Electrostatique dans le vide

Electrostatique
dans le vide
Filière SMP 2006 – 2007
Pr. M. Benjelloun
Direction et sens des forces électriques
La nature présente 2 types de charges électriques (négatives et positives )
A
Signe différent
B
La charge située en B est soumise à une force F dirigée dans le sens inverse du
vecteur AB
FBA
→
BA
FAB
A
→
B
AB
La charge située en A est soumise à une force F dirigée dans le sens inverse du
vecteur BA
A
Même signe
B
La charge située en B est soumise à une force F dirigée dans le sens du vecteur
AB
F
FBA
AB
A
25/08/2016
Filière SMP
B
→
AB
2
loi de Coulomb
FBA = − FAB
Les forces sont égales et opposées
Des expériences ont montré que les intensités des forces auxquelles sont
soumises les charges situées en A et B sont:
• Inversement proportionnelles au carré de la distance r séparant les charges.
• Proportionnelles aux grandeurs qA et qB qui quantifient les charges.
Expression mathématique appelée loi de Coulomb
FAB
1 q A qB
u AB
=
2
4πε 0 r
Force crée par A en B
coefficient de
proportionnalité
ε0 =
1
36 π 109
u AB =
AB
AB
vecteur unitaire
parallèle au
vecteur AB
Dans le système international (SI), la force est exprimée en Newtons (N), la
charge en Coulombs (C), les distances en mètre (m).
25/08/2016
Filière SMP
3
Champ électrostatique due à plusieurs charges ponctuelles
Soient des charges qi placées en Mi ; si on place en M une charge fictive qM
qi
Ei (r ) =
uiM
2
4πε 0 ri
1
Chaque charge qi
crée un champ
Le point M est soumis
à une force due à
FiM (ri )
chaque charge qi
q2
q1
r1
= qM Ei (ri )
M
qM
qi
Résultante
q4
FM = ∑ qM Ei ( ri )
i
FM = qM ∑ Ei (ri )
i
25/08/2016
FM = qM E
Filière SMP
q3
qi
E=∑
uri
2
i 4πε 0 ri
1
4
Champ crée par une distribution de charge linéaire
Supposons que les charges se distribuent de manière continue sur une courbe.
Autour d'un point A de la distribution, un
élément de longueur dl porte la charge
dq =λ d
La force exercée par dq sur qM est:
dq = λ d
1 qM dq
dF =
u
2
4πε 0 r
qM
A
dF = qM dE
25/08/2016
1 dq
dE =
u
2
4πε 0 r
Filière SMP
1 λd
E=∫
u
2
4πε 0 r
5
Champ électrostatique due à une distribution surfacique
de charge
Supposons que les charges se distribuent de
manière continue sur une surface.
dq = σds
A
qM
Autour d'un point A de la distribution, un élément
de surface ds porte la charge dq =σds
La force exercée par dq sur qM est:
1 qM dq
dF =
u
2
4πε 0 r
dF = qM dE
25/08/2016
1 dq
dE =
u
2
4πε 0 r
Filière SMP
1 σ ds
E = ∫∫
u
2
4πε 0 r
6
Champ électrostatique due à une distribution volumique
de charge
Supposons que les charges se distribuent de
manière continue à l’intérieur d’un volume (V).
