Asie 2014. Enseignement spécifique

Asie 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité)
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 1.
On note fnla fonction définie pour tout réel xde l’intervalle [0;1]par
fn(x)= 1
1+xn.
Pour tout entier n!1,ondéfinitlenombreInpar
In=!1
0
fn(x)dx =!1
0
1
1+xndx.
1) Les représentations graphiques de certaines fonctions fnobtenues à l’aide d’un logiciel sont tracées ci-après.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
y
f1
f2
f3
f50
f200
En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite (In)l’existence et la valeur éventuelle
de la limite, lorsque ntend vers +∞.
2) Calculer la valeur exacte de I1.
3) a) Démontrer que, pour tout réel xde l’intervalle [0;1]et pour tout entier naturel n!1,ona:
1
1+xn"1.
b) En déduire que, pour tout entier naturel n!1,ona:In"1.
4) Démontrer que, pour tout réel xde l’intervalle [0;1]et pour tout entier naturel n!1,ona:
1−xn"1
1+xn.
5) Calculer l’intégrale !1
0
(1−xn)dx.
6) Àl’aidedesquestionsprécédentes,démontrerquelasuite(In)est convergente et déterminer sa limite.
7) On considère l’algorithme suivant :
1

Variable s n,pet ksont des entiers naturels
xet Isont des réels
Initialisation : Iprend la valeur 0
Traite ment Demander un entier n!1
Demander un entier p!1
Pour kallant de 0 à p−1faire :
xprend la valeur k
p
Iprend la valeur I+1
1+xn×1 p
Fin pour
Afficher I
a) Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithmesil’onentrelesvaleursn=2et p=5?
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises
par les variables, à chaque étape de l’algorithme. Les valeurs de Iseront arrondies au millième.
k x I
0
4
b) Expliquer pourquoi cet algorithme permet d’approcher l’intégrale In.
2

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EXERCICE 4 : corrigé
1) Soit n∈N∗.Puisquelafonctionfnest continue et positive sur l’intervalle [0, 1],Inest l’aire, exprimée en unités
d’aire, du domaine du plan Dncompris entre l’axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction fnd’une
part, les droites d’équations respectives x=0et x=1d’autre part.
Le graphique suggère que l’aire du domaine Dnconverge vers l’aire du carré de sommets les points de coordonnées
(0, 0),(1, 0),(1, 1)et (0, 1)ou encore il semble que la suite (In)n!1soit convergente de limite 1.
2) I1=!1
0
1
1+xdx =[ln(1+x)]1
0=ln(2)−ln(1)=ln(2).
I1=ln(2).
3) a) Soit n∈N∗.Pourtoutréelxde [0, 1],xn!0puis 1+xn!1et donc 1
1+xn"1par décroissance de la fonction
t"→1
tsur ]0, +∞[.Onamontréque
pour tout xde [0, 1]et tout nde N∗,1
1+xn"1.
b) Par croissance de l’intégrale, on en déduit que !1
0
1
1+xndx "!1
0
1dxavec !1
0
1dx=1×(1−0)=1.Donc,
pour tout nde N∗,In"1.
4) Soit n!1.Pourtoutréelxde [0, 1],
1
1+xn−(1−xn)=1−(1−xn)(1+xn) 1+xn=1−!1−x2n" 1+xn=x2n 1+xn.
On en déduit que pour tout réel xde [0, 1],1
1+xn−(1−xn)!0ou encore 1−xn"1 1+xn.
Pour tout xde [0, 1]et tout nde N∗,1−xn"1
1+xn.
5) Soit n!1.
!1
0
(1−xn)dx =#x−xn+1
n+1$1
0
=1−1n+1
n+1=1−1 n+1.
6) Soit n!1.D’aprèslaquestionprécédenteetparcroissancedel’intégrale,
!1
0
1
1+xndx !!1
0
(1−xn)dx =1−1
n+1.
Ainsi, pour tout entier naturel non nul n,
1−1
n+1"In"1.
Puisque lim
n→+∞%1−1
n+1&=1,lethéorèmedesgendarmespermetd’affirmerquelasuite(In)converge et que
lim
n→+∞
In=1.
1

7) a) Valeurs successives obtenues par l’algorithme.
k x I
0 0 0, 2
10, 2 0, 392
20, 4 0, 565
30, 6 0, 712
40, 8 0, 834
Si n=2et p=5,l’algorithmerenvoielavaleur0, 83 arrondi au centième.
b) L’algorithme donne une valeur approchée de l’intégrale Inobtenue par la méthode des rectangles. Dans le cas
n=2et p=5,onadécoupél’intervalleencinqintervallesdelongueurégale à 0, 2 puis on a construit les rectangles
de hauteurs respectives f(0),f(0, 2),f(0, 4),f(0, 6)et f(0, 8).Lasommedesairesdecesrectanglesestunevaleur
approchée de I2par excès. Cela correspond au graphique suivant :
1
1
0, 2 0, 4 0, 6 0, 8
2