Oscillations électriques sinucoïdales forcées

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
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Electricité n° 4 : COURANT ELECTRIQUE SINUSOÏDAL
OSCILLATIONS ELECTRIQUES SINUSOÏDALES FORCEES
I) Généralités
1)
:
Signal et réponse
A l'aide d'un générateur de tension, on applique, aux bornes d'un dipôle, une tension
sinusoïdale u(t), elle constitue un signal émis par le générateur qui en est la source.
:
Lorsqu'on applique cette tension aux bornes d'un circuit RLC série, il se produit d'abord un
régime transitoire (quelques ms) qui, très vite, se transforme en un régime permanent
sinusoïdal de même fréquence, caractérisé par un courant dont l'intensité i(t), constitue une
réponse du récepteur RLC série :
régime transitoire régime permanent
Les interactions électromagnétiques se propagent à la célérité c0 de la lumière.
Pour un circuit peu étendu (quelques m), et un courant dont la fréquence est de l'ordre de
N ≈ 20000 Hz (T = 0,5.10-4 s) on peut dire qu'en une période les signaux parcourent une
distance L = c.T ≈ 15 km : on peut donc dire que tout le circuit est, à chaque instant, dans le
même état de vibration. On dit que l'on est en régime quasi-stationnaire.
Nous admettrons que :
En régime quasi-stationnaire, les lois des courants continus ou lentement variables sont
applicables, à chaque instant :
- Dans une branche de circuit où les dipôles sont en série :
* L’intensité i(t) du courant est la même dans tous les dipôles.
* La tension u(t) aux bornes de plusieurs dipôles en série est égale à la somme des
tensions aux bornes de chacun : u(t) = u1(t) + u2 (t) + …
- Aux bornes d'un résistor : u(t) = R.i(t).
- Pour un condensateur : q(t) = C.u(t).
- Pour une bobine d'inductance L et de résistance r : uB(t) = L.
dt
)t(di + r.i(t).
2) Conventions et représentations
a) Présentation :
:
On s'intéresse à une grandeur harmonique (qui varie de façon sinusoïdale au cours du
temps) de la forme : x(t) = Xm.cos(ω.t + ϕ)

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Lors de l'étude des oscillations mécaniques, on a vu qu'on pouvait considérer que le
mouvement d'un oscillateur harmonique de période propre T0, et d'amplitude Xm, constitue
la projection, sur un axe, d'un mouvement circulaire uniforme de même période sur un
cercle trajectoire de rayon R = Xm. Nous allons formaliser cette association :
- On considère le vecteur → X du plan complexe qui a pour affixe le nombre complexe :
Xm.ej (ω.t + ϕ) = Xm.[cos(ω.t + ϕ) + j.sin(ω.t + ϕ)]
Remarque : En mathématiques, on note i le nombre complexe i = √−
--− 1, en physique, pour
éviter la confusion avec l'intensité i du courant instantané, on a coutume de
désigner par j le nombre complexe j = √− --− 1.
x(t) = Xm.cos(ω.t + ϕ) représente la partie réelle du nombre complexe Xm.ej (ω.t + ϕ).
- Géométriquement, on peut dire aussi qu'on
considère le vecteur → X, tel que ││
→
X ││ = Xm,
désigné en physique, par "vecteur de Fresnel
associé à x(t)", qui tourne autour de son origine
O, à la vitesse angulaire ω :
x(t) = Xm.cos(ω.t + ϕ) est la mesure algébrique de
la projection de → X sur un axe orienté.
Dans la suite nous adopterons plutôt le point de
vue géométrique et nous garderons la formulation
complexe pour plus tard.
b) déphasage :
On considère deux grandeurs harmoniques de
même pulsation ω (même période T et même
fréquence N) :
x(t) = Xm.cos(ω.t) et y(t) = Ym.cos(ω.t + ϕ)
+ ϕ est le déphasage de y(t) par rapport à x(t).
On peut associer à x(t) le vecteur de Fresnel → X tel
que ││
→
X ││ = Xm, et à y(t) le vecteur de Fresnel → Y
tel que ││
→
Y ││ = Ym.
La vitesse angulaire ω de rotation de ces deux vecteurs étant la même, l'angle ϕ = (→ X , → Y.)
qu'ils font entre eux est constant.
On peut, ainsi, avoir une
interprétation géométrique du
déphasage ϕ de la grandeur
y(t) par rapport à la grandeur
x(t) à chaque instant.
sens positif
de rotation angle (ω.t + ϕ)
→ Y → X
+ ϕ angle (ω.t)
axe des
O cosinus
y(t) = Ym.cos(ω.t + ϕ)
x(t) = Xm.cos(ω.t)

