Chap II - Cinématique du point matériel final.

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CHAPITRE-2 : Cinématique du point matériel
I. Définitions
1) Notion de point matériel
En mécanique du point on se limite à l’étude mécanique des points matériels.
Avant de préciser la définition d’un point matériel, il est nécessaire de donner celle
d’un solide.
On appelle solide tout système matériel pour lequel les distances entre deux points du
système sont constantes et invariantes au cours du temps. De manière générale, la position d’un
solide sera déterminée à l’aide de six paramètres :
 les trois coordonnées d’un point du solide (on choisira souvent le centre d’inertie du système)
 trois paramètres angulaires définissant l’orientation d’un trièdre (OXYZ) lié au
solide (au sens où (OXYZ) est immobile par rapport à ce dernier) par rapport
au trièdre (Oxyz) définissant le référentiel dans lequel on travaille.
On appelle point matériel un solide dont la position est entièrement définie par la seule
donnée des trois coordonnées d’un point du solide. Cela revient à négliger tout effet
de rotation du solide sur lui-même ou son extension spatiale.
2) Espace et distance
Il est nécessaire pour repérer la position de points matériels de doter l’espace d’une mesure et
donc d’une unité, c'est-à-dire d’une base.
3) Temps et durée
Le temps est le paramètre permettant de dater un événement et d’établir la chronologie d’une
succession d’événements. En mécanique classique le temps est le même quelque soit le
référentiel d’étude.
II. Systèmes de coordonnées
Pour résoudre tout problème de physique et notamment de mécanique, il est nécessaire de
repérer un point M dans l’espace. Il faut connaître les composantes du vecteur position _OM et
des vecteurs qui pourront être définis à partir de celui-là.
On choisit donc une base de projection dans laquelle on cherche à déterminer les
composantes des vecteurs. Ce choix sera orienté par la géométrie du problème.
1) Une base fixe : les coordonnées cartésiennes (base cartésienne)
a) Définition

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L’espace contient 3 dimensions ; cela signifie qu’il faut 3 coordonnées pour définir la position
d’un point M dans l’espace.
Il faut d’abord choisir un point qui servira de référence : c’est le point origine noté O.
Le point M est alors repéré par rapport à O : on note £ r = _OM le vecteur-position de M.
La base de projection est définie par
trois vecteurs unitaires formant une base
directe. Le premier est choisi à priori, les autres s’en
déduit par la recherche du caractère et orthogonal et
direct de la base.
Quelle que soit la position du point M considéré, la
base est fixe et ne change pas.
En notant £i , £j et £k les vecteurs unitaires sur chacun des axes de la base, on obtient :
_ OM = x £ i + y £j + z £ k
(x, y, z) sont les coordonnées du vecteur _OM dans la base ( £ i , £j , £ k)).
Pour des raisons pratiques (en particulier lors de calculs de produits scalaires et produits
vectoriels), il est important que la base utilisée soit orthonormée directe.
Ortho-normée directe signifie :
-ortho : £ i . £j = 0, £j . £ k = 0 , £ k . £ i = 0
- normée : ‖£i ‖=1 , ‖£j ‖=1, ‖£k ‖=1
-directe : £ i  £j = £ k, £j  £ k =£ i , £ k £ i =£ j
les coordonnées cartésiennes sont (x, y, z) :
x = _OM . £ i ( projeté de _ OM Ox)
y = _ OM . £j ( projeté de _ OM  Oy)
z = _ OM . £ k ( projeté de _ Oz)
On peut donc écrire autrement le vecteur position :
_OM = ( _OM .£ i ) £i +( _OM .£ j ) £j +( _OM . £ k ) £k
b) Déplacement élémentaire
Le déplacement élémentaire s’obtient en faisant varier de manière
élémentaire chacune des coordonnées du point M.
Dans le cas des coordonnées cartésiennes, le déplacement élémentaire
d’un point M de coordonnées (x, y,z) correspond à son déplacement
jusqu’au point M de coordonnées (x + dx, y + dy, z + dz).
Coordonnées cartésiennes

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On a donc : d _ OM = _ OM ’ _ OM = _ MM ’ = dx £ i + dy £ j + dz £ k
Ce résultat peut s’obtenir géométriquement en sommant les déplacements élémentaires liés à la variation
d’une seule variable, les autres restants constants. Ceci est possible car les deux variables sont
indépendantes et la base fixe.
Ainsi lorsque y et z restent fixes, le déplacement élémentaire se limite à d _ OM = dx £ i .
Lorsque x et z restent fixes, le déplacement élémentaire se limite à d _ OM = dy £ j et à d _ OM = dz £ k quand
x et y restent fixes respectivement.
c) Surfaces élémentaires
Le vecteur déplacement est constitué de trois vecteurs qui génèrent trois surfaces par produit vectoriel de
deux d’entre eux et un volume. On obtient :
_ d S 1 = dy £ j dz £ k = dy dz £ i
_ dS 2 = dx £ k dz £ i = dxdz £ j
_ dS 3 = dx £ i dy £ j = dxdy £ k
d) Volume élémentaire
Par réalisation du produit mixte entre les trois vecteurs qui constituent le vecteur déplacement, on
obtient :
dV = _ d S 1 . dx £ i = (dy £ j dz £ k). dx £ i = _ d S 2 . dy £ j = (dx £ k dz £ i). dy £ j
= _ d S 3 . dz £ k =( dx £ i dy £ j ) . dz £ k
dV = dxdydz
2) Une base mobile : les coordonnées cylindrique
a) Définition
La symétrie polaire consiste à privilégier un point O fixe autour duquel
tourne le point M. La position de M est alors définie par :
- la distance r du point M . r est appelé rayon polaire.
r = ‖_Om‖.
- l’angle orienté de rotation appelé angle polaire et noté .
- Cet angle de rotation est défini par rapport à un axe passant par O
choisi arbitrairement. Cet axe est appelé axe polaire.
- z le projeté de M sur l’axe (Oz) appelé la cote du point M. z = OH
Les coordonnées polaires de M sont donc (r, , z).
Par définition, r est une distance et est donc positif. On peut noter alors que pour décrire la totalité des
points du plan, l’angle appartient à l’intervalle [0, 2].
La position de chaque point est définie par un unique triplet (r, , z) : les coordonnées cylindriques.