dq = ρ dτ
A
Autour d'un point A de la distribution, un élément
de volume dτ porte la charge dq =ρdτ
qM
La force exercée par dq sur qM est:
1 qM dq
dF =
u
2
4πε 0 r
dF = qM dE
25/08/2016
1 dq
dE =
u
2
4πε 0 r
Filière SMP
E = ∫∫∫
1
ρ dτ
4πε 0 r
2
u
7
Circulation élémentaire du champ E
Soit une charge ponctuelle en A. Elle crée en M un champ E(r) avec r le vecteur
position
→
M’
r = AM
r’
q
A
d
r
M dr N
le champ vaut:
1
q
E (r ) =
r
3
4πε 0 r
E (r )
Soit M’, un point infiniment voisin de M et tel que
d = MM '
La circulation élémentaire du champ E le long du chemin MM’ est, par définition
q
dC = E (r ).d =
r .d
3
4πε 0 r
1 q
dC = E (r ) ⋅ d =
dr
2
4πε 0 r
1
25/08/2016
d = MN + NM ' = dr + NM '
Filière SMP
r .d = r ⋅ dr = r dr
1 q
dC = d (−
)
4πε 0 r
8
Relation Champ-Potentiel
Le long d’un chemin quelconque de M à N la circulation de
N
CM → N = ∫ d ( −
E (r )M
s’écrit:
1 q
1 q
1 q
)=
−
4πε 0 r
4πε 0 rN 4πε 0 rM
La circulation est indépendante du chemin suivi
∫ E (r ).dr = 0
Si VM et VN désigne le potentiel en M et N respectivement alors:
N
1 q
dV = d (
) = − dC
4πε 0 r
CM → N = VM − VN = ∫ E ( r ).dr
M
dV = − E (r ).dr
∂V
dV = ∑
dxi
i ∂xi
25/08/2016
∑E
xi
(r ).dxi
E ( r ) = − grad V
i
Filière SMP
9
Le potentiel électrostatique
Comme
•
•
•
•
1 q
dV = d (
)
4πε 0 r
1 q
+K
V (r ) =
4πε 0 r
Le potentiel électrostatique, est défini à une constante K près.
Dans les différences de potentiel, cette constante n'intervient pas.
S’il n’y a pas de charge A l’infini alors K=0
Le potentiel ne dépend que de la position r
q2
q1
r1
M
q
qi
M
q3
25/08/2016
le potentiel en M s'obtient par une somme
algébrique des potentiels crées par chacune
des charges.
n
q4
V (M ) = ∑
i =1
Filière SMP
1 qi
+ C te
4πε 0 ri
10
Potentiel crée par une distribution continue de charges
Cas d'une distribution continue de charge
En un point M situé à la distance r d'une distribution
de charges ρ, il existe un potentiel électrostatique V
tel que:
distribution linéaire de charges
dq = λ d
distribution surfacique de charge
dq = σ ds
distribution volumique de charge
dq = ρ dτ
25/08/2016
Filière SMP
V =∫
V =∫
1 dq
4πε 0 r
1 λd
4πε 0 r
1 σ ds
V = ∫∫
4πε 0 r
V = ∫∫∫
1
ρ dτ
4πε 0
r
11
Point intérieur et point extérieur à une surface
On dit qu'un point est intérieur à la
surface si toutes les demi-droites issues
de ce point rencontre la surface un
nombre impair de fois
On dit qu'un point est intérieur à la
surface si toutes les demi-droites
issues de ce point rencontre la
surface un nombre impair de fois
25/08/2016
Filière SMP
12
Flux sortant par une charge extérieure
Considérons un cône d'angle solide dΩ issue d'une charge externe. Comme ce
point est externe, ce cône découpe la surface un nombre paire de fois
ds
u
dΩ
u
dΩ = −
n
d Φ = ∑ E.ds i
qe
u .ds i
dΦ =
∑
4πε 0 i =1 ri 2
i =1
dΦ =
25/08/2016
qe
4πε 0
n
n
d Ω ∑ (−1) n
dΦ =
qe
4πε 0
ds cos θ
r2
− ds
n
n
(
−
1)
∑ dΩ
i =1
Φ=0
i =1
Filière SMP
13
Flux sortant par une charge intérieure
Considérons un cône d'angle solide dΩ issue d'une charge externe. Comme ce
point est interne, ce cône découpe la surface un nombre impaire de fois
n
d Φ = ∑ E.ds i
i =1
qint n u .ds i
dΦ =
∑
4πε 0 i =1 ri 2
qint n
n
(
−
1)
dΦ =
∑ dΩ
4πε 0 i =1
qint
dΦ =
dΩ
4πε 0
25/08/2016
qint
Φ=
4πε 0
Filière SMP
∫∫ d Ω
Φ=
qint
ε0
14
Théorème de Gauss
Le flux électrique sortant d'une surface fermée est égale au produit par 1/ε0 de la
somme algébrique des charges intérieures. il est indépendant de leurs position; il
est indépendant des charges extérieurs.
