Exercice Electrostatique 1

! ! Electrostatique!PACES!
Enoncé!:!
Soit! un! ensemble! de! 3! charges! électriques! ponctuelles! <2q,! +q,! +q! disposées! aux!
sommets!A,!B!et!C!d’un!triangle!équilatéral!de!coté!a,!dans!l’air.!
1. Calculer!le!potentiel!V!et!déterminer!le!champ!
E
!créés!par!cette!distribution!de!
charges! au! centre! de! gravité! G! du! triangle! (q>0).! On! appellera!
j
!le!vecteur!
unitaire! dirigé! de! G! vers! A! d’origine! G! et!
i
!le!vecteur!unitaire!tel!que!(G,!)!
forme!une!base!orthonormée.!
Potentiel!:! A!:!0! ! B!:!
1
π ε
2q
3a2
! ! !C!:!
−1
π ε
2q
3a2
!
D!:!
1
π ε
q
3 a
! !! ! E!:!
−1
π ε
q
3 a
!
Champ!:! A!:!0! ! B!:!
1
4 π ε
9q2
a2
i
!!
C!:!
−1
4 π ε
9q
a2
j
!
D!:!
1
4 π ε
9q
a2
j
!!!!!!!!!!
E!:!
1
4 π ε
9q
a2
i
!
!
2. A!quelle!force!
F
est!soumise!une!charge!Q=<3q!placée!en!G!?!
A!:!0! ! B!:!
1
4 π ε
9q2
a2
i
! C!:!
−27
4 π ε
q2
a2
j
!
D!:!
27
4 π ε
q
a2
j
! ! E!:!
−9
4 π ε
Qq2
a2
j
!
!
3. Quelle! est! l’énergie! électrostatique! de! la! charge! Q! placée! en! G! dans! le! champ!
électrique!résultant!des!3!autres!charges!?!!
A!:!0! ! B!:!
9
4 π ε
Qq
a
! ! C!:!
9
4 π ε
q2
a
!
D!:!
9
4 π ε
Qq
a2
! ! E!:!
−9
4 π ε
q2
a
!
!
!
!

! ! Electrostatique!PACES!
Réponses!:!
!
!
!
!
!
!
!
Figure!1.!
!
1. Calcul!du!potentiel!V!
Le!potentiel!est!une!grandeur!scalaire,!il!suffit!donc!pour!obtenir!le!potentiel!en!G,!noté!
V(G),! créé! par! les! charges! situées! en! A,! B! et! C! de! sommer! chacune! des! contributions,!
soit!:!!
V(G)=V(A)+V(B)+V(C)!
Avec!:! V(G)!le!potentiel!en!G!créé!par!les!charges!situées!en!A,!B!et!C!
V(A),!V(B)!et!V(C)!les!potentiels!créés!par!les!charges!A,!B!et!C!au!point!G!
!
Remarque(:( Le( centre( de( gravité( G( du( triangle( ABC( est( le( point( d’intersection( des( trois(
médianes.(Dans(un(triangle,(une(médiane(est(une(droite(passant(par(un(sommet(et(par(le(
milieu(du(côté(opposé.(
!
!
(

! ! Electrostatique!PACES!
Rappel&de&cours&((
Le! potentiel! créé! par! une! charge! ponctuelle! q,! placé! dans! le! vide,! en! un! point! M! de!
l’espace!situé!à!la!distance!r!de!la!charge!q!est!donné!par!:!
V(M)=
1
4 πε
0
q
r
!
ε
0
est!la!permittivité!électrique!du!vide!
!
 Calcul!du!potentiel!V(A)!!
Le!potentiel!V(A)!est!le!potentiel!créé!par!la!charge!située!en!A!(<2q)!au!point!G,!donc!:!!
V(A)=!
1
4 πε
−2q
AG
!
Avec!:! !AG!qui!est!la!distance!entre!le!point!A!et!le!point!G!
!
ε
permittivité!électrique!de!l’air!
(
Remarque(:(le(triangle(ABC(étant(un(triangle(équilatéral(les(distances(AG,(BG,(et(CG(sont(
égales.!
!
On!pose!alors!:!AG=BG=CG=r,!d’ou!:!V(A)=!
1
4 πε
−2q
r
!
!
 Calcul!des!potentiels!V(B)!et!V(C)!!
Par!analogie!avec!ce!qui!a!été!dit!précédemment,!on!a!:!
V(B)=!
1
4 πε
q
r
!
V(C)=!
1
4 πε
q
r
!
!
On!a!alors!:!V(G)=V(A)+V(B)+V(C)!
V(G)=!
1
4 πε
−2q
r
+
1
4 πε
q
r
+
1
4 πε
q
r
!
V(G)=!
1
4 πε
1
r-2q+q+q
( )
!
!
!

