Cours I-ELECTROSTATIQUE 2016

ELECTROSTATIQUE - MAGNETOSTATIQUE
L2 : Physique-Chimie-E2i (ESGT, ENSIM) - Math
http://www.univ-lemans.fr/~akassiba
Enseignants: A.Kassiba, N.Yaacoub, M.Tabellout,A.Desert
Cours : 10H TD : 14H, TP : 6H incluses dans module expérimental
Evaluation : Contrôle continu
Objectifs:
1. Electrostatique: Etudier les interactions électriques entre corps
chargés, les lois qui les régissent et les applications associées.
Distribution de charges, Champs et potentiels électriques, énergie,
influence électrique, condensateurs.
2. Magnétostatique: Analyser et décrire la cartographie de champ
magnétique crées par des courants électriques en régime statique.
Contenu des TP : 2x3H
Electrostatique : Cartographie des lignes de champs et des
équipotentielles
Champ magnétique crée par des courants – vérification des lois et
théorème d’Ampère.
Partie I : Electrostatique
1. Généralités sur les propriétés électriques de la matière – Procédés
d’acquisition de charges électriques – Notion de densité de charges
2. Loi de Coulomb : Principe de l’expérience de Coulomb – Enoncé et
applications de la loi de Coulomb.
3. Notions de champ et potentiel électrostatiques – applications pour
des charges ponctuelles – cartographie des lignes de champ et surfaces
équipotentielles.
4. Champ et potentiel électrostatiques crées par des distributions de
charges
Méthode de Coulomb
Méthode (Théorème) de Gauss
5. Influence électrique entre conducteurs et applications aux
condensateurs
ELECTROSTATIQUE
Objet : Discipline de la physique qui analyse les phénomènes électriques
crées par des charges électriques localisées dans l’espace.
Quelques exemples
Nuisances électrostatiques
+
+
+
+
+++++
Evacuation de l’excès de charges
Moquette
+
Tableau électrique
Sol
Ionisation de l’air
Piquet (l,d)
+
+
Bornes de terre
Terre
Activités électriques Terre- Atmosphère
+
+
Charge électrique Terrestre
La terre est une énorme réserve de charges électriques négatives ( 1 million de
Coulomb). Cependant l’atmosphère terrestre est globalement neutre car la
couche Electrosphère, à l’altitude de 50 km, est chargé positivement.
+
+
+
+
+
+
Effets électriques (Foudre, orages)
L’ionisation de l’atmosphère sous l’action du
rayonnement électromagnétique tend à diminuer
la charge portée par la terre. Or, la cadence
élevée des orages ( 300 par jour en moyenne)
régule ce phénomène et préserve la charge portée
par la terre et sa couche d’électrosphère.
Applications Technologiques
La peinture électrostatique
application d’une d.d.p entre le Pistolet et corps à
peindre permettant de recueillir toutes les gouttes
émises avec une répartition uniforme.
Les filtres électrostatiques
Filtrage de gaz (échappement,
industriels) des particules
pouvant être nocives pour
l’environnement.
www.edgb2b.com/Coral_Ingenierie-2858-noprofil...
Clean Environmental Technology Co., Ltd.
Un cylindre métallique
recouvert de sélénium est
électrisé positivement en
tournant près d'un fil relié à
un générateur.
L'image du document à
photocopier est projetée sur le
cylindre. Le sélénium étant
photosensible, les zones
éclairées se déchargent. Les
zones sombres restent
chargées.
De fines particules d'encre
sont projetées sur le cylindre.
Elles adhèrent aux parties
chargées (zones sombres de
l'image)
La feuille de papier est
électrisée puis appliquée
contre le rouleau. L'encre
vient s'y déposer.
La feuille passe entre des
rouleaux chauffants pour fixer
l'encre dans le papier.
La photocopie électrostatique : xérographie
www2.fsg.ulaval.ca/.../complements/photoco.shtml
Contrainte => charges électriques
Piézoélectricité
P. et J. Curie/ découvrent, en 1880 la
piézoélectricité –
Lorsque certains cristaux (cristaux
piézoélectriques) sont comprimés, des
charges électriques apparaissent sur
des faces opposées.
Allume-gaz
On fabrique sur ce principe des
allume-gaz qui font jaillir une étincelle
lorsqu'on comprime le cristal
piézoélectrique (titanate de baryium).
titanate de baryium
Aussi le Quartz piezo-électrique :
Sonar, nettoyage par ultrasons
Quartz
La cage de Faraday
C'est une enceinte ou cage
métallique qui permet
d'isoler une portion
d'espace contre l'influence
des champs électriques
extérieurs. A l'intérieur de
la cage, le champ électrique
est nul, même si des charges
sont placées à l'extérieur ou
si la cage est reliée à un
générateur électrostatique.
Une voiture à carrosserie
métallique est une cage de
Faraday qui protège ses
occupants contre les
dangers d'électrocution
provenant d'un contact
extérieur ou d'une décharge
atmosphérique
Quelques Dates clés et noms célèbres dans l’histoire de l’Electricité
1733- Charles François du Fay postule que l’électricité est de deux sortes résineuse (-) et vitreuse (+)