Φ = ∫∫ E ⋅ dS =
(S )
Exemples:
1
ε0
∑q
int
=
1
ε0
∫∫∫ ρ dτ
(V )
E
• Surface de Gauss: sphère de rayon r
• Champ radial
q
Φ = ∫∫ E ⋅ dS = E ∫∫ (r sin θ dϕ )(rdθ ) = 4π r 2 E
(S )
Φ=
25/08/2016
1
ε0
(S )
q
E=
Filière SMP
q
4πε 0 r
2
ur
15
Méthodes de calcul du vecteur champ
Soit une charge dq , elle crée un champ en M, et
de la charge vers le point considéré
Calcul direct
Calcul à partir du potentiel
E = ∫∫∫
ρ dτ
4πε 0 r
2
Calcul en utilisant le
théorème de Gauss
1 dq
+ C te
dV =
4πε 0 r
1 dq
dE =
u
2
4πε 0 r
1
u un vecteur unitaire dirigé
u
1 dq
V = ∫∫∫
4πε 0 r
∫∫ E ⋅ dS =
(S )
∑q
int
ε0
E (r ) = − grad V = ∇V
25/08/2016
Filière SMP
16
Topographie - Lignes de champ
On appelle ligne de champ toute ligne ayant la propriété d’être tangente en
chacun de ses points au vecteur champ E.
E
E'
A
B
Considérons un déplacement élémentaire le long dune
ligne de champ Γ. Le fait que le champ soit en tout point
de Γ parallèle à E s’écrit :
E∧d =0
En coordonnées cartésiennes,
d = dx i + dy j + dz k
Ligne de champ
(Γ)
En coordonnées cylindriques
d = dr er + rdϕ eϕ + dz k
En coordonnées sphériques
d = dr er + rdθ eθ + r sin θ dϕ eϕ
25/08/2016
Filière SMP
dx dy dz
=
=
Ex E y Ez
dr rdϕ dz
=
=
Er
Eϕ
Ez
dr r sin θ dϕ rdθ
=
=
Er
Eϕ
Eθ
17
Les lignes de champ
Le tracé des lignes de champ permet d'établir l'allure générale du champ électrique
dans une région donnée de l'espace.
Pour tracer convenablement les lignes de champ, certaines règles s'appliquent.
• sont continues entre les charges positives et négatives.
• sont produites par les charges positives et absorbées par les charges négatives.
• doivent respecter la symétrie de la distribution des
charges.
• ne doivent pas se croiser
• En s'éloignant de la distribution de charges, les
lignes de champ semblent provenir d'une charge
ponctuelle de valeur égale à la charge nette de la
distribution
25/08/2016
Filière SMP
18
Lignes de champ crées par une charge
25/08/2016
Filière SMP
19
Lignes de champ crées par deux charges de signe différent
25/08/2016
Filière SMP
20
Topographie – Surfaces équipotentielles
On appelle surface équipotentielle une surface sur laquelle le potentiel
électrostatique est constant.
Si on effectue un déplacement dr sur la surface équipotentielle
• E est perpendiculaire à la surface V=Cte
dV = − E (r ) ⋅ dr
• Le vecteur gradV est perpendiculaire à la surface V=Cte
• Les lignes de champ sont les trajectoire orthogonales des surfaces
équipotentielles
=0
Si le déplacement dr a lieu entre surfaces équipotentielles
dV = − E (r ) ⋅ dr = C te
dV = − E (r ) ⋅ PP ' = − E '(r ) ⋅ QQ '
E (r ) ⋅ PP ' = E '(r ) ⋅ QQ '
Lorsqu'on se déplace suivant E croissant, les
surfaces équipotentielles se resserrent.
25/08/2016
Filière SMP
21
Equipotentielles crées par une charge
1 q
dV = d (
) = 0 ⇒ r = C te
4πε 0 r
25/08/2016
Filière SMP
22
Equipotentielles crées par deux charges de signe différents
25/08/2016
Filière SMP
23
Lignes de champ crées par deux charges de même signe
25/08/2016
Filière SMP
24
Equipotentielles crées par deux charges de même signe
25/08/2016
Filière SMP
25
Lignes de champ - Surfaces équipotentielles
Animations et exemples
Topographie du champ électrostatique
Tracé de lignes de champ et d'équipotentielles
25/08/2016
Filière SMP
26
Exemples
Le théorème de Gauss fournit une méthode très utile pour calculer
le champ lorsque celui-ci possède des propriétés de symétrie
particulières. Celles-ci doivent en effet permettre de calculer
facilement le flux Φ. Comme le théorème de Gauss est valable
pour une surface quelconque, il nous suffit de trouver une surface
S adaptée, c’est à dire respectant les propriétés de symétrie du
champ, appelée « surface de Gauss ».
le théorème de Gauss est d'une grande généralité, il n'est
utilisable en pratique que si le système présente un degré de
symétrie élevé.
