Électromagnétisme - Révisions

Théorème de Gauss
Électromagnétisme - Révisions
Résumé
Le flux du champ électrostatique E à travers une surface fermée quelconque S est égal à la
charge contenue dans la surface S divisée par ε0 :
Champ électrostatique
Champ créé par une charge ponctuelle
Φ=
Le champ créé au point M par une charge ponctuelle q
placée en P est :
[q]
[ε ] [ L ]
1
[E] =
P
2
q
0
1
ε0 est la permittivité du vide.
E (M )
M
≈ 9 10 F-1m.
(Schéma avec q >0)
9
4πε 0
∫∫∫ ρ dτ
Volume
ε0
M ∈S
q( P) q ( P ) PM
E(M ) =
ePM =
2
3
4πε 0 r
4πε 0 PM
E s’exprime en V.m-1.
∫∫
Q
E ( M ).dS ( M ) = intérieure à S =
ε0
Comprendre
•
Le théorème de Gauss n’est applicable qu’aux distributions hautement symétriques. En
particulier, le calcul du flux ne peut être simplifié que si les lignes de champ sont connues
(étude des symétries et invariances).
•
La surface de Gauss S étant quelconque, elle est construite de
façon à ce que le champ soit parallèle ou orthogonal à cette
surface (le produit scalaire est alors nul ou égal à EdS).
Remarque :
Φ=0 ⇒ E=0
exemple :
Champ créé par une distribution
Énergie potentielle d’une charge dans un champ
Principe de superposition : le champ créé par une distribution de charges est la somme des
champs créés par chaque charge supposée seule dans l’espace.
L’énergie potentielle d’une charge ponctuelle q placée au point M où existe un potentiel V(M) :
EP = qV(M).
Distribution discrète de N charges ponctuelles : E ( M ) =
Relations champ / potentiel
Distribution continue : E ( M ) =
∫
P∈ D
N
∑
Ei ( M ) =
i =1
q ( Pi ) PM
i
∑ 4πε
i =1
0
PM
i
3
.
4πε 0 PM
Forme intégrale :
3
A
Distribution linéique :
dq = λdℓ
Distribution surfacique :
dq = σdS
E(M ) =
E(M ) =
(différence de potentiel entre les points A et B)
λ ( P )d ℓ( P ) PM
∫
4πε 0
PM 3
P∈courbe
∫∫
P∈ surface
dq = ρdτ
∫∫∫
P∈ volume
Surface équipotentielle: lieu des points M de l’espace tels que V(M) = cte.
Propriétés du champ et du potentiel :
• Le champ est dirigé vers les potentiels décroissants (signe "-" de la formule
E = − grad V ).
σ ( P ) dS ( P ) PM
4πε 0
3
PM
•
ρ ( P ) dτ ( P ) PM
4πε 0
PM
[q]
[ε ] [ L ]
1
2
.
0
Remarque :
Le calcul du champ à l’aide de ces expressions peut être assez difficile, ne les utiliser qu’après
avoir vérifié qu’aucune autre méthode n’est applicable (cf. ci-dessous).
Spé PC G. Monod
Les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équipotentielles.
Potentiel créé par une charge ponctuelle
3
Attention : quelle que soit l’expression utilisée, vérifier soigneusement les dimensions à l’aide la
relation [ E ] =
E = − grad V ⇔ dV = − E.d ℓ
B
∆V = VB − VA = ∫ − E .d ℓ
Forme locale :
dq ( P ) PM
E (M ) =
Distribution volumique :
N
Le potentiel créé au point M par une charge ponctuelle q
placée en P est :
q ( P) 1
+ cte
V (M ) =
4πε 0 PM
V s’exprime en V.
Res_ElmSup.docx
[V ] =
[q]
[ε ] [ L ]
1
0
M
V (M )
P
q
(Schéma avec q >0)
1/5
Résumé (charges ponctuelles)
q ( P)q (M ) F (M ) =
ePM
2
4πε 0 r
dérive de l'énergie potentielle
F = − grad EP
EP ( M ) =
q ( P)q ( M )
4πε 0 r
+ cte
Circulation du champ électrostatique
Le champ E est à circulation conservative. La circulation de E le long d’une courbe
fermée (Γ) est nulle :
∫
A
A
F = qE
q( P) E (M ) =
ePM
2
4πε 0 r
EP = qV
Propriétés de continuité du champ et du potentiel
Potentiel électrostatique
Relation champ / potentiel
E = − grad V
V (M ) =
q ( P)
4πε 0 r
E .d ℓ = VA − VA = 0 .