! ! Electrostatique!PACES!
!
⇒V(G)=0!
!
!
Le!potentiel!est!nul!au!centre!de!gravité!du!triangle!ABC!
!
!
Réponse(:(A(
!
Calcul!du!champ!électrostatique!
E
!
Le! champ! électrostatique! est! une! grandeur! vectorielle,! il! est! donc! nécessaire! pour!
obtenir!le!champ!en!G,!noté!
E
!(G),!créé!par!les!charges!situées!en!A,!B!et!C!de!faire!une!
sommation!vectorielle!au!point!G!de!!chacune!des!3!contributions,!soit!:!!
E
!(G)=!
E
!(A)+!
E
!(B)+!
E
!(C)!
Avec!:!
E
!(G)!le!champ!électrostatique!en!G!créé!par!les!charges!situées!en!A,!B!et!C!
!
E
!(A),!
E
!(B)!et!
E
!(C)!les!champs!respectivement!créés!par!les!charges!A,!B!et!C!au!
point!G!
(
Rappel&de&cours&((
Le! champ! électrostatique! créé! par! une! charge! ponctuelle! q,! placé! dans! le!vide,!en!un!
point!M!de!l’espace!situé!à!la!distance!r!de!la!charge!q!est!donné!par!:!
E
(M)=
!
1
4 πε
0
q
r2
u
!
!
u
est! un! vecteur! unitaire! généralement! choisi! dirigé! de! q! vers! M! (point! ou! l’on! veut!
déterminer!le!champ).!Il!sert!à!indiquer!la!direction!du!champ!électrostatique
!
ε
0
est!la!permittivité!électrique!du!vide!
!
 Calcul!du!champ!
E
!(A)!
Le!champ!
E
!(A)!est!le!champ!créé!par!la!charge!située!en!A!(<2q)!au!point!G,!donc!:!!
E
!(A)=!
1
4 πε
−2q
r2
uA
!
Avec!:! !
uA
!le!vecteur!unitaire!dirigé!de!A!vers!G.!La!charge!en!A!étant!négative!(<2q)!le!
champ!créé!par!A!en!G!est!dirigé!de!G!vers!A.!Le!vecteur!
E
!(A)!est!donc!«!négatif!»!compte!
tenue!l’orientation!de!!
uA
!(cf.!Figure!2).!!
!
ε
permittivité!électrique!de!l’air!
!
!

! ! Electrostatique!PACES!
 Calcul!des!champs!
E
(B)!et!
E
(C)!
Par!analogie!avec!ce!qui!a!été!dit!précédemment,!on!a!:!
Pour!
E
(B)!:! ! ! ! !
E
(B)=!
1
4 πε
q
r2
uB
!
!
Avec!:!
uB
!le!vecteur!unitaire!dirigé!de!B!vers! G.! La! charge! en! B! étant! positive! (+q)! le!
champ!créé!par!B!en!G!est!dirigé!de!B!vers!G.!Le!vecteur!
E
!(B)!est!donc!«!positif!»!compte!
tenue!l’orientation!de!!
uB
!(cf.!Figure!2).!!
!
Pour!
E
(C)!:! ! ! ! !
E
(C)=!
1
4 πε
q
r2
uC
!
Avec!:!
uC
! le! vecteur! unitaire! dirigé! de! C! vers! G.! La! charge! en! C! étant! positive! (+q)! le!
champ!créé!par!C!en!G!est!dirigé!de!C!vers!G.!Le!vecteur!
E
(C)!est!donc!«!positif!»!compte!
tenue!l’orientation!de!!
uC
!(cf.!Figure!2).!!
!
!
Figure!2.!
!