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c) Représentation de Fresnel de u(t) et i(t) :
Lorsqu'on applique une tension sinusoïdale u(t) = Um.cos(ω.t) aux bornes d'un dipôle en
régime quasi-stationnaire, après l’établissement du régime permanent, le dipôle est
traversé par un courant d'intensité i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ).
− ϕ (en rad) étant le déphasage de i(t) par rapport à u(t), on voit que + ϕ est le déphasage
de u(t) par rapport à i(t).
Remarque : Dans un circuit série (en régime quasi-stationnaire), c’est l'intensité du
courant qui est la même dans tous les dipôles. On préfère donc prendre − ϕ
dans i(t), qui est la réponse
u(t) = Um.cos(ω.t) est la mesure algébrique de la projection du vecteur de Fresnel → U, de
module Um,
au signal u(t) = Um.cos(ω.t).
qui tourne à la vitesse angulaire constant ω
De même : , dans le plan complexe.
i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ) est la mesure algébrique de la projection du vecteur de Fresnel → I, de
module Im, qui tourne à la vitesse angulaire constant ω
On a donc : , dans le plan complexe.
+ ϕ qui est le déphasage de u(t) par rapport à i(t) est aussi l'angle constant que font entre
eux les vecteurs de Fresnel → I et → U : + ϕ = (→
I , → U )
La vitesse angulaire ω de rotation de ces deux vecteurs étant la même, l'angle ϕ = (→ I , → U )
qu'ils font entre eux est constant au cours du temps.
On a représenté la correspondance entre les vecteurs de Fresnel → I et → U qui tournent à
la vitesse angulaire ω et tels que ϕ = (→ I , → U ) et les grandeurs i(t) et u(t) qui évoluent
sinusoïdalement au cours du temps avec une période T et un déphasage temporel ∆t :
→ U représentation des vecteurs de Fresnel → I et → U à une date t
1
+ ϕ → I angle ω.t
angle ω.t − ϕ
u(t1) i(t1)
axes des cosinus
évolution de i(t) et u(t) au cours du temps
déphasage temporel
date t1 ∆t = ϕ/ω
u(0) Um
période T = 2.π/ω
Im
i(t1)
i(0)
t
u(t1)
i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ)
u(t) = Um.cos(ω.t)

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d) Dipôles en série :
On considère deux dipôles montés en série :
Aux bornes de l’ensemble, on applique une tension u(t) = Um.cos(ω.t + ϕ)
Aux bornes du premier dipôle apparaît une tension u1(t) = Um1.cos(ω.t + ϕ1) et aux borne
du deuxième, une tension u2(t) = Um2.cos(ω.t + ϕ2).
Les trois tensions ont même pulsation ω.
On sait que, à chaque instant : u(t) = u1(t) + u2 (t)
Soit Um.cos(ω.t + ϕ) = Um1.cos(ω.t + ϕ1) + Um2.cos(ω.t + ϕ2)
En utilisant les nombres complexes, on
démontre et nous admettrons que :
Le vecteur de Fresnel → U associé à la
tension harmonique Um.cos(ω.t + ϕ) est
la somme vectorielle des vecteurs → U1
associé à la tension harmonique
Um1.cos(ω.t + ϕ1) et → U2 associé à la
tension harmonique Um2.cos(ω.t + ϕ2) :
→
U = → U1 + → U2 ⇐⇒ Um.cos(ω.t + ϕ) = Um1.cos(ω.t + ϕ1) + Um2.cos(ω.t + ϕ2).
La somme vectorielle → U peut s'obtenir en plaçant
l'origine du vecteur → U2 à l'extrémité du vecteur du
vecteur → U1, à une date quelconque, on obtient la
figure ci-contre :
Pour des raisons pratiques, on préfère
représenter la somme vectorielle à une date t1
telle que ω.t1 + ϕ1 = 0.
De cette façon, on peut directement visualiser le
déphasage ϕ entre u1(t) et u(t) dont nous
verrons qu'il joue un rôle important en courant
sinusoïdal.
3) Intensité et tension efficaces
On considère un conducteur ohmique de résistance R parcouru par un courant sinusoïdal
d'intensité i(t) = Im.cos(ω.t), de pulsation ω (ϕ = 0, le déphasage n'a pas d'importance ici).
:
La puissance instantanée dissipée dans le résistor est : p(t) = R.[i(t)]2 = R.Im2.cos2(ω.t)
C'est une fonction périodique (de fréquence double). On peut calculer l'énergie W dissipée
durant un intervalle ∆t, (W = p(t).δt. Par définition :
On appelle intensité efficace Ieff d'un courant sinusoïdal i(t) = Im.cos(ω.t), la valeur de
l'intensité d'un courant continu d'intensité I = Ieff qui dissiperait la même énergie W dans un
résistor de résistance R, pendant la même durée ∆t.
→
U
angle ω.t + ϕ
→
U2
angle ω.t + ϕ2
→ U1
angle ω.t + ϕ1
cosinus
u1 u u2
→
U
U2
cosinus
→ U1
cosinus
→
U
→ U2
ϕ
→
U1
axe des
cosinus