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r ne varie que de 0 à + ,
varie de 0 à 2,
z varie de - à +.
Le vecteur-position _OM, s’écrit dans cette base :
_ OM = _ Om + _ mM
3) Base locale cylindrique
a) Définition
La base de projection est définie par trois vecteurs unitaires formant une base directe notée (£ur ,£u
, £uz).
 £ur est un vecteur unitaire dont la direction et le sens sont ceux du vecteur _OM. : £ur est appelé vecteur
polaire,
£u est un vecteur unitaire obtenu par rotation d’un angle + /2 dans le plan à partir de £ur .
 £uz est le même vecteur qu’en coordonnées cartésiennes suivant l’axe Oz :£ uz = £k
Les vecteurs £ur et £ u dépendent du point M : la base est donc mobile. Les vecteurs £ur et £u se déplacent
en même temps que le point M, d’où la dénomination « locale » donnée à cette base.
Comme on travaille toujours dans des bases orthonormées directes, alors la base (£ur ,y£u
, £uz ) l’est aussi.
£u est un vecteur tel que la base ( £ur ,£u
, £uz ) soit orthonormée directe, ce qui signifie :
£u
= £ur  £uz
£u
est le vecteur ortho-radial.
Pour repérer les directions et les sens des vecteurs de la base cylindrique, il suffit de se souvenir de la
remarque suivante :
Un vecteur unitaire est orienté dans la direction et le sens positif de la coordonnée (la variation).
- Si r est augmenté de dr, tout en gardant et z constants : le point M se déplace dans la direction de £ur ;
- Si est augmenté de d , tout en gardant r et z constants : le point M se déplace dans la direction de £u
;
- Si z est augmenté de dz, tout en gardant r et constants : le point M se déplace dans la direction de £uz .
Le vecteur-position _OM, s’écrit dans cette base :
_ OM = _ Om + _ mM
_ OM = r £ ur + z £ uz
Il est important de noter que le vecteur _OM n’a aucune composante suivant £u
. Cela vient justement du
fait que £ur suit le mouvement de M, £ur = £ ur ( ). Donc, pour repérer la position du point M, la donnée de
l’angle est nécessaire au même titre que la donnée de r et z.

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On peut exprimer les vecteurs de cette base locale dans la base des coordonnées cartésiennes : il suffit de
projeter les vecteurs £ur , £u et £uz sur les axes (Ox) , (Oy) et (Oz) respectivement. On obtient:
£ ur = cos £ i + sin £ j
£ u = -sin £ i +cos £ j
£uz = £ k
Remarque : On peut déduire le vecteur £ u par rotation de +/2 du vecteur £ur autour de l’axe Oz
En effet : £ u ( ) = £ ur ( + /2)= cos( + /2) £ i + sin( + /2) £ j = -sin £ i +cos £ j
Tout vecteur £w peut se décomposer sur cette base selon :
£ w = wr £ ur + w £ u
+ wz £uz
£ wr est appelé composante radiale et £ w composante orthoradiale.
b) Lien avec les coordonnées cartésiennes
On peut relier les coordonnées polaires d’un point à ses coordonnées cartésiennes.
Il suffit pour cela de choisir l’axe (Ox) par exemple comme axe de référence pour l’angle de rotation 
(axe polaire) et de projeter sur les axes (Ox) et (Oy) ou déterminer le vecteur position en fonction des
vecteurs de base cartésiens :
OM = _ Om + _ mM
_ OM = r £ ur + z £ uz = r( cos £ i + sin £ j ) + z £ k = r cos £ i + r sin £ j + z £ k = x £ i + y £ j + z £ k
D’où x = rcos
y = rsin
z
On peut inverser ces relations pour obtenir l’expression des coordonnées cylindriques en fonction des
coordonnées cartésiennes :
r =
= Arctan
 []
La valeur de  sera précisée dans l’intervalle [0, 2] en fonction des signes respectifs de x et y qui sont
ceux de cos et sin .
Ceci n’est possible qu’en dehors de l’origine O. En ce point, x = y = 0, donc la tangente de l’angle en O
est une forme indéterminée. On notera que l’impossibilité à exprimer la tangente de à l’origine ne porte
pas à conséquence : en ce point, l’angle polaire n’est pas défini.
£i
£ u
£ ur
£j