Suites numériques I # Définitions i) Une suite numérique est une

Suites numériques
I - Dé…nitions
i)Une suite numérique est une fonction de Ndans R.
Diverses notations : (un)n2N,(un)n0,(un)nno(dans ce cas, la suite est dé…nie à partir
du rang no) , (un):
unest le terme général de la suite (un)ou terme d’indice ou de rang n; à ne pas confondre
avec la suite elle même:
Une suite (un)peut être dé…nie par un=f(n);ou par son premier terme et par un+1 =f(un)
, où fest une fonction numérique.
ii)a) Une suite (un)est majorée s’il existe un réel M,appelé majorant de la suite,
tel que pour tout entier naturel n; unM:
b) Une suite (un)est minorée s’il existe un réel m,appelé minorant de la suite,tel
que pour tout entier naturel n; unm:
c) Une suite à la fois majorée et minorée est dite bornée.
iii)a) Une suite (un)est croissante si, pour tout entier naturel n; on a unun+1:
b) Une suite (un)est décroissante si, pour tout entier naturel n; on a unun+1:
c) Une suite (un)est monotone si elle est croissante ou décroissante.
d) Une suite (un)est strictement croissante si, pour tout entier naturel n; on a
un< un+1:
e) Une suite (un)est strictement décroissante si, pour tout entier naturel n; on
aun> un+1:
f) Une suite (un)est strictement monotone si elle est strictement croissante ou
strictement décroissante.
II - Limite d’une suite
1) Suite convergente
a) Dé…nitions :
i) Soit une suite (un)et Lun réel. On dit que la suite (un)admet Lpour limite, ou encore
converge (ou tend)vers L; si tout intervalle ouvert contenant Lcontient tous les termes de la
suite à partir d’un certain rang ; ou encore (car tout intervalle ouvert contenant Lcontient un
intervalle de centre L), si tout intervalle ouvert de centre Lcontient tous les termes de la suite à
partir d’un certain rang.
ii) Une suite non convergente est dite divergente.
Remarque : Comme tout intervalle ouvert de centre Lest de la forme ]L";L+[où "est
un réel positif;la dé…nition ci-dessus est aussi :
Pour tout " > 0, il existe au moins un entier positif Ntel que pour nN; junLj< ":
Notation : Si la suite (un)converge vers un réel L; on note L= lim
n!+1un, ou L= lim un:
b) Propriétés des limites
Théorème 1 : Toute limite de suite convergente est unique.
Preuve : Soit une suite (un)ayant deux limites Let L0véri…ant L < L0:
Les intervalles I=1;L+L0
2et J=L+L0 2;+1sont disjoints et contiennent respectivement
Let L0:
Alors il existe des entiers positifs Net N0tels que un2Ipour nNet un2Jpour nN0:
Ensuite uN+N02I\J: C’est impossible.
Donc L=L0:
Théorème 2 : Toute suite convergente est bornée.
Preuve : Soit une suite (un)convergente vers un réel L: Alors il existe un entier positif Ntel
que, pour nN,un2]L1; L+ 1[ :
1

Soit mle plus petit des nombres uo; u1; :::; uN1; L 1:On a : unmpour tout n2N. La
suite (un)est donc minorée par m:
Soit Mle plus grand des nombres uo; u1; :::; uN1; L + 1:On a : unMpour tout n2N. La
suite (un)est donc majorée par M:
Par conséquent (un)est une suite bornée.
c) Exemples
Les suites 1
n,1 n2;1 npet 1
pnconvergent vers 0( où pest un entier 1).
La suite (n)converge vers 0;si jj<1:(Exercice à faire ou revoir cours de 1ère S).
Les suites (sin n)et (cos n)sont divergentes. ( pour la preuve , voir la feuille Raisonnement
par récurrence ).
2) Règles de cacul sur les limites
a) Opérations : i) Soit (un)et (vn)deux suites de limites repectives Let L0:Alors
les suites (un+vn);(unvn)et (un);où est un réel, convergent respectivement vers
L+L0; LL0et L
ii) Si de plus L06= 0;les suites 1
vnet un vnconvergent respectivement
vers 1
L0et L L0:
b) Limite et signe : Si une suite (un)converge vers un réel Lnon nul, alors il
existe un entier positif Ntel que, pour nN,unsoit non nul et de signe de L:
Preuve :Cas où L > 0:Remarquons d’abord que l’intervalle ouvert I=L
2; +1contient L:
Comme (un)converge vers L; il existe un entier positif Ntel que tous les unvéri…ant n
N;soient dans I: Ces unsont alors positifs.
Cas où L < 0:L’intervalle ouvert J=1;L
2contient L:
Comme (un)converge vers L; il existe un entier positif Ntel que tous les unvéri…ant n
N;soient dans J: Ces unsont alors négatifs.
c) Limites et inégalités :
Théorème 1 (Prolongement des inégalités) :Soit (un)et (vn)deux suites de
limites repectives Let L0véri…ant, pour nassez grand, l’inégalité unvn:Alors LL0:
Preuve : Supposons L > L0:La suite (unvn)converge vers LL0>0:D’où unvn>0
pour nassez grand, ce qui est impossible.
Donc LL0:
Conséquence : Soient un couple (a; b)de réels avec a < b; et une suite (un)
convergeante vers un réel Lvéri…ant un2[a; b]pour nassez grand. Alors L2[a; b]:
Théorème 2 (Théorème des gendarmes) : Soient trois suites (un);(vn)et (wn)
telles que , (un)et (wn)convergent vers un réel L, et pour nassez grand unvnwn:
Alors la suite (vn)converge aussi vers L:
Preuve : Pour tout intervalle ouvert Icontenant L; il existe des entiers positifs n1et n2tels
que un2Iet wn2Ipour nn1et nn2:
De plus, il existe un entier positif n3tel que pour nn3; unvnwn:
Soit Nle plus grand des entiers n1; n2et n3:
Pour nN; les réels unet wnappartiennent à I: Or vn2[un;wn], donc il appartient aussi à
I:
D’où la conclusion.
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