1/ Angle solide défini par un cône de résolution de

Électrostatique du vide : Gauss
Flux du champ électrostatique _ théorème de Gauss
1- Angle solide
¬ Angle plan
Soient deux demi-droites Ox et Oy d’intersection O (Cf.figure.1). La longer L de l’arc du cercle
L
L'
intercepté par les demi-droites est définie par : α = . de même : α =
.
R
R'
La mesure de l’angle plan α est, donc, indépendant du cercle utilisé par le calcul.
¬ Angle solide
Soit un cône de sommet O ; S et S’ les surfaces interceptées, respectivement, par les sphères
Σ1 (O, R1 ) et Σ 2 (O, R2 ) sur le même cône (Cf.figure.2). L’angle solide est défini par :
S
S
Ω = 12 ou Ω = 22 ; c’est l’angle sous lequel on voit S1 et S2, à partir du point O.
R1
R2
La mesure de l’angle solide Ω est, donc, indépendant de la sphère considérée.
y
figure.1
figure.2
α
O
L
S1
L’
Ω
O
x
S2
R1
R
R2
R’
Remarque
o La notion d’angle plan caractérise une portion du plan ; Unité : ( rad _ radian).
o La notion d’angle solide caractérise une portion de l’espace; Unité :(Sr_ Stéradian).
Application
1/ Angle solide défini par un cône de résolution de demi- angle au sommet θ .
2/ Angle solide sous lequel on voit toute une sphère, de son centre (tout l’espace).
Ωcone = 2π (1 − cos θ )
Ω sphère = Ωespace = 4π
¬ Angle solide élémentaire algébrique
Soit une surface élémentaire dS définie autour d’un point M, orientée par sa normale
n (dS = dSn ) .
Question : Sous quel angle solide dΩ , l’élément dS est vu du point O ?
OM
. L’angle solide « élémentaire » est défini par :
On pose : OM = r ; u =
r
dS '
d Ω = 2 avec dS ' = dS cos θ = dS u in = u idS (Cf.figure ci - dessous)
r
M.Afekir (Marrakech)
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Électrostatique du vide : Gauss
dS = dSn

dS ' = dS ' u
dS’
dS
dΩ
n
θ
O
soit : d Ω =
u
u idS
r2
Application
En utilisant la notion d’angle solide calculer le champ électrostatique crée par un disque (O,R),
chargé uniformément (σ ) , en un point M de son axe.
2-Expression du flux élémentaire
Soient q une charge ponctuelle fixe, placée en un point O, et dS : élément de surface, orienté
dS = dSn .
q
Le champ électrique crée en M par q > 0 : E ( M ) =
u.
4πε o r 2
On définit le flux élémentaire du champ électrique E ( M ) à travers dS par :
q
q
dφ = E ( M )idS =
u idS =
dΩ
2
4πε o r
4πε o
3-Flux sortant d’une surface fermée
On considère une surface fermée S et q une charge ponctuelle fixe ( q > 0 ).
1er cas : q à l’intérieur de S . Cf.figure.a
Le flux sortant de S : φ =
∫∫
dφ =
q
∫∫
(S )
dΩ =
q
Ω.
4πε o
4πε o
Ω : angle solide sous lequel on voit toute la surface S ; Ω = 4π ( Sr ) .
q
Soit : φ =
(S )
εo
2ème
cas : q à l’extérieur de S . Cf.figure.b
Le flux total sortant est : φ =
∫∫
(S )
dφ = φ1 + φ2 = −
Figure.a
dΩ
O
q>0
(S)
M.Afekir (Marrakech)
q
εo
+
q
εo
.Il en résulte que : φ = 0
Figure.b
M
E (M )
dS
dS
O
q>0
M
dΩ
(S)
E '( M )
dS '
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Électrostatique du vide : Gauss
Conclusion
Le flux du champ électrostatique, crée par une charge (q) ponctuelle, à travers une surface fermée (S) vaut :
q