1745 – Benjamin Franklin inventeur du paratonnerre postula aussi l’existence d’électricité positive et négative. Il
propose le principe de conservation de la charge.
1785 – Charles Augustin Coulomb utilise une pendule de torsion et vérifier que la loi de la force électrique varie en
1/d^2. Il découvre aussi la relation entre la force électrique au voisinage d’un conducteur et la charge de ce dernier.
1793 Alessandro Volta conçoit les premières batteries
1812 – Simeon Denis Poisson montre que la charge d’un conducteur reste à sa surface. Il établit aussi la
relation entre le potentiel électrique et la densité volumique de charges (équation de Poisson)
1813 Karl Friedrich Gauss revisite le théorème de la divergence de Lagrange
1873- James Clark Maxwell Publie son traité sur l’électricité et le magnétisme et sa théorie a unifié tous
les phénomènes électromagnétiques.
Sir William Crookes (1832-1919) abaisse la pression à l'intérieur des tubes et découvre en 1879
l'existence des "rayons cathodiques"
Jean Perrin (1870-1942) dévie la trajectoire de ces rayons et montre en 1895 qu'ils sont constitués de
particules négatives.
Joseph John Thompson (1856-1940) montre en 1897 que ces particules négatives sont arrachées au
métal de la cathode, il s'agit des électrons.
Chapitre I : Charges électriques Loi de Coulomb –
Champ et potentiel électrostatique
Quantification de la matière et de la charge électrique
Electron
charge : e = 1,6.10
Matière
Atome
Angrström
10 -10
C
-31
masse : m = 9.10 Kg
Noyau
mètre
1
-19
Fermi
10 -15
-19
Proton
charge : e = 1,6.10
C
-27
masse : m = 1,67.10 Kg
Neutron
charge : e = 0 C -27
masse m = 1,67.10 Kg
Macroscopique
Mésoscopique
Atomique
Nucléaire
Neutralité électrique d’un corps
Dans son état d’équilibre électrique, tout corps isolé est électriquement neutre
Corps chargé
On rapporte ou retire des électrons d’un corps.
Charge électrique , Q = N (e) avec N un entier positif ou négatif et e la charge élémentaire
(1,6.10-19C).
a.Matériaux conducteurs et isolants
ISOLANT- DIELECTRIQUE
Conducteurs ( exemples métaux)= CHARGES
LIBRES
les électrons des couches atomiques périphériques sont faiblement
liés aux noyaux. L’agitation thermique favorise l’ionisation des
atomes et conduit à l’existence d’un gaz d’électrons presque libres.
La densité n ( nombre d’électrons libres /m3) est un paramètre
crucial qui gouverne le caractère conducteur d’un matériau.
Noyau
Électrons du cœur
Electrons de valence
Electrons de
valence liés
METAL
Ions positifs
Isolants: CHARGES LIEES
les électrons sont solidement liés aux atomes. La densité d’électrons
libres est quasi-nulle
( matériaux plastiques, verre, paraffine, papier, bois)
Le terme Matériau diélectrique désigne aussi un matériau isolant.
Semi-conducteurs: dopage (créer des porteurs de
charges libres)
la densité de porteurs libres est typiquement dans la gamme 1017 1023 m-3 . Ce paramètre est très dépendant du taux de dopage des
matériaux semi-conducteurs ( Si , Ge, GaAs...).
Electrons de valence
libres
Electrisation d’un corps
Contact - Frottement
Plastique +Laine
Laine
Extrémité
neutre
Charges négatives
immobiles
Charges positives sur la laine
Transfert de charges (-)
sur la tête de l’électroscope
Transfert des charges
Sur tous les éléments
Métalliques
Forces de Répulsion
entre les Feuillets de
l’électroscope
L’approche d’une baguette chargée (+)
Attire les électrons de la tête de l’électroscope
Influence Electrostatique
(sans contact)
Apparition d’un excès de charges (+) sur les
feuillets de l’électroscope
1.Création d’une nouvelle
répartition de charges
3. Force résultante
plus importante
sur la face supérieure
2. Force attractive entre la
Baguette et les surfaces chargées
du matériau influencé
4.Force nette
attractive
Générateur de Van de Graaf
+ ++
Sphère conductrice
+
+
Poulie 2
+++
+
+
Peigne conductrice
Support Isolat
Ceinture caoutchouc
Peigne conductrice
Poulie 1
Moteur
Les tensions electrostatiques de 500 000 a 1 000 000 volts sont facilement
atteintes avec des courants de decharge tres faibles (de 50 µA a 0.5 mA).
Ordre de grandeur des charges accumulées sur une sphère métallique
par un générateur Van de Graaf
+++
RV0
Q=
9.10 9
+
+
+
+
+
+
La charge électrique est liée au potentiel à la surface de la sphère par
(voir justification ultérieure) :
+
+
+
+
+
+
Soit une sphère de rayon R=10 cm reliée au générateur de Van de Graaf.
+++
(Coulomb)
E
champ électrique au voisinage à la surface donné par : vois.
9.109 Q
=
R2
(Volt.m-1)
En accumulant des charges sur la sphère, on augmente le potentiel électrique
sur la surface et donc le champ électrique.
Il existe une limite supérieure à Es qui est la rigidité diélectrique de l’air
(32 kV.cm-1).
9.109 Q
Es =
< 32.105 ⇔ Q <~ 15µC
2
R