25/08/2016
Filière SMP
27
Champ crée par une distribution de charge linéaire
Considérons un fil infini, de diamètre négligeable, chargé de densité de charge λ .
Quel est le champ crée par cette distribution en un point P ?
On entoure un segment de la ligne chargée par
un cylindre de longueur L et de rayon r. La
charge à l'intérieur du cylindre est
E1
E
λL
Φ=
ε0
Q = ∫ λd = λ L
Le flux du champ à travers le cylindre est égal :
Φ = Φ bases + Φ latéral
E2
25/08/2016
L/2
0
−L/ 2
Φ latéral = Er ∫ rdφ
Φ bases = 0
Théorème de Gauss
2π
Er =
Filière SMP
λ
2πε 0 r
∫
dl = 2π rLEr
28
Champ crée par une distribution plane infinie
On considère un plan infini (P) portant une charge électrique σ uniforme
par unité de surface.
Pour utiliser Gauss, il nous faut d’abord connaître les propriétés de
symétrie du champ .Tous les plans perpendiculaires au plan infini sont
des plans de symétrie de celui-ci : E appartient aux plans de symétrie, il
est donc perpendiculaire.
E = E z ( x, y , z ) k
Par ailleurs, l’invariance par
translation selon x et y
i
j
E = Ez ( z )k
25/08/2016
Filière SMP
29
Champ crée par une distribution plane infinie
Étant donné ces propriétés de symétrie, la surface de Gauss la plus
adaptée est un cylindre de sections perpendiculaires au plan et situées à
des hauteurs symétriques (cylindre de longueur 2r).
r
E
La charge à l'intérieur de cette surface est: Q = σ S
le flux à travers la surface est égal à celui
calculé sur les bases du cylindre.
d Φ = E1 ⋅dS 1 + E2 ⋅ dS 2 = 2 EdS
Φ = 2 ES =
Q
ε0
σ
⇒ E=
2ε 0
On peut appliquer ce résultat pour une surface quelconque chargée
uniformément. Il suffit alors d’interpréter E comme le champ au voisinage
immédiat de la surface (plan infini).
25/08/2016
Filière SMP
30
Champ créé par une boule uniformément chargée
On considère une boule (sphère pleine) de centre O et rayon R, chargée
avec une distribution volumique de charges . Cette distribution possédant
une symétrie sphérique, le champ électrostatique qui en résulte aura
la même symétrie, donc
La surface de Gauss adaptée est simplement
une sphère de rayon r et le théorème de
Gauss nous fournit
25/08/2016
Filière SMP
31
Champ crée par un disque uniformément chargé
Soit un disque plat de rayon a, portant la charge Q = πσa2 uniforme.
Quel est le potentiel en un point P1 de l'axe de symétrie ?
z
a
P2
x
Soit ds un élément de surface ds = 2πrdr, il
contient la charge dq = σ 2πrdr. Tous les
points de cet anneau sont à la distance
P1 (0,y,0)
R =
y
le potentiel en P1 est:
y2 + r 2
1 dq
1 σ ⋅ 2π ⋅ rdr
dV =
=
4πε 0 R 4πε 0 y 2 + r 2
Pour obtenir le potentiel à tout le disque il faut intégrer sur r
25/08/2016
Filière SMP
32
Champ crée par un disque uniformément chargé
σ
V=
2ε 0
a
∫
0
rdr
y2 + r 2
Si on est loin du disque alors y >> a
On retrouve le potentiel crée par une charge ponctuelle.
