Intégrales convergentes

19/04/2017 Analyse – Intégrales convergentes| 1
 Intégrales convergentes 
Définitions
Définition – Intégrale localement intégrable
Soit f définie sur un intervalle I de . On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout segment inclus
dans I.
Définition – Cas d’un intervalle non borné
Soit f une fonction continue sur . On dit que l’intégrale 
 converge si la limite de la primitive   existe.
Si c’est le cas on pose 
Dans le cas contraire on dit que l’intégrale diverge.
Définition – Cas d’une fonction non bornée sur un intervalle borné
Soit f une fonction continue sur  On dit que l’intégrale 
 converge si la limite de la primitive   existe. Si
c’est le cas on pose 
Dans le cas contraire on dit que l’intégrale diverge.
Théorème – Relation de Chasles des intégrales convergentes
Soient f localement intégrable sur [a, b[ et c  ]a, b[ alors 
 et   ont même nature et si elles convergent on a :
Théorème – Linéarité des intégrales convergentes
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de  dont les intégrales convergent sur I. Soient λ et  deux réels.
λ.f + .g a une intégrale convergente sur I et 
* Pour qu’une intégrale impropre soit convergente il suffit qu’il existe un changement de variable qui la ramène à un
intervalle propre

19/04/2017 Analyse – Intégrales convergentes| 2
Fonctions positives sur un intervalle non borné
Théorème – Limite non nulle à l’infini
Soit f localement intégrable sur  on a alors
 existe et est non nulle 
 diverge
* on le montre par équivalence avec la fonction g(x) = la constante qui est limite de f à l’infini
* donc si 
 converge, soit f a une limite nulle en , soit f n’a pas de limite
Théorème – Comparaison de fonctions sur un intervalle non borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur . Supposons que f soit majorée par g au voisinage de .
A, t > A, f(t)  g(t)
Si 
 converge alors   converge
Si 
 diverge alors   diverge
* Astuce : utiliser la négligeabilité
Si f = o(g) au voisinage de l’infini, c'est-à-dire si 
   on a f  g au voisinage de l’infini et on peut conclure …
Théorème – Fonctions équivalentes sur un intervalle non borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur , équivalentes au voisinages de .
 converge ssi   converge
Intégrales de Riemann
 avec α réel strictement positif : diverge si α  1, converge si α > 1
Règle de l’ordre = trouver une fonction équivalente à une intégrale de Riemann
Règles de Riemann
Si     , α > 1 alors 
 converge
Si    , α  1 alors 
 diverge
Si 
   pour tout réel k positif il existe un x0 à partir duquel      et donc pour x  x0  
donc 
 donc si α > 1 
 converge
* La dernière règle est utilisée surtout pour les produits de logarithme, puissance, exponentielle
Intégrales de Bertrand
 avec β réel strictement positif :
diverge si β  1, converge si β > 1
Théorème d’Abel
Soit f une fonction continument dérivable sur  positive, décroissante, ayant une limite nulle en . Soit g une
fonction continue sur , telle que la primitive 
 soit bornée. Alors l’intégrale   converge.

19/04/2017 Analyse – Intégrales convergentes| 3
Fonctions positives non bornées
Théorème – Limite finie en un point fini
f localement intégrable sur , bornée telle que f est prolongeable par continuité en a, c'est-à-dire f de limite finie en a+,
alors 
 converge.
* exemple 
Théorème – Comparaison de fonctions non bornées sur un intervalle borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur . Supposons que f soit majorée par g au voisinage de a
, t ]a, a+[, f(t)  g(t)
Si 
 converge alors   converge
Si 
 diverge alors   diverge
Théorème – Fonctions non bornées équivalentes sur un intervalle borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur , équivalentes au voisinages de a.
Si 
 ssi   converge
Intégrales de Riemann
 diverge si α  1, converge si α < 1
 diverge si α  1, converge si α < 1
Règle de l’ordre
Trouver une fonction équivalente à une intégrale de Riemann en 
Si  
 lorsque x tend vers , (k réel non nul), alors f(x) diverge si α  1, converge si α < 1
Règles de Riemann
Si     , α < 1 alors 
 converge
Si     , α  1 alors 
 diverge
Si 
   pour tout réel k positif il existe un x0 tel que x  x0 implique      et donc pour x 
donc 
 donc si α < 1 
 converge
* La dernière règle est utilisée surtout pour les produits de logarithme, puissance, exponentielle

19/04/2017 Analyse – Intégrales convergentes| 4
Convergence absolue
Définition – Intégrale absolument convergente sur un intervalle non borné
Soit f une fonction continue sur un intervalle. On dit que 
 est absolument convergente si   est
convergente ;
Théorème
Si l’intégrale 
 est absolument convergente alors elle est convergente
Définition – Intégrale d’une fonction non bornée absolument convergente sur un intervalle borné
Soit f une fonction continue sur un intervalle  . On dit que 
 est absolument convergente si   est
convergente
Théorème
Si l’intégrale 
 est absolument convergente alors elle est convergente
Définition – Semi-convergence
On dit que l’intégrale de f est semi-convergente sur un intervalle I si f est convergente mais n’est pas absolument
convergente
Plan d’étude
1 – Identifier les points incertains
2 – Découper l’intégrale pour isoler les points incertains
3 – Se ramener à une intégrale sur  ou sur 
4 – Calculer une primitive si c’est possible
5 – Si la fonction est de signe constant se ramener à une fonction toujours positive
Calculer un équivalent au voisinage du point incertain et utiliser les théorèmes de comparaison
6 – Si la fonction n’est pas de signe constant, étudier |f| comme dans le cas précédent
Si la fonction n’est pas absolument convergente, mettre la fonction sous forme d’un produit pour utiliser le théorème d’Abel

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