Le potentiel de la sphère ne peut dépasser la limite 630 kV d’après ce calcul.
Modélisation des charges à l’échelle macroscopique
Densité de charges
• La charge électrique est quantifiée (Q=N.e)
Mais
•A l’échelle Macroscopique:
la répartition de charges peut être considérée comme continue
Répartition fonction de la géométrie
- Densité VOLUMIQUE ρ
-//
SURFACIQUE σ
-//
LINEIQUE
λ
Principe
Conservation de la charge électrique d’un corps isolé
q1 + q2 + q3 = Q'+q1 = Q
q3
Q’
q2
q1
Q
q1
Principe de la conservation de l’électricité
Dans tout système électriquement isolé, la somme algébrique des
quantités d’électricité ou charges électriques se conserve.
Densité Volumique de charges
Corps macroscopique (Charge totale Q)
Charge élémentaire
Volume élémentaire (dv)
Densité volumique
Charge totale
Densité de charges surfaciques
Surface chargée
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
dS
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
dS
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
dQ
σ =
, C.m − 2 ⇔ Q = ∫∫ σ .dS
(S )
dS
(C )
σ: densité de charges surfaciques (C.m-2)
Densité linéique λ
dQ
λ=
, C.m −1 ⇔ Q = ∫ λ.dl (C )
dl
(l )
λ: densité de charges linéique (C.m-1)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
λ dl
Modèle de la charge ponctuelle
Système de charge Q et dont les dimensions (d) sont infiniment petites
par rapport à toute longueur (ri) mise en jeu pour les effets produits
(force, champ, potentiel)
r1
r2
Q
r3 d
r4
r5
ri >>d
LOI DE COULOMB: FORCE ENTRE CHARGES ELECTRIQUES
Etablie en 1785 à la suite d’expériences relativement peu précise mais dont
l’ensemble des conséquences est vérifié avec une grande précision .
(Bouton moleté)
index
solidaire
de B
Cylindres en verre
Fil en argent ( φ = 30 µm , l'= 0,76 m)
pincé en B.
A
P'
P
l
l
A: ailette pour contre-poids et
amortissement des oscillations
de la tige isolante.
P , P' : sphères identiques
Condition d’équilibre
A- On retire le corps P’ et on le charge par contact avec par exemple une
baguette de verre préalablement frotté avec une étoffe de laine ( charge
positive sur la baguette),
B- On remet P’ à sa position initiale en contact avec P,
C- Equipartition de la charge sur P et P’ ,
Effets : Répulsion entre P et P’, la tige tourne et se stabilise en faisant un angle
α, mesurable, par rapport à la direction initiale. Le fil développe un couple de
torsion égal à C.α ( C : constante de torsion).
(Bouton moleté)
index
solidaire
de B
Cylindres en verre
Fil en argent (φ = 30 µm, l'= 0,76 m)
L
α
F
A
P'
P
l
l
Condition d’équilibre de P :
r r
∑M = 0
α 
FL cos  = Cα
 2
α
M Fr / axe = FL cos 
 2
moment du couple de torsion C.α.
Connu (matériau)
Mesures
Déduit
Conclusion 1 : La force exercée par P’ sur P est proportionnelle à la charge de P.
Conclusion 2 : La force électrique entre P et P’ est inversement proportionnelle à la distance qui les sépare.
Enoncé mathématique de la loi de Coulomb
r
r
FA / B = − FB / A
r
1 QAQB AB
=
4πε 0 AB 3
FB/A
A
Q
A
B
Q
B
FA/B
Unités : Force en Newton (N), distance en mètre (m) et Charges en Coulomb ( C).
ε0
: constante diélectrique du vide de valeur
ε = ε0εr
εr
1
−1
9 F .m
36π .10
Constante diélectrique d’un matériau:
permittivité diélectrique relative
( paraffine 2,1 ; verre 4 - 10).
Fmilieu =
Fvide
εr
Principe de superposition (résultante de forces électriques)
{q }
i i =1, N
{A }
ensemble de charges ponctuelles
Positions des charges
i i =1, N
Force
Résultante
r
F{ q i } / q k
r
1
qi Ai Ak
=
qk ∑
3
4πε 0 i = 1, N Ai Ak
Gradient d’une fonction scalaire et application en électrostatique
Coordonnées cartésiennes
f ( x, y )
une fonction définie sur R, continue et dérivable
Le gradient de la fonction scalaire est défini par :
r r
ux ,u y
∂f r ∂f r
grad f =
ux + u y
∂x
∂y
vecteurs unitaires //Ox,Oy
Courbes
Iso-f
f ( x, y ) = C1
f ( x, y ) = C 2
f ( x, y ) = C 3
f ( x, y ) = C 4
Autre définition dite intrinsèque est obtenue à partir de la différentielle de la fonction
r
df = grad f .dL
r
r
r
dL = dxu x + dyu y
Gradient en Coordonnées polaires
∂f r 1 ∂f r
grad f =
ur +
uθ
∂r
r ∂θ
f ( r ,θ )
.
r r
u r , uθ
vecteurs unitaires de la base locale en coordonnées polaires
Propriétés du gradient d’une fonction
·C’est un champ de vecteurs perpendiculaires aux surfaces où la fonction est constante
·Un champ de gradient possède une circulation indépendante du chemin suivi :
∫
M2
M1
r M2
grad f .dL = ∫ df = f ( M 2 ) − f ( M 1 )
M1
Champ et potentiel électrostatiques
Champ électrostatique // Potentiel Electrostatique
Une charge ponctuelle qA placée en un point A, modifie les propriétés de
l’espace environnant en créant dans son voisinage un champ électrique et un
potentiel électrique.
∆q
r
FA / M =
en un point M subit la force:
 1 q A AM 
1 q A ∆qAM
= ∆q 
3
3 
4πε 0 AM
4
πε
AM
0