+ cte
volumique
continu
continu
Potentiel
Champ
Distribution
surfacique
continu
discontinu
linéique
discontinu
discontinu
Calcul de champ électrostatique : méthodes
Potentiel créé par une distribution
Principe de superposition : le potentiel créé par une distribution de charges est la somme des
potentiels créés par chaque charge supposée seule dans l’espace.
Pour une distribution localisée ou d’extension finie (pas de charges à l’infini), la constante qui
apparaît dans l’expression du potentiel peut être prise nulle (V (∞)→ 0), on obtient alors les
expressions suivantes.
Distribution discrète d’extension finie, de N charges ponctuelles :
N
N
q ( Pi ) 1
.
V ( M ) = ∑ Vi ( M ) = ∑
i =1
i =1 4πε 0 PM
i
Distribution continue d’extension finie : V ( M ) =
∫
P∈D
Loi de Coulomb (1785)
q( P)q( M ) FP → M =
ePM
2
4πε 0 r
Attractive si qPqM < 0 (charges de signes contraires), répulsive si qPqM < 0 (charges de mêmes
signes).
4πε 0 PM
dq = λdℓ
V (M ) =
Distribution surfacique :
dq = σdS
V (M ) =
λ ( P )d ℓ( P ) 1
4πε 0
PM
P∈courbe
∫
∫∫
P∈ surface
dq = ρdτ
Théorème de Gauss
Calcul direct de V
Calcul direct de E
dq ( P ) 1
Distribution linéique :
Distribution volumique :
Calcul de E
V (M ) =
∫∫∫
P∈ volume
σ ( P ) dS ( P ) 1
4πε 0
PM
ρ ( P ) dτ ( P ) 1
4πε 0
PM
Attention : quelle que soit l’expression utilisée, vérifier soigneusement les dimensions à l’aide la
relation [V ] =
[q]
.
[ε ] [ L ]
1
0
Si la distribution n’est pas localisée (extension infinie), on calcule le champ et on en déduit le
potentiel à l’aide de la relation E = − grad V en fixant arbitrairement la valeur du potentiel en un
point de l’espace à distance finie : on pose V(M0) = V0 .
Spé PC G. Monod
Res_ElmSup.docx
2/5
Champ magnétostatique
Champ créé par un courant filiforme : loi de Biot et Savart (1820)
Le champ créé au point M par un courant filiforme I est :
B(M ) =
∫
P∈ fil
B s’exprime en T (Tesla).
PM
Id ℓ ( P ) ∧
3
4π
PM
µ0
I
dℓ
[I ]
[ B ] = [ µ0 ]
[ L]
µ0 est la perméabilité du vide.
P
µ 0 = 4π 10-7 usi.
B( M )
Comprendre
• Le théorème d’Ampère n’est applicable qu’aux distributions hautement
symétriques. En particulier, le calcul de la circulation ne peut être simplifié que si
les lignes de champ sont connues (étude des symétries et invariances).
• La courbe d’Ampère (Γ) étant quelconque, elle est construite de façon à ce que le
champ soit parallèle ou orthogonal à cette courbe (le produit scalaire est alors nul
ou égal à Bdℓ).
• Le pêcheur Gauss compte les poissons-charges dans son épuisette-surface de Gauss
tandis que le faucheur Ampère compte les épis-courants entourés, liés par sa ficellecontour d’Ampère…
M
d ℓ est orienté dans le sens de I
Champ créé par une distribution
Propriétés de continuité du champ
Champ
Le terme I d ℓ (en Am) est remplacé par jS dS (Am) ou par jdτ (Am) :
Distribution surfacique :
B(M ) =
µ0 PM
jS ( P ) dS ( P ) ∧
3
4π
PM
P∈ surface
Distribution volumique :
B(M ) =
µ0 PM
j ( P ) dτ ( P ) ∧
∫∫∫
4π
PM 3
P∈volume
∫∫
Calcul de B
Théorème d’Ampère
Calcul direct de B
[I ]
.
