ce plan de symétrie. Les conséquences sont les suivantes :
• Dans le cas de la Figure 1 (distribution linéique infinie), le plan contenant
la droite D et le point M est plan de symétrie. Le plan perpendiculaire à D
passant par M est également plan de symétrie. Le champ électrique E(M)
JG
est à l’intersection de ces 2 plans de symétrie, c’est-à-dire sur la droite
perpendiculaire à D passant par M (direction radiale).

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• Dans le cas de la Figure 2 (distribution cylindrique), le plan passant par M
et contenant l’axe z est plan de symétrie. E(M)
J
G est donc compris dans ce
plan.
• Dans le cas de la Figure 3 (distribution sphérique), tout plan équatorial
passant par M est plan de symétrie. E(M)
J
G est à l’intersection de tous ces
plans, c’est-à-dire sur la direction radiale (OM).
Revenons à l’exercice 1 :
a) Direction : Le plan P1 perpendiculaire à la ligne chargée et passant par O est plan
de symétrie puisque O est au milieu de la ligne. Le plan P2 passant par la ligne
chargée et le point P est aussi plan de symétrie. E
G
se trouve à l’intersection de P1 et
P2, c’est-à-dire sur la droite (OP).
P1
OP
P2
OP
Sens : De O vers P puisque la charge est positive. Pour le vérifier, on peut placer une
charge positive +q en P, qui sera repoussée (même signe) par une force électrique F
G
.
Or F=+qE
GJG
, d’où E
J
G orienté vers l’extérieur.
OP
+q
+
F
b) Amplitude :
2
0
1dq
dE= 4πε r est le champ élémentaire créé par l’élément de charge dq (r étant la
distance entre le point P et l’élément dq).

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OP
x
r
y
dy
θm
θ
L/2
L/2
rm
−θm
Le champ dE
JG est suivant le vecteur r
G
. On sait néanmoins que la somme des dE
JG , le
vecteur E(P)
JG , est suivant la droite (OP). La composante utile de dE
JG est donc la
projection suivant x, c’est-à-dire : x22
00
1dq 1λdy
dE = cos θ=cosθ
4πε r4πε r.
On exprime y et r en fonction de la variable θ, de manière à pouvoir intégrer en θ :
• y=xtanθ d’où 2
xdθ
dy = cos θ
• x
r=cos θ.
On intègre ensuite entre les angles -θm et +θm :
[]
m m
m
m
m m
+θ+θ
2+θ
m
22 -θ
0000
-θ-θ
1λxdθcos θ1λcosθ1λ1λ
E= cosθ=dθ=sinθ=2sinθ
4πε cos θx4πε x4πε x4πε x
∫∫
où m1
22
m2
LL
22
sin θ==
rL
x+4
. On en conclut :
()
11
22
22
00
2
2
L
1λ1λ1
2
EP= 2 = 2
4πε x4πε x
L4x
x+ +1
4L
.
c) Cas limite xL(correspond au cas d’un fil chargé infini) :
x
10
22L
2
11
4x +1
L
→
→
, d’où x00
L
λ
lim E(P) 2πε x
→
=.

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Retrouvons ce résultat avec le théorème de Gauss :
Comme nous l’avons montré précédemment, le champ résultant d’un fil chargé infini
est radial, et son amplitude est indépendante de z : E(r).
z
D
r
OP
n
E
n
E
r
n
E
S2
S1
S3
h
On prend pour surface de Gauss un cylindre entourant le fil (cylindre de rayon r, de
hauteur h).
Le théorème de Gauss s’écrit :
12 3
12 3
SS S
flux de E à travers flux de E à travers flux de E à travers
la surface inférieure la surface latérale la surface supérieure
charge intérieur
EndS EndS EndS⋅+⋅+⋅ =
∫∫ ∫∫ ∫∫
JG JG JG
JG G JG G JG G
www 00
e au cylindre λh
εε
=
Les flux de E
JG à travers les surfaces inférieure S1 et supérieure S3 sont nuls car E n⊥ JG G .
Il ne reste donc plus que le flux à travers la surface latérale, soit :
2
2
S
flux de E à travers
la surface latérale
EndS E(r)2πrh⋅=
∫∫
JG
JG G
w.
On en conclut :
0
λ
E(r) = 2πrε.
Exercice 2
a) Direction : Tout plan perpendiculaire à l’anneau et passant par O est plan de
symétrie. E
JG est suivant l’intersection de tous ces plans de symétrie, c’est-à-dire sur
l’axe x.
Sens : L’anneau portant une charge négative, le champ est orienté de la charge q vers
l’anneau.
Amplitude : Le champ élémentaire créé en M par l’élément dl de la circonférence est :