25/08/2016
Filière SMP
33
Champ crée par un disque uniformément chargé
Le champ électrique peut se calculer à partir de la relation
E ( r ) = − grad V
⎡
⎤
y
⎢1 −
⎥
2
2
⎢⎣
y + a ⎥⎦
⎤
∂V
σ ⎡
y
=
Ey = −
⎢ −1 −
⎥
2
2
∂y 2ε 0 ⎢⎣
y + a ⎥⎦
σ
∂V
Ey = −
=
∂y 2ε 0
y>0
y<0
Quand on se trouve très proche du disque (plan infini)
E y → 0−
25/08/2016
σ
=−
2ε 0
E y → 0+ =
Filière SMP
σ
2ε 0
34
Discontinuité du champ à la traversée d'une surface chargée
Considérons un élément de surface dS pris sur une surface chargée
S. Soient deux points P et P‘ de la normale en O à dS et infiniment
voisins de O
En P, le champ E est la résultante
E = Et + En
En P’, le champ E’ est la résultante
E' = Et' + En'
Et = Et '
Soit un cylindre de hauteur h, perpendiculaire
à dS. Le flux sortant de ce cylindre s'écrit:
(
)
(
)
Φ = Et + En ⋅ dS + E 't + E 'n ⋅ dS '
Φ = ( En − En ' )idS =
25/08/2016
σ
dS
ε0
σ
E n − En ' =
ε0
Et = Et '
Filière SMP
35
Équations locales et intégrales du champ et du potentiel
Le théorème de Gauss, tel que nous l'avons présenté, est apparu sous
une forme globale. Le flux à travers une surface fermée est reliée à la
quantité de charges intérieures à ce volume indépendamment du détail
de leur distribution .
On appelle “ loi locale ” une expression , différentielle ou non , qui relie
des grandeurs en un même point r de l’espace.
E = − gradV
est une équation locale : le champ en r est lié à la
dérivée du potentiel en ce même point r
E
n
Σ
Soit une surface fermée (Σ) qui
délimite un volume (V), et un champ
E défini en tout point de (V).
(C)
25/08/2016
Filière SMP
36
Équations locales et intégrales du champ et du potentiel
Théorème de Green-Ostrogradski
∫∫ E ⋅ n dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ E dτ
(S )
(V )
Si Φ est le flux du champ à travers la surface Σ alors, d’après Gauss
Φ = ∫∫ E ⋅ n dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ E dτ = ∫∫∫
(S )
(V )
Dans le vide, si le volume (v)
ne contient pas de charges
Équation de POISSON
ρ
∇⋅E =
ε0
25/08/2016
(V )
ρ
dτ
ε0
ρ
ΔV = −
ε0
Équation de LAPLACE
∇⋅E = 0
Filière SMP
ΔV = 0
37
Équations locales et intégrales du champ et du potentiel
E
n
Σ
Si on considère la surface Σ orientée et
limitée par une courbe fermée (C), Alors
d'après le théorème de Stokes:
∫ E.d
(C)
(C )
= ∫∫ (∇ ∧ E ) ⋅ n dS
(Σ)
Comme le champ de vecteur E est à circulation conservative, il
satisfait
C=
∫ E.d
=0
∇∧E = 0
(C )
Propriétés du champ électrostatique:
E = − gradV
25/08/2016
ρ
∇⋅E =
ε0
Filière SMP
∇∧E = 0
38
Énergie électrostatique
Considérons une charge ponctuelle q placée en un point M de l'espace,
et supposons qu'en ce point il existe un champ électrique E(M), dérivant
du potentiel V(M) qu'on supposera nul à l'infini. La charge est soumise à
la force
F = q E(M)
E(M)
Si dM désigne le déplacement élémentaire de la charge
M
q, alors le travail à fournir par une force extérieure pour
q
constituer le système à partir de l'infini est l'énergie
dM
électrostatique.
M
M
M
M
∞
∞
∞
∞
W = − ∫ F .dM = − q ∫ E.dM = q ∫ ∇V .dM = q ∫ dV = qV ( M )
W ( M ) = qV ( M )
25/08/2016
est l'énergie potentielle de la charge q
Filière SMP
39
Énergie électrostatique : Système de deux charges ponctuelles
Considérons un système formé de deux charges ponctuelles q1 et q2,
placées respectivement aux points M1 et M2. La charge q2 est plongée
dans le champ électrique dû à la charge q1. En notant V1(M2 ) le
potentiel créé par la charge q1 au point M2, l'énergie électrostatique du
système s'exprime donc par
W = q2V1 ( M 2 )
q2 q1 1
W=
4πε 0 r12
W = q1V2 ( M 1 )
Raisonnement inverse: la charge q1 est plongée dans le champ
électrique dû à la charge q2.