[ L]
Sources
Remarque :
Le calcul du champ à l’aide de ces expressions peut être assez difficile, ne les utiliser qu’après avoir
vérifié qu’aucune autre méthode n’est applicable (cf. ci-dessous).
Symétries /
antisymétries
E
B
Charges
M ∈ plan de symétrie Π pour les
charges ⇒ E ( M ) ∈ Π
M ∈ plan d’antisymétrie Π∗ pour les
*
charges ⇒ E ( M ) ⊥ Π
Courants
M ∈ plan d’antisymétrie Π∗ pour les
*
courants ⇒ B ( M ) ∈ Π
M ∈ plan de symétrie Π pour les
courants ⇒ B ( M ) ⊥ Π
E(M ) =
B(M ) =
Théorème d’Ampère
La circulation du champ magnétostatique B le long d’une courbe fermée quelconque (Γ) est
égale à la somme algébrique des courants enlacés par (Γ) multipliée par µ 0 :
C= ∫ B ( M ).d ℓ = µ0 ∑ I enlacés par Γ = µ0 ∫∫ j .dS
M ∈Γ
Expressions
Flux
surface
Convention d’orientation
• un sens + est choisi arbitrairement sur Γ ;
• la circulation (bornes d’intégration) est calculée dans le sens + ;
• le sens + permet de définir un vecteur n en tout point d’une surface posée sur Γ : I est
compté positivement s’il perce cette surface dans le sens de n , négativement dans le cas
contraire.
Spé PC G. Monod
Propriétés des champs E et B
Attention : quelle que soit l’expression utilisée, vérifier soigneusement les dimensions à l’aide la relation
0
linéique
discontinu
Calcul de champ magnétostatique : méthodes
[ B] = [ µ ]
Distribution
surfacique
discontinu
volumique
continu
(surface fermée)
dq = λdℓ ou σdS ou ρdτ
Théorème de Gauss
Q
Φ=
E ( M ).dS ( M ) = intérieure à S
Flux conservatif
B
(
M
).
dS
(M ) = 0
∫∫
∫
P∈ D
4πε 0 PM
3
∫∫
M ∈S
Circulation
(contour fermé)
Res_ElmSup.docx
PM
dK ( P ) ∧
3
PM
4π
P∈ fil
dK = Id ℓ ou jS dS ou jdτ
dq ( P ) PM
Circulation conservative
A ∫ E.d ℓ = VA − VA = 0
A
ε0
∫
µ0
M ∈S
Théorème d’Ampère
C= ∫ B ( M ).d ℓ = µ0 ∑ I enlacés par Γ
M ∈Γ
3/5
On en déduit le champ créé :
Dipôles
2 p cos θ
4πε 0 r
Dipôle électrostatique
p sin θ
E
2
4πε 0 r
Soit une distribution de N charges qi de charge totale nulle
N
∑q
i
= 0 mais telle que le barycentre N des charges négatives et
3
(3 p.r ) r − pr 2
ou encore E =
(expression intrinsèque).
5
4πε 0 r
i =1
le barycentre P des charges positives soient distincts.
On note q, la somme des charges positives.
Le moment dipolaire électrique de la distribution est défini par :
p = q NP en Cm.
Unité adaptée à la chimie : Debye
P
q
N
-q
1 −29
1 D = 10 Cm
3
Comprendre
Le moment dipolaire caractérise la distribution or la celle-ci possède une caractéristique électrique (la
somme des charges positives q) et une caractéristique géométrique (son extension spatiale, la distance
NP), la définition synthétise donc ces informations, sous forme vectorielle, pour indiquer en plus la
position des charges dans l’espace.
Potentiel et champ créés par un dipôle électrostatique
On se place dans l’approximation dipolaire (on étudie le dipôle à une distance r grande devant
ses dimensions propres d).