εo
0

q intérieur à (S)
q extérieur à (S)
Soit une surface fermée (S) ; on considère un ensemble D de charges ponctuelles fixes { qi } et { qj }
( i ≠ j ).
qi charges intérieurs à (S)

q j charges extérieurs à (S)
# Le champ crée par la distribution D, est exprimé par :
E = ∑ Ei + ∑ E j ( principe de superposition )
j ≠i
i
# Le flux du champ E à travers (S) :
φ=
∫∫
(S )
E idS = ∑ φi + ∑ φ j = ∑
j ≠i
i
i
qi
εo
+0=
qint érieur à ( S )
εo
Enoncé du théorème de Gauss
Etant donnée une distribution quelconque de charges et une surface fermée (S), le flux du champ
électrostatique à travers cette surface fermée (S) est égale à la somme de toutes les charges
intérieures à (S), divisée par ε o .
φ=
∫∫
(S )
E idS =
∑ q intérieures à ( S )
εo
Remarque
E : Champ crée par toute la distribution D .
∑ q intérieures à (S ) : Uniquement les charges à l’intérieur de (S) .
Résumé
Pour appliquer le théorème de Gauss au calcul d’un champ électrostatique, en un point M de
l’espace, choisir une surface fermée (S) :
y Passant par le point M.
y Telle que la norme E ( M ) = E ( M ) , soit identique en tout point de (S).
y Telle que E ( M ) soit normal à (S) en tout points de cette surface, donc colinéaire à la
normale extérieur dSe : (S) est, donc, une équipotentielle.
⇒ φ=
∫∫
(S )
E ( M )idSe =
∫∫
(S )
E ( M )dSe = E ( M ) S =
soit : E ( M ) =
M.Afekir (Marrakech)
qintérieures à ( S )
εo S
qintérieures à ( S )
εo
.
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Électrostatique du vide : Gauss
Application.1 _ Distribution à symétrie plane
On considère une distribution de charge (Σ) répartie avec une charge volumique
uniforme ρ dans une feuille plane infini d’épaisseur a. on néglige les effets de « bord ».
# Calculer le champ et le potentiel électrostatique au voisinage de cette distribution.
Application.2 _ Distribution à symétrie cylindrique
On considère une distribution de charge (Σ) répartie avec une charge volumique uniforme ρ dans un fil
cylindrique de rayon a.
# Calculer le champ et le potentiel électrostatique en un point M situé à une distance r
de l’axe de ce fil, faible devant sa longueur ( longueur infinie).
# Faire de même dans le cas d’une distribution surfacique uniforme.
Application.3 _ Distribution à symétrie sphérique
On considère une distribution de charge (Σ) isotrope autour d’un point O pris comme
origine
1- Montrer que le champ et le potentiel électrostatique en un point M de l’espace
prennent les formes suivantes : E(M) = E(r) er et V(M) = V(r)
2- Calculer E(r) et V(r) en tout point de l’espace.
3- Donner l’allure des courbes E(r) et V(r).
# Refaire la même étude, en considérant le cas d’une distribution surfacique , de densité
uniforme σ.
Analogie Newton _ Coulomb
Cette analogie se traduit par la correspondance « électromécanique » ci-dessous:
Charge : q ⇔ Masse : m
1
⇔ -G
4πεo
A savoir que la charge q peut être positive ou négative, alors qu’il n’existe pas de masse
négative.
Application
1-Par analogie avec la force de Coulomb, donner l’expression de la force gravitationnelle
f g à laquelle est soumise une particule de masse m, située en B, de la part d’une masse
ponctuelle M, située en A.
2-Définir le champ gravitationnel en B, ainsi le potentielle gravitationnelle en ce point.
3-Exercice
M.Afekir (Marrakech)
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Électrostatique du vide : Gauss
On considère une sphère de masse volumique ρ o constant, de centre O et de rayon a.
Calculer le champ de gravitation g ( H ) ainsi que le potentielle gravitationnelle V(H),
crées par la sphère en tout point H de l’espace. On pose : r = OH.
1-La force gravitationnelle exercée par M sur m s’écrit : f = −G
2-Le champ de gravitation : g =
mM
AB
AB 3
f
GM
GM
=−
AB ; le potentiel gravitationnelle : V = −
+ cte .
3
m
AB
AB
Champ & potentiel
 4
pour : r < a
− 3 πρ oG r
Le champ de gravitation : g (r ) = 
3
 − 4 πρ G a r
pour : r > a
o
 3
r3
2
2
2
 3 πρ oG (r − 3a ) pour : r < a
Le potentiel gravitationnelle : V (r ) = 
3
 − 4 πρ G a
pour : r > a
o
 3
r
M.Afekir (Marrakech)
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