Suites numériques I # Définitions i) Une suite numérique est une

Suites numériques
I - Dé…nitions
i) Une suite numérique est une fonction de N dans R .
Diverses notations : (un )n2N , (un )n 0 , (un )n no (dans ce cas, la suite est dé…nie à partir
du rang no ) , (un ) :
un est le terme général de la suite (un ) ou terme d’indice ou de rang n; à ne pas confondre
avec la suite elle même:
Une suite (un ) peut être dé…nie par un = f (n) ; ou par son premier terme et par un+1 = f (un )
, où f est une fonction numérique.
ii) a) Une suite (un ) est majorée s’il existe un réel M , appelé majorant de la suite,
tel que pour tout entier naturel n; un M:
b) Une suite (un ) est minorée s’il existe un réel m , appelé minorant de la suite,tel
que pour tout entier naturel n; un m:
c) Une suite à la fois majorée et minorée est dite bornée.
iii) a) Une suite (un ) est croissante si, pour tout entier naturel n; on a un un+1 :
b) Une suite (un ) est décroissante si, pour tout entier naturel n; on a un un+1 :
c) Une suite (un ) est monotone si elle est croissante ou décroissante.
d) Une suite (un ) est strictement croissante si, pour tout entier naturel n; on a
un < un+1 :
e) Une suite (un ) est strictement décroissante si, pour tout entier naturel n; on
a un > un+1 :
f) Une suite (un ) est strictement monotone si elle est strictement croissante ou
strictement décroissante.
II - Limite d’une suite
1) Suite convergente
a) Dé…nitions :
i) Soit une suite (un ) et L un réel. On dit que la suite (un ) admet L pour limite, ou encore
converge (ou tend) vers L; si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la
suite à partir d’un certain rang ; ou encore (car tout intervalle ouvert contenant L contient un
intervalle de centre L), si tout intervalle ouvert de centre L contient tous les termes de la suite à
partir d’un certain rang.
ii) Une suite non convergente est dite divergente.
Remarque : Comme tout intervalle ouvert de centre L est de la forme ]L "; L + [ où " est
un réel positif; la dé…nition ci-dessus est aussi :
Pour tout " > 0 , il existe au moins un entier positif N tel que pour n
N; jun
Lj < ":
Notation : Si la suite (un ) converge vers un réel L; on note L = lim un , ou L = lim un :
n!+1
b) Propriétés des limites
Théorème 1 : Toute limite de suite convergente est unique.
Preuve : Soit une suite (un ) ayant deux limites L et L0 véri…ant L < L0 :
0
0
Les intervalles I = 1; L+L
et J = L+L
; +1 sont disjoints et contiennent respectivement
2
2
0
L et L :
Alors il existe des entiers positifs N et N 0 tels que un 2 I pour n N et un 2 J pour n N 0 :
Ensuite uN +N 0 2 I \ J: C’est impossible.
Donc L = L0 :
Théorème 2 : Toute suite convergente est bornée.
Preuve : Soit une suite (un ) convergente vers un réel L: Alors il existe un entier positif N tel
que, pour n N , un 2 ]L 1; L + 1[ :
1
Soit m le plus petit des nombres uo ; u1 ; :::; uN 1 ; L 1: On a : un m pour tout n 2 N. La
suite (un ) est donc minorée par m:
Soit M le plus grand des nombres uo ; u1 ; :::; uN 1 ; L + 1: On a : un M pour tout n 2 N. La
suite (un ) est donc majorée par M:
Par conséquent (un ) est une suite bornée.
c) Exemples
Les suites n1 , n12 ; n1p et p1n convergent vers 0 ( où p est un entier 1).
La suite ( n ) converge vers 0; si j j < 1: (Exercice à faire ou revoir cours de 1ère S).
Les suites (sin n) et (cos n) sont divergentes. ( pour la preuve , voir la feuille Raisonnement
par récurrence ).
2) Règles de cacul sur les limites
a) Opérations : i) Soit (un ) et (vn ) deux suites de limites repectives L et L0 : Alors
les suites (un + vn ) ; (un vn ) et ( un ) ; où est un réel, convergent respectivement vers
L + L0 ; LL0 et L
ii) Si de plus L0 6= 0; les suites v1n et uvnn convergent respectivement
et LL0 :
b) Limite et signe : Si une suite (un ) converge vers un réel L non nul, alors il
existe un entier positif N tel que, pour n N , un soit non nul et de signe de L:
Preuve : Cas où L > 0: Remarquons d’abord que l’intervalle ouvert I = L2 ; +1 contient L:
Comme (un ) converge vers L; il existe un entier positif N tel que tous les un véri…ant n
N;soient dans I: Ces un sont alors positifs.
Cas où L < 0: L’intervalle ouvert J = 1; L2 contient L:
Comme (un ) converge vers L; il existe un entier positif N tel que tous les un véri…ant n
N;soient dans J: Ces un sont alors négatifs.
c) Limites et inégalités :
Théorème 1 (Prolongement des inégalités) :Soit (un ) et (vn ) deux suites de
limites repectives L et L0 véri…ant, pour n assez grand, l’inégalité un vn : Alors L L0 :
Preuve : Supposons L > L0 : La suite (un vn ) converge vers L L0 > 0: D’où un vn > 0
pour n assez grand, ce qui est impossible.
Donc L L0 :
Conséquence : Soient un couple (a; b) de réels avec a < b; et une suite (un )
convergeante vers un réel L véri…ant un 2 [a; b] pour n assez grand. Alors L 2 [a; b] :
Théorème 2 (Théorème des gendarmes) : Soient trois suites (un ) ; (vn ) et (wn )
telles que , (un ) et (wn ) convergent vers un réel L, et pour n assez grand un vn wn :
Alors la suite (vn ) converge aussi vers L:
Preuve : Pour tout intervalle ouvert I contenant L; il existe des entiers positifs n1 et n2 tels
que un 2 I et wn 2 I pour n n1 et n n2 :
De plus, il existe un entier positif n3 tel que pour n n3 ; un vn wn :
Soit N le plus grand des entiers n1 ; n2 et n3 :
Pour n N; les réels un et wn appartiennent à I: Or vn 2 [un ; wn ] , donc il appartient aussi à
I:
D’où la conclusion.
vers
1
L0
2