Suites numériques I - Dé…nitions i) Une suite numérique est une fonction de N dans R . Diverses notations : (un )n2N , (un )n 0 , (un )n no (dans ce cas, la suite est dé…nie à partir du rang no ) , (un ) : un est le terme général de la suite (un ) ou terme d’indice ou de rang n; à ne pas confondre avec la suite elle même: Une suite (un ) peut être dé…nie par un = f (n) ; ou par son premier terme et par un+1 = f (un ) , où f est une fonction numérique. ii) a) Une suite (un ) est majorée s’il existe un réel M , appelé majorant de la suite, tel que pour tout entier naturel n; un M: b) Une suite (un ) est minorée s’il existe un réel m , appelé minorant de la suite,tel que pour tout entier naturel n; un m: c) Une suite à la fois majorée et minorée est dite bornée. iii) a) Une suite (un ) est croissante si, pour tout entier naturel n; on a un un+1 : b) Une suite (un ) est décroissante si, pour tout entier naturel n; on a un un+1 : c) Une suite (un ) est monotone si elle est croissante ou décroissante. d) Une suite (un ) est strictement croissante si, pour tout entier naturel n; on a un < un+1 : e) Une suite (un ) est strictement décroissante si, pour tout entier naturel n; on a un > un+1 : f) Une suite (un ) est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. II - Limite d’une suite 1) Suite convergente a) Dé…nitions : i) Soit une suite (un ) et L un réel. On dit que la suite (un ) admet L pour limite, ou encore converge (ou tend) vers L; si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang ; ou encore (car tout intervalle ouvert contenant L contient un intervalle de centre L), si tout intervalle ouvert de centre L contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. ii) Une suite non convergente est dite divergente. Remarque : Comme tout intervalle ouvert de centre L est de la forme ]L "; L + [ où " est un réel positif; la dé…nition ci-dessus est aussi : Pour tout " > 0 , il existe au moins un entier positif N tel que pour n N; jun Lj < ": Notation : Si la suite (un ) converge vers un réel L; on note L = lim un , ou L = lim un : n!+1 b) Propriétés des limites Théorème 1 : Toute limite de suite convergente est unique. Preuve : Soit une suite (un ) ayant deux limites L et L0 véri…ant L < L0 : 0 0 Les intervalles I = 1; L+L et J = L+L ; +1 sont disjoints et contiennent respectivement 2 2 0 L et L : Alors il existe des entiers positifs N et N 0 tels que un 2 I pour n N et un 2 J pour n N 0 : Ensuite uN +N 0 2 I \ J: C’est impossible. Donc L = L0 : Théorème 2 : Toute suite convergente est bornée. Preuve : Soit une suite (un ) convergente vers un réel L: Alors il existe un entier positif N tel que, pour n N , un 2 ]L 1; L + 1[ : 1 Soit m le plus petit des nombres uo ; u1 ; :::; uN 1 ; L 1: On a : un m pour tout n 2 N. La suite (un ) est donc minorée par m: Soit M le plus grand des nombres uo ; u1 ; :::; uN 1 ; L + 1: On a : un M pour tout n 2 N. La suite (un ) est donc majorée par M: Par conséquent (un ) est une suite bornée. c) Exemples Les suites n1 , n12 ; n1p et p1n convergent vers 0 ( où p est un entier 1). La suite ( n ) converge vers 0; si j j < 1: (Exercice à faire ou revoir cours de 1ère S). Les suites (sin n) et (cos n) sont divergentes. ( pour la preuve , voir la feuille Raisonnement par récurrence ). 2) Règles de cacul sur les limites a) Opérations : i) Soit (un ) et (vn ) deux suites de limites repectives L et L0 : Alors les suites (un + vn ) ; (un vn ) et ( un ) ; où est un réel, convergent respectivement vers L + L0 ; LL0 et L ii) Si de plus L0 6= 0; les suites v1n et uvnn convergent respectivement et LL0 : b) Limite et signe : Si une suite (un ) converge vers un réel L non nul, alors il existe un entier positif N tel que, pour n N , un soit non nul et de signe de L: Preuve : Cas où L > 0: Remarquons d’abord que l’intervalle ouvert I = L2 ; +1 contient L: Comme (un ) converge vers L; il existe un entier positif N tel que tous les un véri…ant n N;soient dans I: Ces un sont alors positifs. Cas où L < 0: L’intervalle ouvert J = 1; L2 contient L: Comme (un ) converge vers L; il existe un entier positif N tel que tous les un véri…ant n N;soient dans J: Ces un sont alors négatifs. c) Limites et inégalités : Théorème 1 (Prolongement des inégalités) :Soit (un ) et (vn ) deux suites de limites repectives L et L0 véri…ant, pour n assez grand, l’inégalité un vn : Alors L L0 : Preuve : Supposons L > L0 : La suite (un vn ) converge vers L L0 > 0: D’où un vn > 0 pour n assez grand, ce qui est impossible. Donc L L0 : Conséquence : Soient un couple (a; b) de réels avec a < b; et une suite (un ) convergeante vers un réel L véri…ant un 2 [a; b] pour n assez grand. Alors L 2 [a; b] : Théorème 2 (Théorème des gendarmes) : Soient trois suites (un ) ; (vn ) et (wn ) telles que , (un ) et (wn ) convergent vers un réel L, et pour n assez grand un vn wn : Alors la suite (vn ) converge aussi vers L: Preuve : Pour tout intervalle ouvert I contenant L; il existe des entiers positifs n1 et n2 tels que un 2 I et wn 2 I pour n n1 et n n2 : De plus, il existe un entier positif n3 tel que pour n n3 ; un vn wn : Soit N le plus grand des entiers n1 ; n2 et n3 : Pour n N; les réels un et wn appartiennent à I: Or vn 2 [un ; wn ] , donc il appartient aussi à I: D’où la conclusion. vers 1 L0 2