W =
W = q1V2 ( M 1 ) = q2V1 ( M 2 )
25/08/2016
Filière SMP
1
[ q1V1 + q2V2 ]
2
40
Énergie électrostatique : Système de trois charges ponctuelles
Considérons un système formé de 3 charges ponctuelles q1,q2 et q3
placées respectivement aux points M1,M2 et M3. Pour déterminer l'énergie
potentielle totale du système, il faut procéder à trois opération successive.
le déplacement de la première charge s'effectue sans travail:
W1 = 0
Amener de l’infini à r2 la charge q2 dans le champ crée par q1
W2 = q2V1 ( M 2 )
Amener de l’infini à r3 la charge q3 dans le champ crée par q1 et q2
W3 = q3V12 ( M 3 ) = q3V1 ( M 3 ) + q3V2 ( M 3 )
l'énergie électrostatique du système sera:
W = W1 + W2. + W3
W = q2V1 ( M 2 ) + q3V1 ( M 3 ) + q3V2 ( M 3 ) ou en symétrisant
q3
q1
q2
W = [V2 ( M 1 ) + V3 ( M 1 ) ] + [V1 ( M 2 ) + V3 ( M 2 ) ] + [V1 ( M 3 ) + V2 ( M 3 ) ]
2
2
2
25/08/2016
Filière SMP
41
Énergie électrostatique : Système de trois charges ponctuelles
q3
q1
q2
W = [V2 ( M 1 ) + V3 ( M 1 ) ] + [V1 ( M 2 ) + V3 ( M 2 ) ] + [V1 ( M 3 ) + V2 ( M 3 ) ]
2
2
2
V1
V2
V3
Vi est le potentiel crée par toute les charges sauf qi au point Mi
q3
q1
q2
W = V1 + V2 + V3
2
2
2
1
W = ( q1V1 + q2V2 + q3V3 )
2
1 3
W = ∑ qiVi
2 i=1
Généralisation
25/08/2016
Filière SMP
42
Énergie électrostatique : Distribution discrète de charges
Considérons un ensemble de charges ponctuelles qi situées aux points
ri. Nous allons définir l’énergie électrostatique de ces charges comme le
travail nécessaire pour amener ces charges de l’infini aux points ri.
Supposons que les M premières charges ont été amènes aux points
r1,……,rM , alors , le travail nécessaire pour
amener la charge (M+1) à la position rM+1 est
donnée par
i
ri
r - ri
O
M+1
M
∑ V (r )
i ≠ j =1
ri j = rj − ri
25/08/2016
WM +1 = − ∫
rM +1 M
∞
r
Wj = q j
WM +1 = − ∫
rM +1
i
ij
∞
FM +1 ⋅ dr
∑ 4πε
i =1
M
WM +1 = qM +1 ∑
i =1
Filière SMP
qi qM +1
1
0
r − ri
3
( r − ri ) ⋅ dr
qi
1
4πε 0 r − ri
43
Énergie électrostatique : Distribution discrète de charges
Pour un système de N charges, l’énergie électrostatique sera donc:
N
j −1
j =2
i =1
W = ∑qj ∑
qi
4πε 0 rj − ri
1
i
Ou encore par symétrie
ri
1 N N 1 qi q j
W = ∑∑
2 j =1 i ≠ j 4πε 0 rj − ri
Vi (rij ) =
1
4πε 0
qj
N
∑ r −r
j ≠i
i
j
O
j
Vi est le potentiel crée par toute les
charges sauf qi au point ri
l’énergie électrostatique de cette
distribution de charges
25/08/2016
rj
rj - ri
Filière SMP
1 N
W = ∑ qiVi (rij )
2 j =1
44
Énergie électrostatique : Distributions continues de charges
Le raisonnement précédent s'applique aussi à une distribution continue
de charges électriques, en remplaçant la sommation discontinue par une
