Rappels d`électrostatique et Magnétostatique

ONDES ELECTROMAGNETIQUES
Plan de cours
1- Rappels d’électrostatique et magnétostatique
2- Equations de Maxwell
3- Equation de propagation des ondes électro-magnétiques dans le vide,
notion de polarisation
4- Electromagnétisme dans les milieux
5- Conditions de raccordement, réflexion et transmission
6- Problèmes
1-Rappel d’électrostatique et de magnétostatique
1- Champ électrostatique
Les champs électriques statiques sont créés par des charges électriques ou des distributions de
charge électriques comme les dipôles (deux charges de signes opposées proches l’une de
l’autre).
Champ électrique créé au point par une charge ponctuelle q placée à l’origine :
r
r
2
0
3
044 r
uq
r
rq
E
r
r
r
πεπε
== avec SI
9
0
10 9
4
1=
πε
.
Quand on a un ensemble ce charge, il faut sommer vectoriellement les champs électriques
créés par chacune des charges.
Exemple : Champ créé par une distribution de charge linéique λ constante répartie sur un fil
de longueur L dans le plan de symétrie du système . Considérons un élément de longueur dz
et le champ qu’il crée au point situé dans le plan de symétrie à la distance D du fil. L’élément
de longueur symétriquement opposé créera un champ de même intensité mais symétrique par
rapport au plan.
z
θ(z)
D
La résultante des 2 contributions sera donc située dans le
plan de symétrie comme indiqué sur le dessin.
Le champ total sera ainsi donné par :
E(D)=
λ
dz
4
πε
0(D/ cos
θ )2
−L/2
L
/
2
∫cos
θ
.
Or
θ
tgdz
=
, donc
θ
θ
d
D
dz 2
)(cos
=.
D’où DD
d
DE
0
0
02
sin
cos
4
)(
0
0
πε
θλ
θ
πε
θλ
θ
θ
== ∫
−
.
Si D est petit devant L, alors sin(θ0) est voisin de 1 et
E(D)≈
λ
2 πε
0D
Ondes OEM 1-1

Autres propriétés du champ électrique :
Lien entre champ électrostatique et potentiel électrostatique:
Le champ électrique statique dérive d’un potentiel électrostatique :
→
−= gradVE
r
d'où
BA
B
A
B
A
B
A
VVdVldVgradldE −==−= ∫∫∫ →rr
r
..
Circulation du champ électrostatique le long d’une courbe fermée :
∫
=0. ldE
r
r
(forme
intégrale) d'où 0 Rot
r
r
=
→
E (forme locale)
La circulation du champ électrostatique le long d’une courbe fermée est nulle. On peut
noter que la dernière équation correspond à la forme intégrale de la précédente.
Flux du champ électrostatique à travers une surface fermée
Le flux du champ électrostatique à travers une surface
fermée est proportionnel à la charge totale à l’intérieur de la
surface (théorème de Gauss).
0
4
.
πε
Q
SdE
∫∫ =
r
r
. (forme intégrale)
0
ε
ρ
=Ediv
r
(forme locale)
Cette dernière équation est la forme locale de la précédente,
avec ρ la densité de charges électriques.
E
2- Champ magnétostatique
Les champs magnétiques sont créés soit par des distributions de moments
magnétiques, soit par des charges électriques en mouvement tels des courants électriques.
Champ magnétostatique créé par un dipôle magnétique
r
M
)(
4
)( 4
0
r
rM
RotrB
r
r
r
r∧
=→
π
µ
.
Champ magnétostatique créé par un courant I dans un fil :
3
0
4
)(
r
rlId
rB
r
r
r
r∧
=∫
π
µ
.
Circulation du champ magnétique le long d’une courbe fermée
r
B .d
r
l
∫=
µ
0I (forme intégrale)
jBRot
r
r
0
µ =
→
(forme locale)
La circulation de champ magnétostatique le long d’un
circuit fermé dépend de la somme des courants qui
traversent le circuit fermé.
La relation entre le courant I qui traverse le circuit fermé
et la densité locale de courant
r
j
est :
B
dl
Ondes OEM 1-2

