⋇ Intégrales convergentes ⋇ Définitions Définition – Intégrale localement intégrable Soit f définie sur un intervalle I de ℝ. On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout segment inclus dans I. Définition – Cas d’un intervalle non borné +∞ Soit f une fonction continue sur [a, +∞[. On dit que l’intégrale ∫a +∞ Si c’est le cas on pose ∫a x f(t)dt converge si la limite de la primitive ∫a f(t)dt existe. x f(t)dt = lim ∫a f(t)dt x→+∞ Dans le cas contraire on dit que l’intégrale diverge. Définition – Cas d’une fonction non bornée sur un intervalle borné b b Soit f une fonction continue sur ]a, b] On dit que l’intégrale ∫a f(t)dt converge si la limite de la primitive ∫x f(t)dt existe. Si b b c’est le cas on pose ∫a f(t)dt = lim+ ∫x f(t)dt x→a Dans le cas contraire on dit que l’intégrale diverge. Théorème – Relation de Chasles des intégrales convergentes b c Soient f localement intégrable sur [a, b[ et c ∈ ]a, b[ alors ∫a f(t)dt et ∫a f(t)dt ont même nature et si elles convergent on a : b c b ∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt a a c Théorème – Linéarité des intégrales convergentes Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de ℝ dont les intégrales convergent sur I. Soient λ et 𝜇 deux réels. λ.f + 𝜇.g a une intégrale convergente sur I et ∫I (λf + μg)(x)dx = λ ∫I f(x)dx + μ ∫I g(x)dx * Pour qu’une intégrale impropre soit convergente il suffit qu’il existe un changement de variable qui la ramène à un intervalle propre 19/04/2017 Analyse – Intégrales convergentes| 1 Fonctions positives sur un intervalle non borné Théorème – Limite non nulle à l’infini Soit f localement intégrable sur [a, +∞[ on a alors +∞ lim f(x) existe et est non nulle ⇒∫a x→+∞ f(t)dt diverge * on le montre par équivalence avec la fonction g(x) = la constante qui est limite de f à l’infini +∞ * donc si ∫a f(t)dt converge, soit f a une limite nulle en +∞, soit f n’a pas de limite Théorème – Comparaison de fonctions sur un intervalle non borné Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a, +∞[. Supposons que f soit majorée par g au voisinage de +∞. ∃A, ∀t > A, f(t) ≤ g(t) +∞ Si ∫a Si +∞ g(t)dt converge alors ∫a +∞ ∫a f(t)dt diverge alors f(t)dt converge +∞ ∫a g(t)dt diverge * Astuce : utiliser la négligeabilité Si f = o(g) au voisinage de l’infini, c'est-à-dire si lim f(x) x→+∞ g(x) = 0 on a f ≤ g au voisinage de l’infini et on peut conclure … Théorème – Fonctions équivalentes sur un intervalle non borné Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a, +∞[, équivalentes au voisinages de +∞. f(x) lim =1 x→+∞ g(x) +∞ ∫a +∞ f(t)dt converge ssi ∫a g(t)dt converge Intégrales de Riemann +∞ 1 ∫1 tα dt avec α réel strictement positif : diverge si α ≤ 1, converge si α > 1 Règle de l’ordre = trouver une fonction équivalente à une intégrale de Riemann Règles de Riemann +∞ Si 0 ≤ x α f(x) ≤ k, α > 1 alors ∫a α Si x f(x) ≥ k > 0, α ≤ 1 alors f(t)dt converge +∞ ∫a f(t)dt diverge α Si lim x f(x) = 0 pour tout réel k positif il existe un x0 à partir duquel −k ≤ x α f(x) ≤ k et donc pour x ≥ x0 |x α f(x)| ≤ k x→+∞ donc |f(x)| ≤ k xα +∞ donc si α > 1 ∫a f(t)dt converge * La dernière règle est utilisée surtout pour les produits de logarithme, puissance, exponentielle Intégrales de Bertrand +∞ ∫3 dt t(ln(t))β avec β réel strictement positif : diverge si β ≤ 1, converge si β > 1 Théorème d’Abel Soit f une fonction continument dérivable sur [a, +∞[ positive, décroissante, ayant une limite nulle en +∞. Soit g une x +∞ fonction continue sur [a, +∞[, telle que la primitive ∫a g(t)dt soit bornée. Alors l’intégrale ∫a 19/04/2017 f(t)g(t)dt converge. Analyse – Intégrales convergentes| 2 Fonctions positives non bornées Théorème – Limite finie en un point fini f localement intégrable sur ]a, b], bornée telle que f est prolongeable par continuité en a, c'est-à-dire f de limite finie en a+, b alors ∫a f(t)dt converge. 