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Soit Ieff : W(∆t) = R.I2
eff.∆t =
∫
∆=
=
tt
0t 2dt.i.R
d'où I2
eff.∆t =
∫
∆=
=
tt
0t 2
dt.i
Pour déterminer une valeur moyenne de l'énergie sur un grand intervalle de temps ∆t,
calculons l’intégrale pour une durée égale à un grand nombre entier de périodes : ∆t = n.T
I2
eff.n.T = ∫=
=
T.nt
0t 2dt.i =
∫=
=ω
T.nt
0t 2
2
mdt).t.(cos.I
Remarque : On connaît la relation mathématique entre : cos2(a) =
2
1
.[1 + cos(2.a)]
[ ]
∫=
=ω+
T.nt
0t
2
mdt.)t..2cos(1.
2
I =
2
I2
m.
∫
=
=
T.nt
0t
dt.1
+
2
I2
m.
∫=
=ω
T.nt
0t dt).t..2cos(
=
T.n
0
2
m
2t.I 
+
T.n
0
2
m.2 ).t..2sin(
2
I
ω
ω
Or
T.n
0
2
m.2 ).t..2sin(
2
I
ω
ω
= 0 d'où I2
eff.n.T =
2
T.n.I2
m
L'intensité efficace d'un courant sinusoïdal de valeur maximale Im est :
Ieff = I =
2
Im
Par analogie, nous admettrons que :
La tension efficace d'une tension sinusoïdale de valeur maximale Um est :
Ueff = U =
2
Um
4) Impédance
Par définition, l'impédance Z d'un circuit est le rapport, exprimé en ohm (Ω) :
:
Z =
m
m
I
U
=
I
U
Remarque : L'impédance d'un circuit est indépendante de l’amplitude de la tension appliquée
(U ou Um), mais peut dépendre de la fréquence f (période T = 1/f, pulsation ω).
5) Facteur de puissance
La puissance instantanée dissipée dans un circuit est :
:
p(t) = u(t).i(t) = Um.cos(ω.t).Im.cos(ω.t − ϕ)
Remarque : On a la relation mathématique : cos(a).cos(b) = 2
1.[cos(a + b) + cos(a − b)]
D'où p(t) =
2I.U
mm
.[cos(ϕ) + cos(2.ω.t − ϕ)] = U.I.[cos(ϕ) + cos(2.ω.t − ϕ)]
p(t) est la somme d’un terme constant U.I.cos(ϕ) et d’un terme périodique U.I.cos(2.ω.t − ϕ).
Pour déterminer une valeur moyenne de la puissance dissipée sur un grand intervalle de
temps, on calcule l’intégrale pour sur un grand nombre entier de périodes : ∆t = n.T
P =
t)t(W∆
∆
=
T.n
)T.n(W =
T.n
1.
∫
=
=
T.nt
0t
dt).t(p
=
T.n
1.
∫=
=
ϕ−ω+ϕ
T.nt
0t mm dt)].t..2cos().[cos(
2I.U
P =
T.n
1.
∫=
=
ϕ
T.nt
0t mm dt).cos(.
2I.U
+
T.n
1.
∫
=
=
ϕ−ω
T.nt
0t mm
dt).t..2cos(.
2I.U
P =
T.n
1.
T.n
0
mm t).cos(.
2I.U 
ϕ
+
T.n
1.T.n
0
mm .2 ).t..2sin(
.
2I.U 
ω
ϕ−ω , or
T.n
0
mm
.2 ).t..2sin(
.
2I.U 
ω
ϕ−ω
= 0
P =
T.n.2
T.n.I.U mm
.cos(ϕ)
d'où P =
2I.U
mm
.cos(ϕ) = U.I.cos(ϕ) = → I .→ U