l’intégrale portant sur la surface qui s’appuie sur le
contour (le sens de circulation définissant le sens de la
normale.
I=r j .d
r
S
∫∫
B
dl
Flux du champ magnétique à travers une surface fermée :
r
B .d
r
S
∫∫ =0 (forme intégrale) ou 0=Bdiv
r
(forme locale)
Remarque: Quand on a une distribution de charges et/ou de courants, il faut ajouter
vectoriellement les contributions de toutes les charges au champ électrique et de tous les
courants au champ magnétique. Dans certains cas, on peut utiliser les propriétés de symétrie
pour en déduire plus facilement ces champs.
3 –Champ électro-magnétique et symétries
Dans de nombreux problèmes, la symétrie joue un rôle important et détermine
l’orientation des deux vecteurs
r
E et
r
B . Ces deux vecteurs présentent de ce point de vue de
propriétés différentes.
r
E est un vecteur dit polaire.
Si le problème possède une axe de symétrie de rotation : en tous les points de l’axe le champ
électrique est parallèle à l’axe. En dehors de l’axe, le champ électrique tourne en suivant cette
rotation.
Si le problème possède un plan de symétrie :
Pour tous les points de ce plan, le champ électrique est dans le plan. Sinon, en dehors du plan,
il se réfléchit comme notre image dans un miroir.
E
E
Champ électrique et symétrie de rotation.
Les deux champs ont la même composante
parallèle à l’axe, mais les composantes
perpendiculaires à l’axe sont opposées.
Champ électrique et symétrie plane.
Les deux champs ont la même composante
parallèle au plan, mais les composantes
perpendiculaires au plan sont opposées.
r
B est un vecteur axial ou un pseudo-vecteur, le plus simple est de le considérer comme un
produit vectoriel de deux vecteurs polaires. Il se comporte comme un vecteur polaire en ce qui
concerne la rotation autour d’un axe, mais très différemment quand il y a un plan de symétrie.
En effet, faire agir un plan de symétrie va inverser le signe du produit vectoriel.
Ondes OEM 1-3

B
Pour deux points symétriques par rapport au plan :
* les composantes perpendiculaires au plan sont les mêmes
* les composantes parallèles au plan sont opposées.
Justification géométrique de cette symétrie :
Si est perpendiculaire au plan, on peut le décrire comme le produit vectoriel de deux
vecteurs dans le plan. Si on opère la symétrie par rapport au plan, chacun de ces deux vecteurs
est invariant , donc
r
B
r
B est invariant.
Si est parallèle au plan, on peut le décrire comme le produit vectoriel de deux vecteurs,
l’un dans le plan, l’autre perpendiculaire au plan. Si on opère la symétrie par rapport au plan,
le vecteur dans le plan est invariant, celui qui est perpendiculaire est transformé en son opposé
donc
r
B
r
B est transformé en son opposé.
Ceci impose que, pour les points dans le plan de symétrie, si le champ magnétique est
continu, il est nécessairement perpendiculaire à ce plan.
Il est aussi important de remarquer que si on change le signe du courant électrique, le
champ magnétique change de sens.
♦ Exercice 1-1.Quel est le champ électrique créé à la distance r par un fil uniformément
chargé de charge
λ par unité de longueur ?
Préciser sa direction en justifiant par des arguments de symétrie et justifier sa norme.
Réponse: On considère un cylindre de longueur L et rayon r centré sur le fil. Par symétrie, on
peut montrer que le champ électrique est tangent aux disques de base et normal à la surface
latérale. De plus ce champ ne dépend que de r, il est donc constant en norme sur la surface
latérale. En utilisant le théorème de Gauss, on peut ainsi montrer que : E=1
2
πε
0
λ
r
♦ Exercice 1-2. Quel est le champ magnétique créé à la distance r par un parcouru par un
courant I? Préciser sa direction en justifiant par des arguments de symétrie et justifier sa
norme.
Réponse: On considère un cercle de rayon r centré sur le fil. Par symétrie on peut montrer que
le champ magnétique est tangent à ce cercle et que sa norme est constante le long du cercle.
En utilisant le théorème d’Ampère, on peut ainsi montrer que B=
µ
0
I
2
π
r
♦ Exercice 1-3. Déterminer le champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde de rayon R
comportant n spires par unité de longueur parcourues par un courant I et supposé infini
Réponse: On peut montrer d’abord que le champ magnétique est partout parallèle à l’axe du
solénoïde. Il est nul à l’extérieur du solénoïde. En utilisant un circuit rectangulaire qui coupe
le solénoïde et en appliquant le théorème d’Ampère, on peut montrer qu’à
l’intérieur :
B
=
µ
0n
I
.
Ondes OEM 1-4