r
r
FA / M = ∆qE ( M )
Le champ électrostatique crée par la charge qA en M est défini par :
r
EA( M) =
1 q A AM
4πε 0 AM 3
A
∆q
M
M
Q>0 : Champ divergent
Q<0 champ convergent
Potentiel Electrostatique
Soit un déplacement élémentaire
dl
r+dr
r
A
M
θ
dr
r
dl
E(M)
la circulation élémentaire de
est définie par :
q
A
Avec
r
r
dC = E ( M ). dl = E ( M ) dl cosθ = E ( M ) dr
 q 
qA

dC = − d 
E(M ) =
2
 4πε0 r 
4πε 0 r
La circulation élémentaire (V: fonction potentiel électrique)
r
r
r
r
dC = − dV = E ( M ). dl = − gradV . dl
r
E
•Le champ électrostatique dérive d’une fonction scalaire qui est le potentiel
électrostatique .
•Le potentiel électrostatique crée par une charge ponctuelle en un point à la distance r de
la charge est :
V (r ) =
q
4πε 0 r
+ ( K = cste)
La constante K est fixée par une convention ( convention de Coulomb) qui
postule que pour un point infiniment éloigné de la charge, le potentiel est nul.
Donc K=0.
V (r ) =
q
4πε 0 r
Potentiel Coulombien crée par une charge ponctuelle
Surfaces équipotentielles et lignes de champ électrostatiques crée
par une charge ponctuelle.
Surfaces
équipotentielles
V3 <V2<V1
V3
V1
Q>0
r
Er
E
V2
Lignes de champs
Surfaces équipotentielles: sphères
centrées sur la charge.
Tout
point
d’une
surface
équipotentielle (Si) possède une
valeur constante pour le potentiel
électrostatique.
Région de forts champs électriques
Les
lignes
du
champ
électrostatiques
sont
les
trajectoires orthogonales aux
surfaces équipotentielles
Région de faibles champs
électriques
V4
équipotentielles
V3
V2
⇒
Les lignes de champ sont
orientées dans la direction des
potentiels décroissants.
V1
Vo
Surfaces équipotentielles et lignes de champ électrostatiques crées
par des corps chargés
Même principe pour les corps chargés
Principe de Superposition
r
E( M) =
r
∑ E Ai ( M ) =
i =1, N

