Chapitre 3 : Intégration

IUT de Sceaux Département TC1
Mathématiques 1
Chapitre 3 : Intégration
notion de primitives, intégrale dénie sur un intervalle, interprétation
géométrique
Objectif :
1. Primitives et intégrale
La fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle I si
F ′ (x) = f (x)
pour tout x dans I.
Si F (x) est une primitive de f (x), alors pour toute constante k la fonction F (x) + k
est aussi une primitive de f .
Réciproquement, toutes les primitives de f sont de la forme F (x) + k .
L'intégrale de a à b de la fonction f est le nombre
∫ b
f (x)dx = F (b) − F (a) = "aire avec signe délimité par le graphique de f "
a
1. Responsable : Sara Broerio e-mail : [email protected]
1
2
2. Application à l'économie : coût total, marginal et moyen
Considérons une entreprise qui produit une quantité q d'un certain produit. On dénit
trois types de fonctions coût :
le coût total CT (q) de production de la quantité q
CT (q)
le coût moyen CM (q) =
qui est le coût moyen de production d'une unité
q
de produit si on produit en total une quantité q .
le coût marginal Cm (q) = CT′ (q) qui est le coût de la "q ième unité" de produit.
Donc le coût total est, donc, la primitive du coût marginal tel que CT (0) = coût xe.
3. Intégrales et probabilité
Pour une variable aléatoire continue X de
soit comprise entre a et b est
P
densité
∫
(a < X < b) =
f on a que la probabilité que X
b
f (x)dx
a
Exemples
1. Une variable distribuée comme une loi normale N (0, 1) a densité
reusement cette fonction n'a pas une primitive explicite.
2 /2
e−x
√
2π
. Malheu-
2. Un variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre a est une loi de densité
{ −ax
ae
if x ≥ 0
f (x) =
0 if x < 0
La loi exponentielle sert souvent à modéliser la durée de vie (d'une ampoule, d'un
atome radioactif et autres objets qui ne "vieillissent" pas) ainsi que le temps d'attente de certains événements (par exemple le temps d'attente du premier appel à un
standard à l'heure de pointe).
On peut calculer que
1
1
E(X) =
V(X) =
a
a
Exercices
Ex 1.
Déterminer une primitive pour les fonctions suivantes
6
2
f (x) = 1 g(x) = 6x2
h(x) = 2
k(x) =
x
x
4
3x+1
j(x) = e
l(x) =
p(x) = x3 + x2
3
(x + 3)
b. Déterminer :
la primitive F de la fonction f telle que F (0) = 4
la primitive G de la fonction g telle que G(1) = 0
a.
3
la primitive K de la fonction k telle que K(1) = 2
Ex 2.
Calculer une primitive pour les fonctions suivantes
2
f (x) = 2xex
Ex 3.
h(x) =
x3 +1
Calculer la valeur des intégrales suivants
∫ 0
∫ −2
∫
I=
3dx
J=
3dx
K=
−2
Ex 4.
x2
g(x) =
0
ex
ex + 1
∫
2
−4t dt
4
(3s2 + 1) ds
H=
1
0
Étant donnée une fonction f soit Fe la fonction dénie par
∫ x
e
F (x) =
f (t)dt
3
a.
b.
c.
Ex 5.
Que est ce que on peut dire de la dérivé de Fe ?
Combien vaut Fe(3) ?
Calculer Fe(x) pour f (x) = 2x et f (x) = ex .
On considère la fonction f dont le graphique est
3
y 2
1
0
-3
-2
-1
0
1
-1
2
3
x
-2
-3
a.
Parmi les graphiques suivants, lequel est le graphique de la fonction
∫ x
F (x) =
f (t)dt ?
−2
Pourquoi ?
4
3
3
y 2
2
1
1
-3
-3
-2
0
-1
0
-1
1
2
3
-1
0
0
-1
-2
x
-3
-2
1.
-2
2.
1
2
x
3
4
2
-3
3.
-2
-1
1
0
0
6
x
1
5
2
3
4
-1
3
-2
2
-3
1
-4
4.
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Parmi les graphiques, il y a aussi le graphique d'une autre primitive G de f .
Lequel ? Pourquoi ?
∫x
c. Déterminer x0 tel que G(x) =
f (t)dt.
x0
b.
Ex 6.
Le coût marginal de production d'un produit est donné par la fonction
Cm (q) = 3q 2 − 30q + 100
Sachant que les charges xes indépendantes de la quantité produite s'élèvent à 400
euros :
a. Calculer le coût total de production CT (q)
b. Calculer le coût moyen CM (q)
c. Calculer la quantité q0 pour laquelle le coût moyen est minimal
d. Vérier que CM (q0 ) = Cm (q0 ).
e. Montrer, dans le cas général, que si la quantité q0 minimise le coût moyen alors
CM (q0 ) = Cm (q0 ).
Ex 7.
La durée de vie T d'une ampoule suit une loi exponentielle. La durée de vie moyenne
est de 120 jours.
a. Calculer la probabilité que l'ampoule la durée de vie de l'ampoule soit inférieur à
240 jours.
b. Calculer la probabilité que l'ampoule la durée de vie de l'ampoule soit inférieur
à t jours.
c. Calculer la probabilité que l'ampoule se casse entre le 120ème et le 240ème jour.