1 sin t * exemple ∫0 t dt Théorème – Comparaison de fonctions non bornées sur un intervalle borné Soit f et g deux fonctions continues et positives sur ]a, b]. Supposons que f soit majorée par g au voisinage de a ∃𝜀, ∀t ∈ ]a, a+𝜀[, f(t) ≤ g(t) b b Si ∫a g(t)dt converge alors ∫a f(t)dt converge b b Si ∫a f(t)dt diverge alors ∫a g(t)dt diverge Théorème – Fonctions non bornées équivalentes sur un intervalle borné Soit f et g deux fonctions continues et positives sur ]a, b], équivalentes au voisinages de a. f(x) lim+ =1 x→a g(x) b b Si ∫a f(t)dt ssi ∫a g(t)dt converge Intégrales de Riemann b ∫a dt diverge si α ≥ 1, converge si α < 1 (b−t)α 1 dt ∫0 tα diverge si α ≥ 1, converge si α < 1 Règle de l’ordre Trouver une fonction équivalente à une intégrale de Riemann en b− k Si f(x)~ (b−x)α lorsque x tend vers b− , (k réel non nul), alors f(x) diverge si α ≥ 1, converge si α < 1 Règles de Riemann b Si 0 ≤ (b − x)α f(x) ≤ k, α < 1 alors ∫a f(t)dt converge b Si (b − x)α f(x) ≥ k ≥ 0, α ≥ 1 alors ∫a f(t)dt diverge Si lim x α f(x) = 0 pour tout réel k positif il existe un x0 tel que x ≤ x0 implique −k ≤ x α f(x) ≤ k et donc pour x ∈ ]0, 𝑥0 ] x→0 |x α f(x)| ≤ k donc |f(x)| ≤ k xα 1 donc si α < 1 ∫0 f(t)dt converge * La dernière règle est utilisée surtout pour les produits de logarithme, puissance, exponentielle 19/04/2017 Analyse – Intégrales convergentes| 3 Convergence absolue Définition – Intégrale absolument convergente sur un intervalle non borné +∞ Soit f une fonction continue sur un intervalle[a, +∞[. On dit que ∫a +∞ f(t)dt est absolument convergente si ∫a |f(t)|dt est convergente ; Théorème +∞ Si l’intégrale ∫a f(t)dt est absolument convergente alors elle est convergente Définition – Intégrale d’une fonction non bornée absolument convergente sur un intervalle borné b b Soit f une fonction continue sur un intervalle ]a, b] . On dit que ∫a f(t)dt est absolument convergente si ∫a |f(t)|dt est convergente Théorème b Si l’intégrale ∫a f(t)dt est absolument convergente alors elle est convergente Définition – Semi-convergence On dit que l’intégrale de f est semi-convergente sur un intervalle I si f est convergente mais n’est pas absolument convergente Plan d’étude 1 – Identifier les points incertains 2 – Découper l’intégrale pour isoler les points incertains 3 – Se ramener à une intégrale sur [a, +∞[ ou sur ]a, b] 4 – Calculer une primitive si c’est possible 5 – Si la fonction est de signe constant se ramener à une fonction toujours positive Calculer un équivalent au voisinage du point incertain et utiliser les théorèmes de comparaison 6 – Si la fonction n’est pas de signe constant, étudier |f| comme dans le cas précédent Si la fonction n’est pas absolument convergente, mettre la fonction sous forme d’un produit pour utiliser le théorème d’Abel 19/04/2017 Analyse – Intégrales convergentes| 4 19/04/2017 Analyse – Intégrales convergentes| 5