→
1
4πε 0
∑
qi Ai M
i =1, N
qi
V(M) = ∑
i =1, N 4πε 0 Ai M
Ai M
3
E résultant
A1
M
A5
A4
A2
A3
Superposition de Champs électrostatiques
Relations Champ - Potentiel
r
r
dV = − E ( M ). dl
Relation différentielle

→
r
E ( M ) = − grad V ( M )
Relation locale
Relation intégrale
∫
M2
M1
r
r
M2
E ( M ). dl = − ∫ dV = V ( M 1 ) − V ( M 2 )
M1
La circulation est indépendante du chemin suivi
Equipotentielles et Lignes de Champ électrostatique
Cours 4 PHYS106B
Electrostatique
Champs et potentiels électriques de
distributions de charges
Lentilles électrostatiques
Chapitre II : Champ et potentiel électrostatique crées par des distributions
de charges - Méthode de Coulomb- Méthode de Gauss- Notion de symétrie
Enoncé du Principe de Curie
La symétrie des causes ( sources de l’électrostatique)
se retrouve dans les effets produits ( champ et potentiel électrostatiques.
Plan d’antisymétrie
Axe de rotation:
Symétrie
de révolution
Plan de symétrie
Plan de symétrie
La Symétrie en Electrostatique
M
Plan de symétrie
x
E (M)
//
Ps
V(M) xM
Ms x
V(Ms)x Ms
M
E (Ms)= E (M)
//
//
Ps
Ps
E (M)
x
Ps
M
Ms x
E (M)
//
E (Ms)= - E (M)
Pas
Plan d’Antisymétrie
x Ms
E (Ms)= - E (M)
//
//
V(M) xM
x
E (M)
PAS
PAS
M
x
Ps
Ms x E (Ms)= E (M)
V(Ms)=-V(M) x Ms
C
Opération de Rotation de 2π/n autour de l’axe OZ:
Exemple : Système de quatre charges équidistantes par rapport à l’origine
V(M1)=V(M)
Q
V(M)
Q
Q
Q
Cz2
π
Cz2
Q
π
4
4
V(M2)=V(M)
Q
Q
V(M3)=V(M)
z
∞
C
Q
: Symétrie de révolution autour de Oz
z
2π
n
1. Méthode de Coulomb en Electrostatique
Etude d’une distribution linéique de charges
λ
Axe de rotation C ∞ (symétrie de révolution)
Plan de symetrie
contenant le fil.
dqi = λdz
z
Fil unifomément chargé (λ)
(P// )
x
Plan de symetrie (P )
(plan médiateur du fil)
z
Champ crée par λdz en A
Charge
élémentaire
r
dE A ( M ) =
+a
λdz
dz
A
dE A’
z
λdz AM
4πε 0
AM
3
Champ crée par λdz en A’
r
dE A ' ( M ) =
dE A
A’
fil chargé (λ)
1
x
M
O
λdz
→