M
Approximation dipolaire : d << r
r
N
P
-q
O
p
On montre que le potentiel créé en M (à l’ordre 1 en
V (M ) =
Spé PC G. Monod
4πε 0 r
2
ou encore V ( M ) =
r
z
Énergie potentielle d’un dipôle RIGIDE placé dans un champ extérieur
) est :
p.r
4πε 0 r
Les actions subies par un dipôle quelconque (rigide ou non) placé dans un champ électrostatique
extérieur E sont caractérisées par :
• la résultante des forces appliquées au dipôle Re telle que :
Re = 0 si le champ extérieur E est uniforme ;
Re ≠ 0 entraîne le dipôle vers les régions où le champ est le plus intense
lorsque le champ E n’est pas uniforme.
• le moment résultant mO tel que : mO = p ∧ E tendant à aligner le moment dipolaire p
avec le champ E (équilibre stable lorsque les vecteurs sont de même sens, instable
lorsqu’ils sont de sens contraires).
q
d
d
Actions subies par un dipôle électrostatique placé dans un champ extérieur
Pour tous les exercices sur le sujet, faire un schéma, représenter les champs en N et P puis les
forces en ces points.
θ
er
eθ
p cos θ
0
p
3
(expression intrinsèque).
Un dipôle rigide placé dans un champ extérieur quelconque E , possède une énergie potentielle
EP telle que : E P = − p.E .
On remarque que cette énergie est minimum lorsque p et E sont colinéaires et de même sens
(équilibre stable).
Res_ElmSup.docx
4/5
Actions subies par un dipôle magnétostatique placé dans un champ extérieur
Dipôle magnétostatique
M
Soit une boucle de courant parcourue par un courant d’intensité I.
Le moment dipolaire magnétique de la distribution est défini par :
M = IS en Am.
Où S est le vecteur surface associé à la boucle.
S = ∫∫ dS ( P ) est unique et caractéristique du contour formant
Les actions subies par un dipôle quelconque (rigide ou non) placé dans un champ
magnétostatique extérieur B sont caractérisées par :
•
S
I
P∈ surface
la boucle.
•
Comprendre
Le moment dipolaire caractérise la distribution or la celle-ci possède une caractéristique
électromagnétique (le courant d’intensité I) et une caractéristique géométrique (son extension spatiale, la
surface S de la boucle), la définition synthétise donc ces informations, sous forme vectorielle.
la résultante des forces appliquées au dipôle Re telle que :
Re = 0 si le champ extérieur B est uniforme ;
Re ≠ 0 entraîne le dipôle vers les régions où le champ est le plus intense
lorsque le champ B n’est pas uniforme.
le moment résultant mO tel que : mO = M ∧ B tendant à aligner le moment dipolaire
M avec le champ B .
Champ créé par un dipôle magnétostatique
Énergie potentielle d’un dipôle RIGIDE placé dans un champ extérieur
On se place dans l’approximation dipolaire (on étudie le dipôle à une distance grande devant ses
dimensions propres) : d << r.
Un dipôle rigide placé dans un champ extérieur quelconque B , possède une énergie potentielle
EP telle que : EP = − M .B .
M
r
N
-q
P
O
Méthode d’étude d’un champ statique
θ
er
eθ
M
1.
2.
3.
z
q
d
4.
Champ créé :
µ 0 2 M cos θ
4π
r
5.
6.
3
µ M sin θ
B 0
2
4π
r
µ 0 (3M .r ) r − Mr 2
ou encore B =
(expression intrinsèque).
5
4π
r
7.
Symétries ⇒ direction du champ.
Invariances ⇒ paramètres de position dont dépend le champ.
Choix de la méthode :
- Théorèmes de Gauss / Ampère pour les situations hautement symétriques.
- Calcul du potentiel dans le cas du champ électrostatique.
- Calcul direct.
Schéma(s) de la distribution avec tracé des lignes de champ ⇒ choix de la surface de
Gauss ou du contour d’Ampère.
Calcul du flux ou de la circulation.
Calcul de Qint ou de Ienlacés : distinguer éventuellement plusieurs cas en fonction de la
position de la surface de Gauss ou du contour d’Ampère par rapport à la distribution.
Conclure vectoriellement (distinguer éventuellement plusieurs cas, vérifier
systématiquement les signes).
0
Ressources internet
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Elec/Champs/Index_Champs.html
http://www.falstad.com/vector3de/
http://www.falstad.com/vector3dm/
http://web.ncf.ca/ch865/frenchdescr/electricity.html
Spé PC G. Monod
Res_ElmSup.docx
5/5