intégrale. V(M) désignant le potentiel électrique crée par les charges de
la distribution au point M, on obtient:
- pour une distribution volumique de charges répartie dans un
volume (V) et caractérisée par la densité volumique ρ, l'énergie
électrostatique
1
W = ∫∫∫ ρ ( r )V (r ) dτ
2 (V )
où dτ est l'élément de volume entourant le point M de (V)
- pour une distribution surfacique charges répartie sur une surface S
et caractérisée par la densité volumique σ, l'énergie électrostatique
1
W =
σ (r )V (r )dS
∫∫
2 (S )
25/08/2016
Filière SMP
45
Localisation de l'énergie électrostatique
Dans l'espace, considérons une surface sphérique S suffisamment
grande pour qu'elle contienne toutes les charges du système à étudier et
appelons (V) le volume qu'elle délimite. L'énergie électrostatique d'une
distribution volumique de charges de densité ρ, répartie dans un volume
V, est donnée par
1
W =
∫∫∫ ρ(r)V (r)dτ
2 (V )
(
)
1
W = ∫∫∫ ε 0 ∇⋅ E V (r)dτ
2 (V )
∇ [V (r)E(r)] = V (r) ∇⋅ E(r) + E(r). ∇V (r)
or
W =
1
ε 0 ⎡⎣∇ ⋅ [ E (r )V (r )] + E (r ). E (r ) ⎤⎦ dτ
∫∫∫
2 (V )
Théorème de Green-Ostrogradski
ε0 ⎡
⎤
W = ⎢ ∫∫ E (r )V (r ) ⋅ dS + ∫∫∫ E (r ). E (r )dτ ⎥
2 ⎢⎣ ( S )
⎥⎦
(V )
L'énergie électrostatique en
terme de champ
W =
ε0
E(r). E(r)dτ
∫∫∫
2
(V )
(varie en 1/R tend vers 0
Potentiel et champ nuls à l’infini)
25/08/2016
Filière SMP
46
Le dipôle électrostatique
Il existe dans la nature des systèmes globalement électriquement neutres
mais dont le centre de gravité des charges négatives n’est pas confondu
avec celui des charges positives.
y
O2H+
Cl-
H+
H+
Un tel système peut souvent être décrit par deux
charges électriques ponctuelles, +q et q situées sur
les centres de charges G+ et G- à une distance
d=2a l’une de l’autre: dipôle électrostatique.
On appelle moment dipolaire la grandeur vectorielle
1 -29
1.D
=
10 C.m
L'unité est le Debye ( D)
3
25/08/2016
Filière SMP
G-(-q)
G+(+q)
-a
+a
x
2a
P = q G −G +
47
Potentiel crée par un dipôle
Cherchons le potentiel et le champ en
un point M situé à la distance OM =r
du milieu de AB avec (r >> AB =2a)
AM = r1 et BM = r2
V (M ) =
q ⎛ r1 − r2 ⎞
V (M ) =
⎜
⎟
4πε 0 ⎝ r1r2 ⎠
1 −q
1 q
+
4πε 0 r1 4πε 0 r2
r1 = AM = AO + OM ⇒ r1 = a i + r
Comme r >> 2a
r1
r + a cosθ + ...
r2
r − a cosθ + ...
25/08/2016
r2 = BM = BO + OM ⇒ r2 = − a i + r
r1 − r2 = 2a.cosθ
2
a
r1. r2 = r 2 (1 − 2 cos 2 θ )
2r
Filière SMP
V (r ) =
q 2a cosθ
4πε 0
r2
48
Champ crée par un dipôle
Décomposons le champ en deux composantes
Eθ (tangentielle) et Er (radiale)
E (r ) = Er ⋅ er + Eθ ⋅ eθ
Pour calculer le champ électrostatique, il nous suffit
maintenant d’utiliser E ( r ) = − grad V
en coordonnées cylindriques.