→
1
λdz A' M
4πε 0
A' M
3
Champ crée par λdz en A et λdz en A’
-a
r
dE A, A' ( M ) =
→

→ 

→

r
1  λdz AM λdz A' M 
1 2λdz OM λxu x
dz
+
=
=


3
3
3
4πε 0  AM 3
2πε 0 2
A' M  4πε 0 AM
2 2
(x + z )


Champ crée par la tige de longueur 2a
r
r
λxu x
E( M) =
2πε 0
∫
dz
+a
0
(x
2
+z
2
)
3
2
r
r
λ sin θ0 u x
E( M) =
2πε 0 x
sin θ0 =
a
a2 + x2
•Calcul du potentiel électrostatique en un point de l’axe Ox (calcul direct)
Champ crée par la tige
Champ crée par λdz en A
dV A ( M ) =
λdz
+a
λdz
−a
4πε 0 x 2 + z 2
V (M ) = ∫
4πε 0 x 2 + z 2
Par la relation différentielle champ - potentiel électrostatique
r
r
dV = − E ( M ). dl = −
aλdx
2πε 0 x a 2 + x 2
V ( M ) = −∫
aλdx
2πε 0 x a 2 + x 2
On détermine le potentiel en M à une constante près
que l’on fixe par la convention de Coulomb si applicable.
Cas particulier : Champ et Potentiel d’un fil chargé de longueur infinie
a→∞
θ0 →
π
2
Champ
Potentiel
r
r
λ sin θ0 u x
E( M) =
2πε 0 x
sin θ0 =
a
a2 + x2
Lignes de champ
d’une tige finie
r
r
λ0 u x
E( M ) =
2πε 0 x
r
r
V ( M ) = − ∫ E ( M ). dl
.
λdx
λ
V ( M ) = −∫
=−
Ln( x ) + K
2πε 0 x
2πε 0
fil chargé infini
Lignes de champ
Surfaces équipotentielles et lignes de champ
d’une tige de longueur infinie
Surfaces équipôtentielles
Cartographie des lignes du champ électrique
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Champ électrique d’une Antenne de téléphonie sur un immeuble
Courtesie de Guy Bouyrie
Arpenteur du Web
Méthode de Coulomb : Distribution surfacique de charges
z
Oz : axe de rotation C
σ
z
Plan de symétrie contenat Oz.
Disque
Chargé
en surface
(infinité de plans)
z
Axe de rotation C
σ dS en A’:
r
dE A ( M ) =
r
dE A ' ( M ) =
σ dS en A et A’:
M(0,0,z)
σ dS
A’
d
2
( 2π
)
2
σ dS en A:
d
Plan de symétrie
contenant le disque.
(unique)
O
r
1 σdSAM
A
σ dS
4πε 0 AM 3
r
1 σdSA' M
4πε 0
A' M
r
dE A, A' ( M ) =
r
AM + A' M = 2.OM = 2.z.u z
3
σdS
4πε 0 AM
3
r
2 zu z
σ dS en A et A’
r
dE A, A' ( M ) =
σdS
4πε 0 AM
3
z
r
2 zu z
Champ crée par une couronne
circulaire d’épaisseur dr
d
M(0,0,z)
A’
dr
A
A’
r
A
r
dE Couronne ( r ) ( M ) =
σπrdr
4πε 0 AM
3
r
2 zu z =
σrdr
2ε 0 AM
3
r
zu
Champ crée par le disque
r
a σrdr
r
zσ
E disque ( a ) ( M ) = ∫
z
u
=
z
3
0
2ε 0
ε 0 AM
∫
a
0
r
σ  z
u =
−
3 z

2ε 0  z
ε 0 (r 2 + z 2 ) 2
rdr
r
u z

z2 + a2 
z
Calcul du potentiel électrostatique V(M), M étant un point de l’axe Oz
(
)
r
r

z
σ 
σ
2
2
1 −
 dz ⇒ V ( M ) = −
dV = − E ( M ). dl = −
z
−
z
+
R
+K
2
2
2ε 0 
2ε 0
z +R 
Cas d’un plan infini chargé uniformément en surface
r
σ z r
E( M ) =
uz
2ε 0 z
r
r
σ
σ
dV = − E ( M ). dl = −
dz ⇒ V ( z ) = −
z +K
2ε 0
2ε 0
Modélisation de l’activité électrique au sein de nuages