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Anémomètre à coupelles élémentaire
Frédéric Élie, avril 2014
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« Si vous de dites rien à votre brouillon, votre brouillon ne vous dira rien ! »
Jacques Breuneval, mathématicien, professeur à l’université Aix-Marseille I, 1980
Le principe d'un anémomètre à coupelles, destiné à évaluer la vitesse du vent, exploite la relation
entre la vitesse du vent et le nombre de tours par seconde effectué par des demi-sphères
creuses montées à l'extrémité de bras portés sur un axe vertical.
On propose ici le raisonnement hydrodynamique qui permet d'aboutir à cette relation, au final
d'expression très simple, mais qui nécessite des calculs intermédiaires assez copieux...
SOMMAIRE
1 – Principe
2 – Modélisation simplifiée
3 – Dépendance des coefficients de traînée avec la vitesse
1 – Principe
Le principe d'un anémomètre à coupelles exploite la relation entre la vitesse du vent et le nombre de
tours par seconde effectué par des demi-sphères creuses (coupelles) montées à l'extrémité de bras
©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, avril 2014 page 1/10

portés par un axe vertical, qui est l'axe de rotation.
Nous allons établir cette relation dans le cas très simple du montage suivant (figure 1): un ensemble de
4 petites cuillers à médicament, en plastique, est disposé en croix sur un axe vertical. Celui-ci est formé
par un bouchon de liège dans lequel on plante les manches de ces cuillers, et transpercé par une
aiguille le long de son axe, cette aiguille étant disposée, à sa partie inférieure, dans un petit tube servant
de guide: l'ensemble bouchon, aiguille, cuillers peut alors tourner librement autour de l'axe. Les
coupelles sont orientées de la même manière, le creux de l'une étant précédé par la partie bombée de
l'autre.
Figure 1 – Montage d'un anémomètre à coupelles rudimentaire
Sous l'action du vent, la rotation de l'ensemble résulte d'un couple mécanique créé par les forces de
traînée qui apparaissent sur les coupelles: elles sont différentes selon que l'écoulement arrive d'un côté
ou de l'autre des hémisphères, en l'occurrence du côté creux ou du côté bombé.
Dans une approche simplifiée on considère que les coefficients de traînée sont constants et ne
dépendent que de la géométrie de la coupelle. Une analyse plus fine tient compte que ces coefficients
dépendent du nombre de Reynolds, donc de la vitesse relative de la coupelle dans l'écoulement.
L'accélération des coupelles dépend directement des forces de traînée, mais la rotation devient uniforme
lorsque ces forces s'équilibrent. La condition d'équilibre conduit alors à la relation entre la vitesse de
rotation et celle de l'écoulement.
2 – Modélisation simplifiée
La géométrie du problème est représentée à la figure 2:
figure 2
Les forces de traînées sont écrites dans le repère tournant
er, e
pour deux coupelles G et G'
©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, avril 2014 page 2/10

diamétralement opposées:
–en G:
FD=1
2CDS
U− vG²
U− vG
∥ U− vG∥
–en G':
F ' D=1
2C ' DS ' 
U− vG'²
U− vG'
∥ U− vG'∥
où
vG
et
vG'
sont les vecteurs vitesses de G et G'.
CD et C'D sont les coefficients de traînée de
FD
et
F ' D
. En toute rigueur, ils dépendent de
l'orientation des coupelles par rapport à la résultante des vitesses en G et G',
U− vG
et
U− vG'
donc de l'angle entre
U
et
vG
, et entre
U
et
vG'
, donc de l'angle de rotation θ (compté
positivement depuis l'axe Oz portant la direction du vent
U
supposée fixe.
S et S' sont les surfaces des maîtres-couples des hémisphères (surfaces projetées perpendiculairement
au vent U): elles dépendent elles aussi de θ.
La liaison G'OG étant rigide, on a la relation vectorielle entre les vitesses des coupelles:
vG'=−  vG
Considérons le moment cinétique de G par rapport à l'axe de rotation O:
LO=m OG∧ vG
Comme
OG ' =− OG
et
vG'=−  vG
, le moment cinétique de G' par rapport à O est:
L 'O=m OG '∧ vG'=−m OG ∧−  vG=m OG∧ vG= LO
on a donc un couple mécanique, de bras de levier R, avec
OG=R er
(R est la distance entre le centre
de rotation O est le centre d'une coupelle G).