q 2a cosθ
V (r ) =
4πε 0
r2
25/08/2016
dV 2 P cos θ
⎛
E
=
−
=
⎜ r
dr
4πε 0 r 3
⎜
⎜
dV P sin θ
E ⎜ Eθ = −
=
3
rd
r
θ
πε
4
0
⎜
⎜
dV
E
=
−
=0
⎜
z
dz
⎝
Filière SMP
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
49
Étude de la variation du champ en fonction de l’angle
Eθ =
Er =
Le Champ, d'un dipôle, décroît
beaucoup plus vite que celui
d'une charge q (varie en 1/r3)
P
4πε 0 r 3 C
−2 P
4πε 0 r 3
B
O
A
Eθ =
Er =
−P
4πε 0 r 3
2P
4πε 0 r 3
2 P cosθ
⎛
⎜ Er = 4πε r 3
0
⎜
⎜
P sin θ
E ⎜ Eθ =
3
πε
4
r
0
⎜
⎜
Ez = 0
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
D
B, C,A et D sont appelés respectivement 1ère , 2ème,… positions de Gauss
25/08/2016
Filière SMP
50
Lignes de champ et surfaces équipotentielles
L’équation des lignes de champ est obtenue en résolvant E ∧ d = 0
dr rdθ
=
Er
Eθ
dr 2 cos θ dθ
=
r
sin θ
Ln r = 2 Ln(sin θ ) + C te
r = k sin 2 θ
Pour les surfaces équipotentielles on a
V (r ) =
q 2a cos θ
te
C
=
4πε 0
r2
r = k 'cos θ
2
25/08/2016
Filière SMP
51
Potentiel crée par une distribution de charges ponctuelles
Il arrive souvent que l'on ait des charges, groupées autour d'un point O
dans un très petit volume, et que l'on ait à étudier le potentiel et le champ
qu'elles créent en un point M très éloigné de O. Les noyaux, les atomes,
les ions, les molécules en sont des exemples.
Soit une charge qi placée au point Qi et un point
Mi posons:
ai = OQ i
r = OM
r i = Qi M = r - ai
le Potentiel V crée en M a pour expression
V=
25/08/2016
Filière SMP
qi
∑
4πε 0 i ri
1
52
Potentiel crée par une distribution de charges ponctuelles
qi
V=
∑
4πε 0 i ri
ri 2 = r 2 − 2r ⋅ a i + ai2
1
1 1 r ⋅ ai
= + 3
ri r
r
V=
r ⋅ ai ⎞
1 ⎛
1
q
q
+
∑ i r i r 3 ⎟⎠
4πε 0 ⎜⎝ i
r ⋅ ai a ⎞
1 1⎛
= ⎜1 − 2 2 + ⎟
ri r ⎝
r
r ⎠
ai
ε = << 1
ri
2
i
2
1 ⎛1
1
⎞
V=
qi + 3 ∑ qi r ⋅ ai ⎟
∑
⎜
4πε 0 ⎝ r i
r i
⎠
25/08/2016
Filière SMP
(1 + ε )
−1/ 2
−1/ 2
1
3 2
= 1 − ε + ε + ...
2
8
On se limite aux termes en ε
53
Potentiel crée par une distribution de charges ponctuelles
V=
∑q
i
≠0
i
∑q
i
=0
i
1 1
1
q
+
q r ⋅ ai
∑
i
3 ∑ i
4πε 0 r i
r i
Le premier terme est le terme principal et peut suffire à représenter
le potentiel au point M; cela revient à admettre que le potentiel ne
diffère pas beaucoup de celui qui serait créé par une charge
ponctuelle
Il faut tenir compte du deuxième terme. Parmi les charges qi on
peut en distinguer deux sortes : les charges qp positives et les
charges qn négatives.
∑q a = ∑q
p
p
p
p
∑q a = ∑q
⋅ OG +
n n
i
n
p
⋅ OG −
i
On désigne par Gp le barycentre des charges positives, et par Gn le
barycentre des charges négatives.
∑ q = ∑ q +∑ q
i
i
25/08/2016
p
p
n
=0
n
Filière SMP
∑q
p
p
= −∑ qn = q
n
54
Potentiel crée par une distribution de charges ponctuelles
∑q a = ∑q a + ∑q a
i i
i
n n
p
n
p
p
∑ q a = ∑ q OG + ∑ q
i i
i
n
−
n
∑q a
i i
i
∑q a
i i
i i
i
25/08/2016
p
OG +
p
=P
1
1
q r ⋅ ai
3 ∑ i
4πε 0 r i
V=
p
= q ⋅ G−G+
1 ⎛1
1
⎞
+
⋅
q
q
r
a
∑ i r 3 ∑i i i ⎟⎠
4πε 0 ⎜⎝ r i
V=
= (OG + − OG − )∑ q p
i
∑q a
V=
P⋅r
4πε 0 r 3
1
P est le moment dipolaire du système
de charges
Si P est nul le système ne possède pas
de moment dipolaire, et il faut faire un
développement au 3ème ordre de V, ce
qui conduit au moment quadrupolaire.
Filière SMP
55