L'équation du mouvement est obtenue en appliquant le théorème du moment dynamique:
MO= OG∧ F=d
LO
dt
où
F
est la différence des forces de traînée:
F= FD− F ' D
. D'où:
Rer∧  FD F ' D=mR er∧d
vG
dt
2mer∧
[
CDS U− vG²
U− vG
∥ U− vG∥−C 'DS ' 
U vG'²
U vG'
∥ U vG'∥
]
= er∧dvG
dt
d'où:
dvG
dt = 2m
[
CDS U− vG²
U− vG
∥ U− vG∥−C 'DS ' 
U vG'²
U vG'
∥ U vG'∥
]
Comme
OG=R er
, on a:
d OG
dt =−Rd
er
d
d
dt =−Rd dt e= vG
d vG
dt =−Rd²  dt² eR
d
dt
2
er
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U=−Usin  eUcos er
alors l'équation vectorielle du mouvement est:
−Rd² 
dt² eR
d
dt
2
er=
2m
[
CDSUcos er−Usin  eRd
dt e²
U− vG
∥ U− vG∥
]
−
2m
[
C ' DS ' Ucos  er−Usin  e−Rd
dt e²
U vG
∥ U vG∥
]
(1)
Cette équation du mouvement (1) est difficile à intégrer, compte tenu d'une part de son comportement
non linéaire (présence de cos θ et sin θ) et d'autre part du fait que CD, C'D, S et S' dépendent de θ.
On peut s'affranchir de leur résolution si l'on considère que, sous l'action d'un vent constant en intensité
et en direction (U = cste) l'anémomètre finit par atteindre rapidement un régime de rotation uniforme
(équilibre dynamique):
d² 
dt² =0, d dt =cste=
.
L'équation (1) se simplifie alors en:
R²er=
2m
[
CDSUcos  er R−Usin  e²
U− vG
∥ U− vG∥
]
−
2m
[
C ' DS ' Ucos er− RUsin  e²
U vG
∥ U vG∥
]
(2)
En particulier, pour θ = π/2,
U=U ez
,
vG=vG ez=−R ez
:
cos =0, sin =1
U− vG
∥ U− vG∥=
U vG
∥ U vG∥=
ez
S=S '
(2) devient:
CDSR−U² ez−C ' DSRU² ez=0
d'où la relation entre U et la vitesse angulaire de rotation des coupelles:
CDR−U²=C 'DRU²
Comme on doit avoir U > Rω (la vitesse de rotation des coupelles ne peut pas être supérieure à celle du
vent qui l'a induite), seule convient la racine U – Rω:
CD
C ' D
U−R=RU
ou encore:
U=R
CD C 'D
CD− C 'D
(3)
Pour une demi-sphère creuse, on a: CD = 1,42 et C'D = 0,38, d'où la relation remarquable:
U=3,14 R
(4)
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Remarque importante:
Dans (2) on a le terme
R² er
qui risque de devenir nul si (3) est vérifié: est-ce alors compatible avec
la possibilité que v²G/R = Rω² soit non nul?
Pour essayer d'y répondre, développons (2) sur les axes tournant
er
et
e
:
2m
R²er=CDSUcos er R−Usin  e²−Usin 
eUcos  erR e
∥−Usin  eUcos  erR e∥
−C 'DS ' Ucos er−R e−Usin  e²−Usin  eUcos er−R e
∥−Usin  eUcos er−R e∥
soit, tout calcul fait:
2m R ²
=Ucos[CDS
U² cos²  R−Usin  ²−C ' DS ' U² cos²  RUsin ²]
0=CDSR−Usin  U² cos²  R−Usin  ²±C ' DS ' RUsin  U² cos²  RUsin ²
(la présence du ± provient que certains termes ont été divisés par leur racine carrée). On a finalement:
2m R ²
=Ucos[CDS
U²RR−2Usin −C 'DS ' U²R R2Usin ]
0=CDSR−Usin  U²R  R−2Usin ±C ' DS ' RUsin  U²R RUsin 
Pour θ ≈ π/2, sin θ ≈ 1, cos θ = ε << 1, S = S', les égalités précédentes deviennent:
2m R²
≈S U [CDU−R−C ' DUR]
0≈CDR−U²±C ' DRU²
qui, avec « - » donne (3):
U−R²=C 'D
CD
RU²
il s'ensuit que, en injectant dans la première égalité:
2m R²
S U ≈[C ' DRU−C ' DUR]=0
qui est compatible si:
2m R²
S U ≪1
(4 bis)
Vérifions que (4bis) est vérifiée dans les cas pratiques: soit a le rayon d'une coupelle (rayon de la demi-
sphère), alors le maître-couple est de l'ordre de S = πa². Si ρ0 est la masse volumique du matériau de la
coupelle, et ρ celle du fluide (en l'occurrence ici l'air), alors la masse de la coupelle m est, avec h
épaisseur de la paroi de la demi-sphère: m = ρ0 hS = ρ0h πa². La quantité (4bis) devient alors:
2m R²
S U =20ha² R ²  a² U =20
h R ²
U
Or, d'après (4): U = 3,1 Rω, et la quantité précédente devient:
0,21 0
h
RU
, qui est très petite devant
1 si h << R, ce qui est le cas en pratique. La simplification est donc justifiée sous cette condition.
3 – Dépendance des coefficients de traînée avec la vitesse
Pour certaines valeurs de la vitesse relative U-Rω, les coefficients de traînée CD et C'D dépendent d'elle
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